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Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:38 Sa 16.01.2010
Autor: Mathics

Aufgabe
Gib für die Folge das allgemeine Glied a(n) sowie eine Rekursionsgleichung an.
a) -1/2 ; -1/3 ; -1/4 ; -1/5 ; -1/6 ; ....
b)   1; 8; 27; 64; .....
c)   1; 3; 7; 15; 31; 63; .....

Hallo,

Bei a) habe ich für explizite Gleichung  a(n) = - 1/(n+2)   raus, aber bei der rekursiven komme ich überhaupt nicht weiter.

ich verstehe bei b) überhaupt nicht wie ich die explizite und die rekursive  Gleichung angeben soll.

Bei c) bekomme ich die explizite nicht raus , aber für die rekursive habe ich mir a(n) = 2*(n-1)+1   überlegt !!


Bitte dringend um HILFEE !!!!!!!?

        
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Folgen: Tipp fuer b) und c)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:59 Sa 16.01.2010
Autor: Infinit

Hallo mathics,
denke bei der Aufgabe b) mal an ganze Zahlen und eine Dreierpotenz.
Bei c) liegen diese Zahlen doch sehr nahe an Quadratzahlen.
Für die weitere Klärung: Was ist für Dich eine rekursive Formel? Was Du angibst, sind jeweils explizite Formeln. Bei einer Rekursionsformel setzt man die Werte früherer Folgenglieder in eine Formel ein, um das nächste Folgenglied zu bestimmen.
Viele Grüße,
Infinit

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Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:06 Sa 16.01.2010
Autor: Mathics

was sind dreierpotenzen?  und aber wenn ich quadratzahlen hätte , wären die foglen doch viel zu hoch oder?

bei meinte ich : a(n) = 2 a(n-1)+1

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Folgen: Dreimal
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:10 Sa 16.01.2010
Autor: Infinit

Mit Deiner neuen Schreibweise für c) kommt man auf das richtige Ergebnis. Die Dreierpotenz einer Zahl ist nichts weiter als die Zahl, dreimal mit sich malgenommen.
VG,
Infinit

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Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:50 Sa 16.01.2010
Autor: Mathics

bei b)  habe ich die explizite raus:  a(n)  = [mm] (n+1)^3 [/mm]

aber bei der rekursiven habe ich echt überhaupt keinen plan!!! bitte um hilfe !!!!!!!?

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Folgen: Generelles
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:46 Sa 16.01.2010
Autor: Infinit

Hallo Mathics,
bei Folgen lässt man normalerweise den Index bei 1 beginnen und nicht bei 0, wie Du es getan hast. Das lässt sich ja aber schnell umschreiben. An einer Rekursionsformel für die b) grübele ich auch noch.
Viele Grüße,
Infinit

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Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:44 Sa 16.01.2010
Autor: abakus

Hallo,
so "rein rekursiv" geht es vermutlich nicht, aber unter Einbeziehung des Index n schon:
Natürlich erhalten wir [mm] (n+1)^3 [/mm] aus [mm] n^3, [/mm] wenn wir [mm] 3n^2+3n+1 [/mm] dazuaddieren.
Eine weitere Möglichkeit wäre, [mm] a_n [/mm] mit [mm] \bruch{(n+1)^3}{n^3} [/mm] zu multiplizieren.
Gruß Abakus


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Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:26 Mo 18.01.2010
Autor: Mathics

Das verstehe ich leider überhaupt nicht. Man muss doch bei der rekursiven immer das davorige Folgenglied verwenden.

Habt ihr vllt. eine idee wie de Rekursionsformel zu a) und b)

a) -1/2 ; -1/3 ; -1/4 ; -1/5 ; -1/6 ; ....

b) 1; 8; 27; 64; .....

Bitte um Hilfe !!!!!! DRINGEND !!!

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Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:51 Mo 18.01.2010
Autor: Sax

Hi,

wenn nix mehr geht, benutzt man die "Holzhammermethode" (nicht sehr elegant, aber wirkungsvoll) :

Bei a) entsteht doch jedes Folgeglied nach folgenden drei Schritten aus seinem Vorgänger :
Kehrwert nehmen --->  1 subtrahieren ---> Kehrwert nehmen

Bei b) geht es analog mit dritten Wurzeln und dritten Potenzen.

Das funktioniert immer, wenn man die explizite Darstellung schon hat und die Funktion a : n [mm] \mapsto [/mm] a(n) = [mm] a_n [/mm]  umkehrbar ist.

Gruß Sax.

Korrektur : In der dritten Zeile ersetze "jedes" durch "jedes, bis auf das erste".

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Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:57 Mo 18.01.2010
Autor: Mathics

hmm bezogen auf a) ... wie müsste denn die rekursionsgleichung heißen.. ich steh echt mega auf dem schlauch

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Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:19 Mo 18.01.2010
Autor: Lueger

Hallo,

ich denke er meinte

[mm] a_{1} [/mm] = -1/2
[mm] a_{n}= \bruch{1}{\bruch{1}{a_{n-1}}-1} [/mm]

somit hast du immer, den Kehrwert der Zahl (z.B. -2), ziehst davon noch einen ab (z.B. - 2-1 = -3) und bildest wieder den Kehrwert (z.B. -1/3)

Gruß
Lueger

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Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:26 Mo 18.01.2010
Autor: Mathics

achso. wie würde es den aussehen mit a0=-1/2 anstatt von a1  ??

