Folgen, Konvergenz, Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die nafolgenden Folgen [mm] \{a_{n}\}_{n\in\IN } [/mm] müssen auf Konvergenz untersucht werden und gegebenenfalls ihre Grenzwerte bestimmt werden.
a) [mm] \bruch{2^n+(-2)^n}{2^n} [/mm] b) [mm] \bruch{2^n+(-2)^n}{3^n}
[/mm]
c) [mm] (-1)^n\bruch{n^2+n-2}{n^2-10} [/mm] d) [mm] (-1)^n\bruch{n^2+2n-1}{n^3+5} [/mm] |
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^n+(-2)^n}{2^n}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^n}{2^n}+\bruch{(-2)^n}{2^n}=\limes_{n\rightarrow\infty} 1+(-1)^n
[/mm]
// keine Konvergenz da zwei Häufungspunkte gibt, 0 und 2 ... richtig?!
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^n+(-2)^n}{3^n}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^n}{3^n}+\bruch{(-2)^n}{3^n}=\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{2}{3})^n+(-\bruch{2}{3})^n
[/mm]
// Hier würde ich erneut sagen, das es keine Konvergenz gibt, da 0 und 2 Häufungspunkte sind ... da diese Folge sich von der Ersten nur im Nenner unterscheidet denke ich das das Ergebnis nicht so leicht sein kann ... oder irre ich mich?!
c) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^n\bruch{n^2+n-2}{n^2-10}=\limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^n\bruch{1+1/n-2/n}{1-10/n^2}
[/mm]
// keine Konvergenz, da zwei Häufungpunkte, -1 und 1 ... oder ?!
d) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^n\bruch{n^2+2n-1}{n^3+5}=\limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^n\bruch{1+2/n-1/n^2}{n+5/n^2}
[/mm]
// keine Konvergenz, da aufgrund [mm] (-1)^n [/mm] erneut zwei Häufungspunkte gibt ... oder nicht ?!
Ich bitte um Kontrolle meiner Ergebnisse und Notation.
Vielen Dank im Voraus,
prikolshik
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:07 Mi 13.05.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Bei b) und d) musst du noch mal gucken. Setz mal hohe Zahlen ein und schau, was passiert. Dann versuch eine Erklärung zu finden!
Noch eine kleine Hilfe:
b)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{2}{3})^n+(-\bruch{2}{3})^n)=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{3})^n+\limes_{n\rightarrow\infty}(-\bruch{2}{3})^n
[/mm]
[mm] (-\bruch{2}{3})^n [/mm] ist zwar eine alternierende Folge, aber der Grenzwert ist trotzdem...
d)
Welchen Grenzwert hat der Bruch?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^n+(-2)^n}{3^n}=\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^n}{3^n}+\bruch{(-2)^n}{3^n}=\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{2}{3})^n+(-\bruch{2}{3})^n
[/mm]
// Grenzpunkt ist 0, da beide Quotienten Nullfolgen sind.
d) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^n\bruch{n^2+2n-1}{n^3+5}=\limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^n\bruch{1+2/n-1/n^2}{1+5/n^2}
[/mm]
// Hier ist der Grenzpunkt wieder eine 0, weil der Quotient eine Nullfolge ist.
Ich hoffe jetzt stimmt alles.
Wie ist meine Notation? Ist es besser verbal oder formal das Ergebnis und Begründung darzustellen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Mi 13.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Alles jetzt fast richtig.
bei b wuerd ich noch aus lim summe sum lim machen, da beide konv. und dann =0 hinschreiben,
bei d ist noch ein Fehler. du hast doch durch [mm] n^3 [/mm] geteilt. so wie deine rechte seite dasteht waere der GW 1!
Wenn es richtig ist solltest du schreiben Zaehler eine summe von Nullfolgen, Nenner gegen 1 deshalb....
Gruss leduart
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Danke für deine schnelle Hilfe!
Bei d) habe ich mich vertippt. Richtig sieht es so aus:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^n\bruch{n^2+2n-1}{n^3+5}=\limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^n\bruch{1/n+2/n^2-1/n^3}{1+5/n^3} [/mm]
> bei b wuerd ich noch aus lim summe sum lim machen, da beide konv. und dann =0 hinschreiben
Was meinst du damit ?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Mi 13.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{2}{3})^n+(-\bruch{2}{3})^n $=\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{2}{3})^n+\limes_{n\rightarrow\infty}(-\bruch{2}{3})^n [/mm] $=0+0=0
und
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^n\bruch{n^2+2n-1}{n^3+5}=\limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^n\bruch{1/n+2/n^2-1/n^3}{1+5/n^3} $=\pm 1*\bruch{0+0+0}{1+0}=0
[/mm]
Dann braucht man keine Worte mehr.
Gruss leduart
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