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Hallo,
ich habe hier noch ein Problem mit ein paar Folgen, deren Grenzwert ich berechnen soll. An manchen Stellen komme ich nicht weiter, ich wäre dankbar, wenn mir jemand helfen könnte!
Ich habe
lim x-> 0 [mm] \bruch{ln(1+x)}{\wurzel[3]{x}}
[/mm]
Das ist ja der Ausdruck 0:0, also Hospital.
dann habe ich [mm] \bruch{\bruch{1}{1+x}}{1/3x^{-2/3}}
[/mm]
Ich habe aber ein Problem mit der Umformung der Bruchs. Wenn ich nun den Nenner in den Zähler bringen will, was habe ich da? Ich hab ein Problem mit dem Minus im Exponent und der 1/3. Wird die auch zum Kehrwert und steht dann im Zähler als 3?
lim x->0 [mm] x^2*e^{1/x^2} [/mm] Dies ist vom Ausdruck0*unendlich. Was kann ich damit tun?
Wir haben da versucht ein unendlich:unendlich für die Methode des Hospital zu formen, aber ich sehe nicht, wie das geht.
Für mich ist ohnehin der Exponent von der e-FUnktion nicht definiert für 0, also hätte ich nichtmal gesagt, dass das hier von der Form unendlich ist.
Für die Form "unendlich" bei dem [mm] x^2 [/mm] haben wir dann gesagt [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{x^2}} [/mm] Wie kommt man denn darauf? Für x->0 ist das doch als Bruch wieder nicht definiert?!
lim x->unendlich [mm] 1/x*ln(x+3^x) [/mm] DIes ist von der Form [mm] unendlich^0 [/mm] Was kann ich denn jetzt damit tun? Ich könnte es behandeln wie [mm] a^x, [/mm] also schreiben: [mm] e^{1/x*ln(x+3^x} [/mm] aber weiter komme ich nicht. Hier wurde auch so lange umgeformt, bis man Hospital anwenden konnte.
1/x geht gegen 0, also hätte ich etwas von der Form [mm] e^0, [/mm] also 1, aber das kann ja nicht sein. Wir haben in der Lösung [mm] e^{ln3}, [/mm] also 3 stehen, aber ich sehe nicht, woher das kommt.
Und als Ergänzung wurde gesagt: Hier haben wir benutzt:
lim x->unendlich [mm] 1/x*ln(x+3^x) [/mm] WIe kommt man darauf? Wieso darf ich 1/x einfach nach vorne ziehen?
Und das ist auch wieder von der Form 0*unendlich, hat man umgeformt zu einem Bruch, also einfach [mm] ln(x+3^x) [/mm] durch x geteilt, wo man dann wieder einen Ausdruck für Hospital hätte. Und am Schluss haben wir ln3, was ist nun richtig?
Kann mir jemand die Vorgehensweise so erklären, dass es auch verständlich wird?
Lieben Dank!
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> Hallo,
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> ich habe hier noch ein Problem mit ein paar Folgen, deren
> Grenzwert ich berechnen soll. An manchen Stellen komme ich
> nicht weiter, ich wäre dankbar, wenn mir jemand helfen
> könnte
Hallo,
dies ist jetzt der 611. Artikel, den Du hier im Forum geschrieben hast. Ist es denn wirklich zuviel verlangt, den Formeleditor zu verwenden? Die Eingabehilfen befinden sich unterhalb des Eingabefensters.
Glaub mir, daß man alles viel besser und schneller verstehen kann, wenn man es richtig lesen kann:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x^n, \limes_{n\rightarrow 0}x^n, \infty [/mm] (Klick auf Quelltext, dann siehst Du, wie ich es gemacht habe.)
> Ich habe
>
> lim x-> 0 [mm]\bruch{ln(1+x)}{\wurzel[3]{x}}[/mm]
> Das ist ja der Ausdruck 0:0, also Hospital.
>
> dann habe ich [mm]\bruch{\bruch{1}{1+x}}{1/3x^{-2/3}}[/mm]
> Ich habe aber ein Problem mit der Umformung der Bruchs.
> Wenn ich nun den Nenner in den Zähler bringen will, was
> habe ich da? Ich hab ein Problem mit dem Minus im Exponent
> und der 1/3. Wird die auch zum Kehrwert und steht dann im
> Zähler als 3?
[mm] \bruch{\bruch{1}{1+x}}{1/3x^{-2/3}}=\bruch{1}{1+x}*\bruch{1}{\bruch{1}{3}*\bruch{1}{x^{2/3}}}=\bruch{1}{1+x}*3*x^{2/3}.
[/mm]
Bedenke: [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{a}}=a.
[/mm]
>
> lim x->0 [mm]x^2*e^{1/x^2}[/mm] Dies ist vom Ausdruck0*unendlich.
> Was kann ich damit tun?
> Wir haben da versucht ein unendlich:unendlich für die
> Methode des Hospital zu formen, aber ich sehe nicht, wie
> das geht.