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Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 Mo 18.01.2010
Autor: Lueger

genauso.

Setze doch einfach mal ein!

[mm] $a_{0} [/mm] = -1/2$

[mm] $a_{1}= \bruch{1}{\bruch{1}{a_{1-1}}-1} [/mm] $

also
[mm] $a_{1}= \bruch{1}{\bruch{1}{a_{0}}-1} [/mm] $


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Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:38 Mo 18.01.2010
Autor: Mathics

bei mir kommt da aber -2/3 raus ??

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Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:47 Mo 18.01.2010
Autor: Lueger

$ [mm] a_{0} [/mm] = -1/2 $

$ [mm] a_{1}= \bruch{1}{\bruch{1}{a_{0}}-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{-1/2}-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{-2 -1} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{3}$ [/mm]

$ [mm] a_{2}= \bruch{1}{\bruch{1}{a_{1}}-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{-1/3}-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{-3 -1} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{4}$ [/mm]

Grüße
Lueger

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Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:51 Mo 18.01.2010
Autor: Mathics

Aaaah okay ! Alles klar !

und wie siehts bei b) aus???
da habe ich echt gar keinen planm! probiere seit stunden aus!!!

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Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:15 Mo 18.01.2010
Autor: Lueger

$1*1*1 = 1$
$2*2*2 = 8 $
$3*3*3 = 27$
$4*4*4 = 64$
usw.

--> implizite Form $a(n) = [mm] n^3$ [/mm]

explizite Form:

Wurde weiter oben schon einmal beschrieben!
Ziehe aus dem voherigen Folgenglied die dritte Wurzel, dann hast du n. Addiere zu n eins hinzu. Und nehme nun den Wert wieder hoch drei [mm] (n+1)^3 [/mm]

Probier mal ein bisschen rum..... Wenn du wirklich nicht weiter kommen solltest schreib noch mal...

Grüße Lueger

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Folgen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:28 Mo 18.01.2010
Autor: Mathics

hmm also:

a(n) = [mm] (\wurzel[3]{n-1} +1)^3 [/mm]   und das ist ja dann [mm] (n+1)^3 [/mm]  .

ist das die lösung? a(n)= [mm] (n+1)^3 [/mm] und was ist mit dem vorigen folgenglied???

BItte um Hilfe !!!?

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Folgen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:41 Mo 18.01.2010
Autor: Lueger

Sorry ich verstehe nicht was du da geschrieben hast.

Für eine rekursive Folge musst du immer das erste Folgenglied angeben (oder auch mehrere) und dann das nächste Folgenglied(welches vom ersten abhängt).

Lösung wäre:
Probiere die nachzuvollziehen. Es hat ja keinen Sinn solche Aufgaben "auswendig" zu lernen....

[mm] $a_{1}=1$ [/mm]

[mm] $a_{n}=(\wurzel[3]{a_{n-1}} [/mm] + 1 [mm] )^3$ [/mm]

somit hast du ....

[mm] $a_{2}=(\wurzel[3]{a_{1}} [/mm] + 1 [mm] )^3 [/mm] = [mm] (\wurzel[3]{1} [/mm] + 1 [mm] )^3 [/mm] = (1 + 1 [mm] )^3= [/mm] (2 [mm] )^3 [/mm] = 8 $
[mm] $a_{3}=(\wurzel[3]{a_{2}} [/mm] + 1 [mm] )^3 [/mm] = [mm] (\wurzel[3]{8} [/mm] + 1 [mm] )^3 [/mm] = (2 + 1 [mm] )^3= [/mm] (3 [mm] )^3 [/mm] = 27 $
usw....

Grüße
Lueger




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Folgen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:46 Mo 18.01.2010
Autor: Mathics

ALLES klar vielen dank!
aber man mus zugeben die aufgaben sind dochmega schwer oder?!

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Folgen: Potenz: Begriffe
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:23 Mo 18.01.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> Die Dreierpotenz einer Zahl ist nichts weiter als
> die Zahl, dreimal mit sich malgenommen.

Wäre dann eine Zehnerpotenz eine Zahl, zehn mal
mit sich malgenommen ?

Und eine Zweierpotenz eine Zahl, zweimal mit
sich malgenommen ?


Nein. Eine Zehnerpotenz ist eine Potenz der
Zahl 10, zum Beispiel [mm] 10^4. [/mm]

Eine Dreierpotenz ist analog eine Potenz der
Basis 3, zum Beispiel [mm] 3^5. [/mm]

Was du mit "Dreierpotenz" meinst, ist eine
dritte Potenz oder Kubikzahl, also zum
Beispiel  [mm] 5^3. [/mm]

Übrigens sind zur Berechnung von [mm] 5^3 [/mm] nicht
drei, sondern nur zwei Multiplikationen er-
forderlich:

       $\ [mm] 5^3\ [/mm] =\ 5*5*5$


LG   Al-Chw.  


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