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| Aufgabe | Entscheiden Sie ob bei nachfolgenden Folgen Konvergenz oder Divergenz vorliegt und bestimmen Sie ggf. deren Limes.
(c) $ [mm] c_{n}=\bruch{n!+2^{n}}{n!} [/mm] $
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Hallo,
ich bin mir habe da zwei ansaetze und weiss nicht welcher richitg,
koennte mir das bitte jemand von euch sagen, danke
erster:
wenn n gegen unendlich strebt, dann
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} c_{n}=\bruch{\infty+2^{\infty}}{\infty} [/mm] $
so und dann ist
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} c_{n}=\bruch{\infty+\infty}{\infty} [/mm] $
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} c_{n}=\bruch{\infty}{\infty} [/mm] $
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} c_{n}=1 [/mm] $
zweiter ansatz:
$ [mm] c_{n}=\bruch{n!+2^{n}}{n!} [/mm] $
$ [mm] c_{n}=\bruch{n!}{n!}+ \bruch{2^{n}}{n!}$
[/mm]
so wieder limes von n
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} c_{n}=\bruch{\infty}{\infty}+ \bruch{\infty}{\infty}$
[/mm]
dann habe ich
und ich habe ploetzlich
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} c_{n}=1+1 [/mm] $
also 2
da stimmt doch irgendetwas nicht,
hat sicherlich was mit [mm] 2^{n} [/mm] und n! zu tun
wuerde tippen die limese sind unterschiedlich
kann mir das jemand bitte beantworten
ach und dann noch eine kleine bitte,
einen tipp fuer die herleitung des $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=\bruch{n^{10}}{n!} [/mm] $
geben, danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo wulfstone!
Der Ausdruck [mm] $\bruch{\infty}{\infty}$ [/mm] ist ein unbestimmter Ausdruck, der als Ergebnis alles haben kann. Hier darf nicht gekürzt werden!!!
[mm]c_{n} \ = \ \bruch{n!+2^{n}}{n!} \ = \ \bruch{n!}{n!}+ \bruch{2^{n}}{n!} \ = \ 1+\bruch{2^n}{n!}[/mm]
Für den hinteren Bruch können wir auch schreiben:
[mm] $\bruch{2^n}{n!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\overbrace{2*2*2*...*2}^{\text{n Faktoren}}}{\underbrace{1*2*3*...*n}_{ \text{n Faktoren} }} [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{\bruch{2}{1}*\bruch{2}{2}*\bruch{2}{3}*...*\bruch{2}{n}}_{\text{n Faktoren}} [/mm] \ = \ ...$
Betrachte hier nun den letzten Bruch. Wogegen strebt dieser, und was heißt das dann für den gesamten Ausdruck?
> ach und dann noch eine kleine bitte, einen tipp fuer die herleitung des
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=\bruch{n^{10}}{n!}[/mm]
Funktioniert wie soeben oben erklärt.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:15 Mi 20.12.2006 | | Autor: | wulfstone |
danke deine erlaeuterungen waren sehr hilfreich,
einen schoenen tag noch
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$ [mm] c_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n^{10}}{n!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\overbrace{n\cdot{}n\cdot{}n\cdot{}...\cdot{}n}^{\text{10 Faktoren}}}{\underbrace{1\cdot{}2\cdot{}3\cdot{}...\cdot{}n}_{ \text{n Faktoren} }} [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{\bruch{n}{1}\cdot{}\bruch{n}{2}\cdot{}\bruch{n}{3}\cdot{}...\cdot{}\bruch{n}{n}}_{\text{n Faktoren}} [/mm] \ = \ ... $
kann ich denn jetzt sagen, => $ [mm] \bruch{10}{n} [/mm] $
und dann
den limes bilden
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}\=\bruch{10}{\infty}\=\0 [/mm] $
bin ich dann fertig ich meine es gibt dafür nicht so wenig punkte und ich weiß nicht ob ich damit alle erlange!
Danke
Wulfstone
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Mi 20.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]c_n \ = \ \bruch{n^{10}}{n!} \ = \ \bruch{\overbrace{n\cdot{}n\cdot{}n\cdot{}...\cdot{}n}^{\text{10 Faktoren}}}{\underbrace{1\cdot{}2\cdot{}3\cdot{}...\cdot{}n}_{ \text{n Faktoren} }} \ = \ \underbrace{\bruch{n}{1}\cdot{}\bruch{n}{2}\cdot{}\bruch{n}{3}\cdot{}...\cdot{}\bruch{n}{n}}_{\text{n Faktoren}} \ = \ ...[/mm]
Das = ist falsch, wie machst du aus den 10 Faktoren plötzlich n Faktoren? hast du denn einige, die <1 sind?
> kann ich denn jetzt sagen, => [mm]\bruch{10}{n}[/mm]
> und dann
Nein, wie kommst du denn auf die 10 im Zähler?
sieh dir mal für n>>10 die letzten 10Faktoren von n! an, teile Zähler und Nenner durch 10, betrachte die restlichen n-10 Faktoren, dann überleg!
Gruss leduart
> den limes bilden
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}\=\bruch{10}{\infty}\=\0[/mm]
>
> bin ich dann fertig ich meine es gibt dafür nicht so wenig
> punkte und ich weiß nicht ob ich damit alle erlange!
> Danke
> Wulfstone
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