Es ist [mm] x^2*e^{1/x^2}=\bruch{1}{\bruch{1}{x^2}}*e^{1/x^2}=\bruch{e^{1/x^2}}{\bruch{1}{x^2}}
[/mm]
> Für mich ist ohnehin der Exponent von der e-FUnktion nicht
> definiert für 0, also hätte ich nichtmal gesagt, dass das
> hier von der Form unendlich ist.
> Für die Form "unendlich" bei dem [mm]x^2[/mm] haben wir dann gesagt
> [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{x^2}}[/mm] Wie kommt man denn darauf?
S.o.: [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{a}}=a.
[/mm]
> Für
> x->0 ist das doch als Bruch wieder nicht definiert?!
Das nicht, aber Du hast jetzt [mm] \bruch{\infty}{\infty}, [/mm] kannst also mit l'Hospital kommen.
>
> lim x->unendlich [mm]1/x*ln(x+3^x)[/mm] DIes ist von der Form
> [mm]unendlich^0[/mm]
???
Lautete die Aufgabe vielleicht [mm] \lim_{x\to \infty}ln(x+3^x)^{\bruch{1}{x}}?
[/mm]
Nach den  Logarithmusgesetzen ist [mm] ln(x+3^x)^{\bruch{1}{x}}=\bruch{1}{x}*ln(x+3^x)=\bruch{ln(x+3^x)}{x}, [/mm] und schwupp hast Du wieder [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] und kannst Dein Glück mit l'Hospital versuchen.
Bedenke dafür, daß [mm] 3^x= e^{x*ln3}.
[/mm]
Gruß v. Angela
> Was kann ich denn jetzt damit tun? Ich könnte
> es behandeln wie [mm]a^x,[/mm] also schreiben: [mm]e^{1/x*ln(x+3^x}[/mm] aber
> weiter komme ich nicht. Hier wurde auch so lange umgeformt,
> bis man Hospital anwenden konnte.
> 1/x geht gegen 0, also hätte ich etwas von der Form [mm]e^0,[/mm]
> also 1, aber das kann ja nicht sein. Wir haben in der
> Lösung [mm]e^{ln3},[/mm] also 3 stehen, aber ich sehe nicht, woher
> das kommt.
>
> Und als Ergänzung wurde gesagt: Hier haben wir benutzt:
> lim x->unendlich [mm]1/x*ln(x+3^x)[/mm] WIe kommt man darauf? Wieso
> darf ich 1/x einfach nach vorne ziehen?
> Und das ist auch wieder von der Form 0*unendlich, hat man
> umgeformt zu einem Bruch, also einfach [mm]ln(x+3^x)[/mm] durch x
> geteilt, wo man dann wieder einen Ausdruck für Hospital
> hätte. Und am Schluss haben wir ln3, was ist nun richtig?
>
> Kann mir jemand die Vorgehensweise so erklären, dass es
> auch verständlich wird?
>
> Lieben Dank!
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Mein Problem ist bei
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} x^2\cdot{}e^{1/x^2}, [/mm] dass ich hier die Form 0 * [mm] \infty [/mm] nicht sehe, denn für mich ist der Quotient nicht definiert.
Und [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{x^2}} [/mm] Ist bei mir ebenso nicht "unendlich".
Ich sehe nicht, wie man hier am Ende auf den Grenzwert unendlich kommt.
Und bei:
[mm] \limes_{x\rightarrow \infty} (x+3^x)^{1/x} [/mm] sehe ich gar nicht mehr, wie man hier weiter macht und wieso.
Ein Mal haben wir gesagt, die ist von der Form [mm] \infty^0 [/mm] und haben daraus [mm] e^{1/x ln(x+3^x)} [/mm] gemacht, wieso dies e^ln3 ist, verstehe ich nicht.
Und die zweite Umformung, die wir gemacht haben war eben [mm] 1/x*ln(x+3^x), [/mm] da haben wir am Ende aber ln 3 heraus.
Was simmt nun?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Mo 02.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Mein Problem ist bei
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} x^2\cdot{}e^{1/x^2},[/mm] dass ich hier
> die Form 0 * [mm]\infty[/mm] nicht sehe, denn für mich ist der
> Quotient nicht definiert.
Du musst schon ein gewisses Wissen mitbringen, z.B., dass [mm] $e^y \to \infty$ [/mm] bei $y [mm] \to \infty\,.$ [/mm] Und bei $x [mm] \to [/mm] 0$ strebt [mm] $x^2$ [/mm] gegen [mm] $0\,,$ [/mm] und (weil [mm] $x^2$ [/mm] stets [mm] $\ge [/mm] 0$ ist) folglich [mm] $y:=y(x):=1/x^2$ [/mm] gegen [mm] $\infty$ [/mm] und damit [mm] $e^{1/x^2}=e^y$ [/mm] gegen [mm] $\infty\,.$
[/mm]
Du verwechselst auch oben etwas: Dass [mm] $1/x^2$ [/mm] für $x=0$ nicht definiert ist, heißt nicht, dass man nichts über [mm] $1/x^2$ [/mm] bei $0 [mm] \not=x \to [/mm] 0$ aussagen kann. Es gilt hier vielmehr [mm] $\lim_{x \to 0}1/x^2=\lim_{\substack{x \to 0,\\x \not=0}}1/x^2=\infty\,.$
[/mm]
Du musst Dich unbedingt nochmal mit den Grenzwerten von Funktionen beschäftigen, insbesondere, wie [mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)$ [/mm] genau definiert ist (das wird nämlich meist, unabhängig davon, ob [mm] $f(x_0)$ [/mm] existiert, definiert; vgl. etwa Definition 10.4 aus ![[]](/images/popup.gif) diesem Skript).
