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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Do 10.12.2009 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | Zu [mm] \alpha \in \IR [/mm] definieren wir die Folge [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] über :
- [mm] a_{0}:= \alpha
[/mm]
- [mm] a_{n+1}:= \bruch{1}{4}*(a_{n}^{2} [/mm] + 3) , n [mm] \in \IN
[/mm]
A) Bestimmen Sie die mäglihen Grenzwerte der Folge [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] mit dem Trick, der in der Vorlesung bei der Berechnung von Quadratwurzeln angewandt wurde (,,Fixpunktgleichung").
B)
- Schreiben Sie die Differenz [mm] a_{n+1}-b [/mm] als Funktion von [mm] a_{n} [/mm] , n [mm] \in \IN, [/mm] b ein möglicher Grenzwert der Folge [mm] (a_{n})_{n \in \IN}.
[/mm]
- Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Folge und die Beschränktheit
- Unterschieden Sie die Fälle [mm] \alpha [/mm] = [mm] \pm1, \pm3 [/mm] , [mm] \alpha [/mm] < -3, [mm] \alpha [/mm] > 3, [mm] -3<\alpha<-1, [/mm] 1 < [mm] \alpha [/mm] <3, -1 < [mm] \alpha [/mm] < 1. |
A)
Meine beiden möglichen Grenzwerte sind [mm] \pm [/mm] 1 und [mm] \pm [/mm] 3, denn wenn ich nach der rekursionsvorschrift gehe :
[mm] a_{0}= \pm [/mm] 1
[mm] a_{1}= \bruch{1}{4}*(1^{2} [/mm] + 3) = 1
[mm] a_{2}= \bruch{1}{4}*(1^{2} [/mm] + 3) = 1 ....
[mm] a_{n+1}= [/mm] 1
und das gleiche bei [mm] \pm [/mm] 3.
B) Die Fälle zu unterscheiden ist glaub ich kein Problem.
z.B. [mm] \alpha [/mm] < -3
dann setz ich eben -4 und -5 in die Rekursionsvorschrift und beobachte ihr monotieverhalten durch wiederholtes einsetzen.
Aber ich verstehe die teilaufgabe : " Schreiben Sie die Differenz [mm] a_{n+1}-b [/mm] als Funktion von [mm] a_{n} [/mm] , n [mm] \in \IN, [/mm] b ein möglicher Grenzwert der Folge [mm] (a_{n})_{n \in \IN}." [/mm] nicht.
Könnte mir da jemand helfen ?
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Hallo Ayame,
alle Folgenglieder ab [mm] a_1 [/mm] sind positiv!
Deine möglichen Grenzwert sind daher nur 1 und 3.
Den ersten Satz aus Aufgabe B) kann ich auch nicht nachvollziehen.
Das hieße doch nur [mm] a_{n+1}-b=\bruch{1}{4}(a_n^2+3)-b
[/mm]
mit [mm] b\in\{1;3\}
[/mm]
Sinn würde eher machen, eine nicht-rekursive Bildungsvorschrift zu finden, aber das wäre hier auch eher kontraproduktiv. Lass es besser...
lg
reverend
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