Gruß,
Marcel
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Ich hab nochmal eine Frage zu dem Ausdruck
[mm] \bruch{1}{\bruch{1}{a}}=a
[/mm]
DIeser ist ja schlüssig, aber:
Es gibt ja FUnktionen, die ich umformen kann, wenn es einen unbestimmten Ausdruck ergibt.
zB bei [mm] (x-e^x) [/mm] habe ich ja den Ausdruck unendlich-unendlich wenn ich das Ganze gegebn unendlich laufen lasse.
Nun kann ich umformen, indem ich diese Umformung nutze; [mm] \bruch{1/f-1/f}{1/(gf)}
[/mm]
Aber wenn ich 1/(gf) bilde, dann hebt sich das doch auf, oder nicht?
Bei der Funktion käme ich dann doch nicht auf die Lösung:
[mm] \bruch{-1/x+1/e^x}{x*e^x}, [/mm] denn dann würde sich doch 1/fg aufheben und stünde nicht im Nenner, sondern im Zähler.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:04 Di 03.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich hab nochmal eine Frage zu dem Ausdruck
>
> [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{a}}=a[/mm]
>
> DIeser ist ja schlüssig, aber:
>
> Es gibt ja FUnktionen, die ich umformen kann, wenn es einen
> unbestimmten Ausdruck ergibt.
>
> zB bei [mm](x-e^x)[/mm] habe ich ja den Ausdruck unendlich-unendlich
> wenn ich das Ganze gegebn unendlich laufen lasse.
>
> Nun kann ich umformen, indem ich diese Umformung nutze;
> [mm]\bruch{1/f-1/f}{1/(gf)}[/mm]
nein, aber [mm] $\frac{1/\blue{g}\;-\;1/f}{1/(gf)}=f-g\,.$
[/mm]
> Aber wenn ich 1/(gf) bilde, dann hebt sich das doch auf,
> oder nicht?
? Es gilt
[mm] $$\frac{1/g\;-\;1/f}{1/(gf)}=\left(\frac{1}{g}-\frac{1}{f}\right)*(gf)=\frac{gf}{g}-\frac{gf}{f}=f-g\,.$$
[/mm]
> Bei der Funktion käme ich dann doch nicht auf die Lösung:
>
> [mm]\bruch{-1/x+1/e^x}{\red{x*e^x}},[/mm] denn dann würde sich doch 1/fg
> aufheben und stünde nicht im Nenner, sondern im Zähler.
??? Was hebt sich da auf? Deine Rechnung stimmt ja auch nicht:
Dort entspricht [mm] $f\,$ [/mm] gerade [mm] $\,x$ [/mm] und [mm] $\,g$ [/mm] entspricht [mm] $e^x\,,$ [/mm] also
[mm] $$x-e^x=\frac{1/e^x\;-\;1/x}{\blue{1/(x*e^x)}}\,.$$
[/mm]
Was Dir diese Umformung hier bringen soll, weiss ich allerdings nicht. Es gilt aber nach Taylor für $x [mm] \ge [/mm] 0$
[mm] $$e^x=e^0+x*e^0+\frac{x^2}{2}e^0+... \ge 1+x+\frac{x^2}{2}\,,$$ [/mm] und damit
[mm] $$e^x-x \ge \frac{x^2}{2} \to \infty \;\;(x \to \infty) \Rightarrow e^x-x \to \infty \;\;(x \to \infty)\,,$$
[/mm]
und damit
[mm] $$x-e^x \to -\infty\;\;(x \to \infty)\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Wie hätte ich die Aufgabe denn ohne diese Umformung lösen können?
Ich meinte außerdem, dass der Bruch [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{irgendwas}} [/mm] sich doch aufheben müsste zu [mm] \bruch{irgendwas}{1} [/mm] oder nicht? Wieso bleibt die Funktion nachher einfach im Nenner?
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> Wie hätte ich die Aufgabe denn ohne diese Umformung lösen
> können?
Hallo,
das hat Dir Marcel doch vorgerechnet.
>
> Ich meinte außerdem, dass der Bruch
> [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{irgendwas}}[/mm] sich doch aufheben müsste
> zu [mm]\bruch{irgendwas}{1}[/mm] oder nicht?
Aufheben? Die beiden Brüche sind gleich.
> Wieso bleibt die
> Funktion nachher einfach im Nenner?
Ich weiß nicht, was Du meinst.
Gruß v. Angela
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Hallo,
okay, ich glaub, ich habs jetzt verstanden.
Dann aber noch eine kurze Rückfrage.
ich habe die Folge [mm] \bruch{x^2}{x^3} [/mm] und ich soll den Grenzwert gegen 0 bestimmen.
Ich hätte jetzt Hospital genommen, aber dann habe ich doch [mm] \bruch{2}{6x}, [/mm] nicht wahr? Das ist doch aber für 0 im Nenner gar nicht definiert. Oder muss ich das tatsächlich dann einfach als "gegen 0" sehen, also dass es nie 0 wird?
Manchmal gibt es Fälle (mein Gefühl) da darf ich 0 einsetzen und manchmal da sehe ich den Grenzwert nur als "gegen 0". Das verstehe ich nicht ganz.
Ähnlich hier, denn da komme ich doch mit Hospital auch nicht weiter:
Ich soll den Grenzwert für [mm] \bruch{x^5}{e^x} [/mm] gegen unendlich bestimmen.
Ich kann ja dann einige Male mit Hospital ableiten, aber habe dann irgendwann [mm] \bruch{120}{e^x}, [/mm] aber das ist doch gar nicht [mm] \infty, [/mm] was das Ergebnis sein sollte. Was mache ich hier falsch?
Danke sehr!
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> Hallo,
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> okay, ich glaub, ich habs jetzt verstanden.
>
> Dann aber noch eine kurze Rückfrage.
>
> ich habe die Folge [mm]\bruch{x^2}{x^3}[/mm] und ich soll den
> Grenzwert gegen 0 bestimmen.
>
> Ich hätte jetzt Hospital genommen,
Hallo,
da kommst Du aber mit scharfen Geschützen...
[mm] \bruch{x^2}{x^3}=\bruch{1}{x} \to \infty [/mm] für [mm] x\to 0^{+}
[/mm]
[mm] \bruch{x^2}{x^3}=\bruch{1}{x} \to- \infty [/mm] für [mm] x\to 0^{-}
[/mm]
Hmmm - aber Du schreibst Folge... Du meinst Funktion, oder?
> Manchmal gibt es Fälle (mein Gefühl) da darf ich 0
> einsetzen und manchmal da sehe ich den Grenzwert nur als
> "gegen 0". Das verstehe ich nicht ganz.
Ich verstehe nicht, was Du meinst.
>
>
> Ähnlich hier, denn da komme ich doch mit Hospital auch
> nicht weiter:
>
> Ich soll den Grenzwert für [mm]\bruch{x^5}{e^x}[/mm] gegen unendlich
> bestimmen.
>
> Ich kann ja dann einige Male mit Hospital ableiten, aber
> habe dann irgendwann [mm]\bruch{120}{e^x},[/mm] aber das ist doch
> gar nicht [mm]\infty,[/mm] was das Ergebnis sein sollte. Was mache
> ich hier falsch?
Nichts. Der Grenzwert [mm] \lim_{x\to \infty}\bruch{x^5}{e^x}=0.
[/mm]
Gruß v. Angela
> Danke sehr!
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> >
> > ich habe die Folge [mm]\bruch{x^2}{x^3}[/mm] und ich soll den
> > Grenzwert gegen 0 bestimmen.
> >
> > Ich hätte jetzt Hospital genommen,
>
> Hallo,
>
> da kommst Du aber mit scharfen Geschützen...
>
> [mm]\bruch{x^2}{x^3}=\bruch{1}{x} \to \infty[/mm] für [mm]x\to 0^{+}[/mm]
>
> [mm]\bruch{x^2}{x^3}=\bruch{1}{x} \to- \infty[/mm] für [mm]x\to 0^{-}[/mm]
>
> Hmmm - aber Du schreibst Folge... Du meinst Funktion,
> oder?
>
Gibt es denn da einen Unterschied? Wir haben es hier als Folgenbeispiel. Ist das Ergebnis tatsächlich nun 0^+ und 0^-?
Ich habe hier noch ein Problem mit einer Umformung. Ich hoffe, es ist okay, wenn ich das hier reinstelle, ansonsten knüpfe ich es nochmal raus.
Ich bin bis zum dem Bruch [mm] \bruch{1+3^x+ln3}{x+3^x} [/mm] gekommen, und lasse den Grenzwert für diese Folge gegen [mm] \infty [/mm] laufen.
Aber wie kann ich nun weitermachen um auf einen Grenzwert zu kommen? Eigentlich ja wiede rmit Hospital ableiten, aber ich finde die Ableitungen leider nicht.
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Hallo Englein,
> Ich habe hier noch ein Problem mit einer Umformung. Ich
> hoffe, es ist okay, wenn ich das hier reinstelle, ansonsten
> knüpfe ich es nochmal raus.
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> Ich bin bis zum dem Bruch [mm]\bruch{1+3^x+ln3}{x+3^x}[/mm]
> gekommen, und lasse den Grenzwert für diese Folge gegen
> [mm]\infty[/mm] laufen.
>
> Aber wie kann ich nun weitermachen um auf einen Grenzwert
> zu kommen? Eigentlich ja wiede rmit Hospital ableiten, aber
> ich finde die Ableitungen leider nicht.
Jo, das ist viel zu aufwendig.
Klammere lieber im Zähler und Nenner [mm] $3^x$ [/mm] aus, dann kannst du es wegkürzen und den Grenzübergang [mm] $x\to\infty$ [/mm] machen.
LG
schachuzipus
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> Hallo Englein,
>
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> > Ich habe hier noch ein Problem mit einer Umformung. Ich
> > hoffe, es ist okay, wenn ich das hier reinstelle, ansonsten
> > knüpfe ich es nochmal raus.
> >
> > Ich bin bis zum dem Bruch [mm]\bruch{1+3^x+ln3}{x+3^x}[/mm]
> > gekommen, und lasse den Grenzwert für diese Folge gegen
> > [mm]\infty[/mm] laufen.
> >
> > Aber wie kann ich nun weitermachen um auf einen Grenzwert
> > zu kommen? Eigentlich ja wiede rmit Hospital ableiten, aber
> > ich finde die Ableitungen leider nicht.
>
> Jo, das ist viel zu aufwendig.
>
> Klammere lieber im Zähler und Nenner [mm]3^x[/mm] aus, dann kannst
> du es wegkürzen und den Grenzübergang [mm]x\to\infty[/mm] machen.
>
Wie kommst du denn dann auf ln 3 als Grenzwert? Ich bekomme dann, wenn ich in Zähler und Nenner [mm] 3^x [/mm] ausklammere nur Blödsinn :/
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Hallo nochmal,
> > Klammere lieber im Zähler und Nenner [mm]3^x[/mm] aus, dann kannst
> > du es wegkürzen und den Grenzübergang [mm]x\to\infty[/mm] machen.
> >
>
> Wie kommst du denn dann auf ln 3 als Grenzwert?
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Gar nicht, habe ich aber auch nie behauptet!
> Ich bekomme
> dann, wenn ich in Zähler und Nenner [mm]3^x[/mm] ausklammere nur
> Blödsinn :/
Schreibe den Ausdruck, den du nach dem Ausklammern erhältst auf, dann sehen wir weiter.
Mit "Blödsinn" kann kein Mensch etwas anfangen ...
LG
schachuzipus
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[mm] \bruch{1+3^x+ln3}{x+3^x}
[/mm]
Okay, ich bekomme:
[mm] \bruch{\bruch{1}{3^x}+1+\bruch{ln3}{3^x}}{\bruch{x}{3^x}+1}
[/mm]
Aber wie komme ich nun weiter?
Kennt ihr eigentlich Anwendungen für den Fall dass ich einen Ausdruck von [mm] 1^{\infty} [/mm] oder [mm] \infty^0 [/mm] bekomme, wenn ich den Limes einsetze?
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Hallo Englein,
alles wird gut...
[mm] \bruch{\bruch{1}{3^x}+1+\bruch{ln3}{3^x}}{\bruch{x}{3^x}+1}
[/mm]
Wie schön. Das ist doch eine feine Form. Du hast einen Bruch, im Zähler stehen drei Summanden, im Nenner zwei. Für alle ist einzeln klar zu ermitteln, was der Grenzwert für [mm] x\rightarrow\red{+}\infty [/mm] ist, und man bekommt:
[mm] \bruch{0+1+0}{0+1}
[/mm]
edit: Zu [mm] \blue{x\rightarrow}\red{-}\blue{\infty} [/mm] siehe Marcels berechtigte Korrekturmitteilung zu diesem Artikel!
Warum suchst Du nach Aufgaben mit [mm] 1^\infty [/mm] ? Da gibt es doch kein Problem. edit: Quatsch. Ich habe gerade über Camembert, Lasagne oder Frühlingsrolle nachgedacht, da kann ja nichts sinnvolles rauskommen. Naja, doch: ich habe mich gegen alle drei entschieden.
Der Klassiker dafür ist doch [mm] \blue{\limes_{n\rightarrow+\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n} [/mm] - den kennst Du sicher.
Bei [mm] \infty^0 [/mm] kommt es drauf an, ob eher das Argument [mm] Dingens^0 [/mm] oder [mm] \infty^{irgendwas} [/mm] zieht. Schwieriger wirds, wenn beides zutrifft.
Betrachte mal folgende:
[mm] \limes_{x\rightarrow+\infty}x^{\bruch{1}{x}}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow+\infty}x^{\bruch{1}{\ln{x}}}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow+\infty}x^{\bruch{1}{(\ln{x})^2}}
[/mm]
Viel Erfolg dabei,
reverend
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 03:08 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur der Ergänzung wegen:
> Hallo Englein,
>
> alles wird gut...
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{3^x}+1+\bruch{ln3}{3^x}}{\bruch{x}{3^x}+1}[/mm]
>
> Wie schön. Das ist doch eine feine Form. Du hast einen
> Bruch, im Zähler stehen drei Summanden, im Nenner zwei. Für
> alle ist einzeln klar zu ermitteln, was der Grenzwert für
> [mm]x\rightarrow\pm\infty[/mm] ist, und man bekommt:
>
> [mm]\bruch{0+1+0}{0+1}[/mm]
dass [mm] $\lim_{x \to \infty}x/3^x=0$ [/mm] ist, erkennt man (wie sollte es anders sein) z.B. mit Hospital (dazu schreibe man [mm] $3^x=e^{x*\ln(3)}$ [/mm] und wende dann die Kettenregel an).
Aber Vorsicht bei $x [mm] \to -\infty$:
[/mm]
Leider stimmt Deine Rechnung oben für $x [mm] \to -\infty$ [/mm] nicht, denn [mm] $x/3^x \to -\infty$ [/mm] bei $x [mm] \to -\infty$ [/mm] (weil dann [mm] $3^x \to [/mm] 0$).
(Ebenso gilt dann auch [mm] $1/3^x \to \infty$ [/mm] etc.)
Der Vollständigkeit wegen:
Es ergibt sich z.B.
[mm] $$\lim_{x \to -\infty} \frac{1+3^x+\ln(3)}{x+3^x}=0\,$$
[/mm]
weil wegen [mm] $3^x \to [/mm] 0$ ($x [mm] \to -\infty$) [/mm] dann der Zähler für genügend kleine [mm] $\,x\,$ [/mm] zwar stets $> 1$ ist, aber auch nach oben beschränkt (insgesamt ist der Zähler also für genügend kleine [mm] $\,x$ [/mm] beschränkt). Der Nenner strebt aber bei $x [mm] \to -\infty$ [/mm] gegen [mm] $-\infty\,.$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:11 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Englein89 |
>
> Bei [mm]\infty^0[/mm] kommt es drauf an, ob eher das Argument
> [mm]Dingens^0[/mm] oder [mm]\infty^{irgendwas}[/mm] zieht. Schwieriger wirds,
> wenn beides zutrifft.
>
> Betrachte mal folgende:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow+\infty}x^{\bruch{1}{x}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow+\infty}x^{\bruch{1}{\ln{x}}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow+\infty}x^{\bruch{1}{(\ln{x})^2}}[/mm]
>
Heißt das, dass ich bei solchen Ausdrücken immer die ln-Regel anwenden sollte, also den Exponent nach vorne und den Ausdruck dann mit ln multipliziere? So habe ich das in dem Beispiel ja im Grunde auch gemacht, aber ich weiß nicht genau, ob das auch für diese Ausdrücke hier funktioniert.
Bei dem Ausdruck [mm] 0*\infty [/mm] wie bei [mm] x^2*e^{\bruch{1}{x^2}} [/mm] kann ich ja im Grunde die Umformung [mm] \bruch{f}{1/g} [/mm] benutzen, oder? Ist es egal wo f und g dabei steht? Denn eigentlich müsste ja die e-Funktion dann 1/... lauten und nicht wie wir in der Lösung hatten [mm] 1/x^2, [/mm] oder?
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> >
> > Bei [mm]\infty^0[/mm] kommt es drauf an, ob eher das Argument
> > [mm]Dingens^0[/mm] oder [mm]\infty^{irgendwas}[/mm] zieht. Schwieriger wirds,
> > wenn beides zutrifft.
> >
> > Betrachte mal folgende:
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow+\infty}x^{\bruch{1}{x}}[/mm]
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow+\infty}x^{\bruch{1}{\ln{x}}}[/mm]
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow+\infty}x^{\bruch{1}{(\ln{x})^2}}[/mm]
> >
>
> Heißt das, dass ich bei solchen Ausdrücken immer die
> ln-Regel anwenden sollte, also den Exponent nach vorne und
> den Ausdruck dann mit ln multipliziere? So habe ich das in
> dem Beispiel ja im Grunde auch gemacht, aber ich weiß nicht
> genau, ob das auch für diese Ausdrücke hier funktioniert.
Hallo,
das weiß man, wenn man es versucht hat.
Ich würde - hätte ich diese Aufgaben zu lösen - sie jedenfalls erstmal so angehen, daß ich [mm] x=e^{ln(x)} [/mm] verwende. Wenn's nicht funktioniert, muß man sich was anderes ausdenken.
> Bei dem Ausdruck [mm]0*\infty[/mm] wie bei [mm]x^2*e^{\bruch{1}{x^2}}[/mm]
> kann ich ja im Grunde die Umformung [mm]\bruch{f}{1/g}[/mm]
> benutzen, oder?
Kommt drauf an, was Du als f und g verwendest. Das müßtest Du schon dazusagen, wenn Du wissen willst, ob's richtig oder falsch ist. Es ist jedenfalls [mm] \bruch{f}{1/g}=fg.
[/mm]
> Ist es egal wo f und g dabei steht? Denn
> eigentlich müsste ja die e-Funktion dann 1/... lauten
???. Es wäre hilfreich, würdest Du Deine Gedanken ausformulieren.
> und
> nicht wie wir in der Lösung hatten [mm]1/x^2,[/mm] oder?
So geht das nicht. Wir sollen uns hier aus Fragmenten Deinen Lösungsweg zusammenreimen, und ihn dann auch noch mit dem Lösungsweg aus der Vorlesung, von welchem Du minimale Bruchstücke verrätst, vergleichen.
Wenn Du eine Antwort haben willst:
präsentiere Deinen Lösungsweg nachvollziehbar und komplett.
Poste den der Vorlesung.
Stell Deine Fragen dazu.
Gruß v. Angela
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Okay, also:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} x^2 e^{\bruch{1}{x^2}}
[/mm]
DIes ist ja [mm] 0*\infty
[/mm]
Demnach könnte ich ja jetzt hingehen und benutzen: [mm] \bruch{f}{1/g}
[/mm]
Aber ist es egal, was ich dabei wie nenne? Denn meiner Meinung nach müsste ich doch dann [mm] \bruch{x^2}{e^{\bruch{1}{x^2}}} [/mm] lauten und nicht, wie wir es in der Übung hatten, andersrum?
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Hallo Englein!
Man kann hier wie folgt umformen, indem man die Regeln der Bruch- und Potenzrechnung beachtet:
[mm] $$x^2*e^{\bruch{1}{x^2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^{\bruch{1}{x^2}}}{\bruch{1}{x^2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^{\bruch{1}{x^2}}}{x^{-2}}$$
[/mm]
[mm] $$x^2*e^{\bruch{1}{x^2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^2}{\bruch{1}{e^{\bruch{1}{x^2}}}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^2}{e^{-\bruch{1}{x^2}}}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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> Hallo Englein!
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> Man kann hier wie folgt umformen, indem man die Regeln der
> Bruch- und Potenzrechnung beachtet:
> [mm]x^2*e^{\bruch{1}{x^2}} \ = \ \bruch{e^{\bruch{1}{x^2}}}{\bruch{1}{x^2}} \ = \ \bruch{e^{\bruch{1}{x^2}}}{x^{-2}}[/mm]
>
> [mm]x^2*e^{\bruch{1}{x^2}} \ = \ \bruch{x^2}{\bruch{1}{e^{\bruch{1}{x^2}}}} \ = \ \bruch{x^2}{e^{-\bruch{1}{x^2}}}[/mm]
>
Also habe ich es schon richtig verstanden, dass es bei Folgen von so einem AUsdruck dann egal wie, was mein g und f ist?
Und bei den Folgen der Form mit [mm] 0^{\infty} [/mm] und ähnlichen AUsdrücken wüsste ich jetzt außer dem Zusammenhang e und ln-Funktion keine andere Möglichkeit. Aber in der Regel sollte es auch damit klappen, oder?
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> > Hallo Englein!
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> >
> > Man kann hier wie folgt umformen, indem man die Regeln der
> > Bruch- und Potenzrechnung beachtet:
> > [mm]x^2*e^{\bruch{1}{x^2}} \ = \ \bruch{e^{\bruch{1}{x^2}}}{\bruch{1}{x^2}} \ = \ \bruch{e^{\bruch{1}{x^2}}}{x^{-2}}[/mm]
>
> >
> > [mm]x^2*e^{\bruch{1}{x^2}} \ = \ \bruch{x^2}{\bruch{1}{e^{\bruch{1}{x^2}}}} \ = \ \bruch{x^2}{e^{-\bruch{1}{x^2}}}[/mm]
>
> >
> Also habe ich es schon richtig verstanden, dass es bei
> Folgen von so einem AUsdruck dann egal wie, was mein g und
> f ist?
Hallo,
das kommt jetzt darauf an, was man bezweckt. Wenn man einfach nur mal so aus Lust und Laune ein bißchen umformen möchte, ist es wirklich egal.
Wenn man aber umformt, um anschließend zu hospitalisieren - und ich nehme an, daß das der Zweck der Maßnahme war-, dann muß man damit rechnen, daß die eine variante funktioniert und die andere nicht. Wenn man Pech hat, klappt alles nicht.
Probier doch einfach mal aus, was bei der Anwendung von l'Hospital in beiden Fällen passiert. Vielleicht wird dann klar, weshalb in Eurer Vorlesung der Weg so gewählt wurde, wie er gewählt wurde.
> Und bei den Folgen der Form mit [mm]0^{\infty}[/mm] und ähnlichen
> AUsdrücken wüsste ich jetzt außer dem Zusammenhang e und
> ln-Funktion keine andere Möglichkeit. Aber in der Regel
> sollte es auch damit klappen, oder?
Ich weiß es nicht, ob das immer klappt. Aber wir müssen doch auch keine allgemeinen Regeln für alle Zu- und Unfälle des Lebens aufstellen. Wichtig ist, daß Du diesen Weg über den ln kennst und ihn im geeigneten Moment probieren kannst.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:05 Di 03.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich bin bis zum dem Bruch [mm]\bruch{1+3^x+ln3}{x+3^x}[/mm]
> gekommen, und lasse den Grenzwert für diese Folge gegen
> [mm]\infty[/mm] laufen.
Du musst lernen, Dich mathematisch verständlich auszudrücken. Natürlich gibt es einen Unterschied zwischen Folgen und Funktionen, eine Folge ist aber ein Spezialfall einer Funktion, nämlich (meist per Definitionem) eine Funktion mit Definitionsbereich [mm] $\IN\,.$
[/mm]
(Tipp: Ich habe Dir mehrmals dieses Skript verlinkt, also nachschlagen, nachlesen, nachvollziehen und notfalls nochmal nachfragen, wenn etwas unklar ist/bleibt!)
Was Du oben, rot markiert, schreibst, ist sprachlich ziemlich daneben:
Es ist zu untersuchen, ob der Grenzwert der Funktion $x [mm] \mapsto \bruch{1+3^x+ln3}{x+3^x}$ [/mm] existiert (und, im Falle der Existenz, sollte dieser auch angegeben werden), wenn man dabei das Argument (d.h. die Variable [mm] $\,x\,$) [/mm] gegen [mm] $\infty$ [/mm] laufen läßt.
Du läßt da keinen Grenzwert gegen [mm] $\infty$ [/mm] laufen!!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Di 03.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> > >
> > > ich habe die Folge [mm]\bruch{x^2}{x^3}[/mm] und ich soll den
> > > Grenzwert gegen 0 bestimmen.
> > >
> > > Ich hätte jetzt Hospital genommen,
> >
> > Hallo,
> >
> > da kommst Du aber mit scharfen Geschützen...
> >
> > [mm]\bruch{x^2}{x^3}=\bruch{1}{x} \to \infty[/mm] für [mm]x\to 0^{+}[/mm]
>
> >
> > [mm]\bruch{x^2}{x^3}=\bruch{1}{x} \to- \infty[/mm] für [mm]x\to 0^{-}[/mm]
>
> >
> > Hmmm - aber Du schreibst Folge... Du meinst Funktion,
> > oder?
> >
>
> Gibt es denn da einen Unterschied? Wir haben es hier als
> Folgenbeispiel. Ist das Ergebnis tatsächlich nun 0^+ und
> 0^-?
nein. Angelas Aussage ist:
Würde [mm] $\lim_{x \to 0} x^2/x^3=\lim_{x \to 0}1/x$ [/mm] existieren, so wäre [mm] $\lim_{x \to 0^+}1/x=\lim_{x \to 0^-}1/x=\lim_{x \to 0}1/x\,,$ [/mm] es ist aber
[mm] $$\lim_{x \to 0^-}1/x=-\infty\not=\infty=\lim_{x \to 0^+}1/x\,.$$
[/mm]
Also kann [mm] $\lim_{x \to 0}x^2/x^3$ [/mm] nicht existieren!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 Di 03.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich habe die Folge [mm]\bruch{x^2}{x^3}[/mm] und ich soll den
> Grenzwert gegen 0 bestimmen.
>
> Ich hätte jetzt Hospital genommen,
das kann man probieren.
> aber dann habe ich doch
> [mm]\bruch{2}{6x},[/mm] nicht wahr? Das ist doch aber für 0 im
> Nenner gar nicht definiert.
> Oder muss ich das tatsächlich
> dann einfach als "gegen 0" sehen, also dass es nie 0 wird?
Ich hatte Dich schonmal darum gebeten, nachzuschlagen, was [mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)$ [/mm] bedeutet:
Dabei läßt man, sofern [mm] $x_0$ [/mm] ein Häufungspunkt des Definitionsbereiches von [mm] $\,f\,$ [/mm] ist, immer $x [mm] \not= x_0$ [/mm] gegen [mm] $x_0$ [/mm] laufen.
Dass [mm] $\frac{2}{6*0}$ [/mm] nicht definiert ist, ändert nichts daran, dass [mm] $\lim_{0 < x \to 0}\frac{2}{6*x}=\infty$ [/mm] und [mm] $\lim_{0 > x \to 0}\frac{2}{6*x}=-\infty$ [/mm] ist.
Aber mit [mm] $\lim_{0 < x \to 0}\frac{2}{6*x} \not= \lim_{0 > x \to 0}\frac{2}{6*x}$ [/mm] erhälst Du, dass
[mm] $$\lim_{x \to 0}\frac{2}{6x}$$
[/mm]
nicht existiert. Hospital würde hier also versagen. (Schau' einfach mal genau in die Voraussetzungen des Satzes, was für [mm] $\lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ [/mm] gelten muss: Existenz!)
Wenn es allerdings um [mm] $\lim_{x \to 0^+}x^2/x^3=\lim_{0 < x \to 0}x^2/x^3$ [/mm] geht, dann erhälst Du sowohl mit Hospital das richtige Ergebnis [mm] $\infty$ [/mm] sowie auch mit Angelas einfachen Umformung [mm] $x^2/x^3=1/x$ [/mm] das Ergebnis [mm] $\infty$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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