Folgen, explizit und rekursiv < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=155757
Allerdings keine brauchbare Antwort erhalten.
Bestimme zu folgenden explizit definierten Folgen [mm] (a_{n})n\in\IN [/mm] eine äquivalente rekurvise Darstellung.
(a) [mm] a_{n} [/mm] = 2 + 3n
(b) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{(n+9)n}{2}
[/mm]
(c) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{3^{2n}} [/mm] |
Mein Problem bei den Folgen ist, dass ich nicht weiß, wie ich mich an die Lösung herantasten soll. Ich habe die Lösungen von allen drei Problemen. Sie sind
(a) [mm] a_{1} [/mm] = 5, [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] + 3
(b) [mm] a_{1} [/mm] = 5, [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] + n + 5
(c) [mm] a_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{9}, a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{9} a_{n}
[/mm]
Wenn ich die Lösungen habe, kann ich es ja nachvollziehen, indem ich die ersten Elemente der Folge ausrechne. Trotzdem komme ich nicht von alleine auf die passenden Lösungen. Gibt es irgendeinen Trick, wie man von der expliziten zur rekursiven Darstellung bzw. auch umgekehrt kommt?
Danke für eure Hilfe!
Christian
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Hallo SummerChris!
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=155757
> Allerdings keine brauchbare Antwort erhalten.
>
> Bestimme zu folgenden explizit definierten Folgen
> [mm](a_{n})n\in\IN[/mm] eine äquivalente rekurvise Darstellung.
> (a) [mm]a_{n}[/mm] = 2 + 3n
>
> (b) [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{(n+9)n}{2}[/mm]
>
> (c) [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{n!}{3^{2n}}[/mm]
> Mein Problem bei den Folgen ist, dass ich nicht weiß, wie
> ich mich an die Lösung herantasten soll. Ich habe die
> Lösungen von allen drei Problemen. Sie sind
>
> (a) [mm]a_{1}[/mm] = 5, [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]a_{n}[/mm] + 3
> (b) [mm]a_{1}[/mm] = 5, [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]a_{n}[/mm] + n + 5
> (c) [mm]a_{1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{9}, a_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{n+1}{9} a_{n}[/mm]
>
> Wenn ich die Lösungen habe, kann ich es ja nachvollziehen,
> indem ich die ersten Elemente der Folge ausrechne. Trotzdem
> komme ich nicht von alleine auf die passenden Lösungen.
> Gibt es irgendeinen Trick, wie man von der expliziten zur
> rekursiven Darstellung bzw. auch umgekehrt kommt?
> Danke für eure Hilfe!
>
> Christian
Ich fürchte, ein allgemeines Rezept gibt es da nicht. Die ersten Folgenglieder muss man wohl ausrechnen, und dann muss man scharf hingucken und oft ein bisschen rumprobieren. Vielleicht übst du einfach ein bisschen indem du viele solcher Aufgaben rechnest.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:17 Di 23.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
a) sollte noch recht einfach sein, da Folgenglied für Folgenglied immer nur 3 hinzuaddiert werden.
[mm] a_1=5 [/mm] und das nächste Folgenglied ist das Folgenglied davor +3.
b)
[mm] a_1=5, a_2=11, a_3=18, a_4=26...
[/mm]
Erst wird +6, gerechnet, dann +7, +8... wahrscheinlich geht es so weiter.
[mm] a_1=5, [/mm] wie schon bestimmt wurde.
Also ist ein Folgenglied die Summe aus dem Folgenglied davor und einer immer größer werdenden Zahl.
Deshalb muss [mm] a_{n+1}=a_n+...irgendwas [/mm] mit n gelten.
Dieses irgendwas mit n kann man wieder als neue Folge auffassen! Nämlich [mm] b_n=(6;7;8;...)
[/mm]
[mm] a_1=5
[/mm]
[mm] a_{n+1}=a_n+b_n
[/mm]
[mm] b_n [/mm] selber zu bestimmen sollte kein Problem sein. [mm] (b_n [/mm] sind die n+5)
Und bei c) kannst du ja auch mal gucken ob du was Verdächtiges bemerkst.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:25 Di 23.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
schreibe [mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $a_{n+1}$ [/mm] in der expliziten Darstellung hin.
Falls du [mm] $a_n$ [/mm] nach n auflösen kannst, dann tue das und setze den erhaltenen Term für n in die explizite Darstellung von [mm] $a_{n+1}$ [/mm] ein, fertig.
Falls sich [mm] $a_n$ [/mm] nicht nach n auflösen läßt, dann versuche, den Term für [mm] $a_{n+1}$ [/mm] so umzuformen, daß der Term für [mm] $a_n$ [/mm] darin vorkommt und ersetze ihn dann durch [mm] $a_n$.
[/mm]
Wenn das immer noch nicht geht, schreibe [mm] $a_{n-1}, a_{n-2}, \ldots$ [/mm] hin und versuche mithilfe dieser Beziehungen irgendwie ein $a_?$ hineinzubekommen.
Das ist natürlich ein wenig Knobelei. Einen echten Sinn kann ich allerdings nicht erkennen, es sei denn die rekursive Darstellung wäre sehr viel einfacher als die explizite.
In der Regel ist man in der Mathematik nämlich eher umgekehrt bemüht, explizite Darstellungen aus den rekursiven zu gewinnen.
LG und gute N8
Will
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:37 Di 23.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Christian,
es gibt ein paar Faustregeln, die meist gut funktionieren.
> Bestimme zu folgenden explizit definierten Folgen
> [mm](a_{n})n\in\IN[/mm] eine äquivalente rekurvise Darstellung.
> (a) [mm]a_{n}[/mm] = 2 + 3n
>
> (b) [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{(n+9)n}{2}[/mm]
Bei (a) und (b) ist [mm]a_n[/mm] gleich einem Polynom in n. In so einem Fall kannst du immer die Differenz [mm]a_{n+1}-a_n[/mm] bilden.
Fall (a): das Polynom ist besonders einfach, linear in n.
[mm]a_{n+1}-a_n = (2+3(n+1)) - (2+3n) = 3[/mm], also [mm]a_{n+1} = a_n +3[/mm].
Fall (b): hier ist es ein quadratisches Polynom:
[mm]a_{n+1}-a_n = \bruch{1}{2} ((n+1)+9)(n+1) - \bruch{1}{2} (n+9)n = \bruch{1}{2} ((n^2+11n +10) - (n^2+9n)) = \bruch{1}{2} (2n+10) = n+5[/mm].
Es fällt bei dieser Differenz also immer die höchste Potenz von n heraus.
> (c) [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{n!}{3^{2n}}[/mm]
Das ist kniffliger. Hier hast du eine Fakultät und eine Potenz. In beiden Fällen liegt es nah, den Quotienten [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm] zu bilden:
[mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n} = \bruch{(n+1)!}{3^{2(n+1)}} * \bruch{3^{2n}}{n!} = \bruch{(n+1)! * 3^{2n}}{n! * 3^{2(n+1)}} = \bruch{n+1}{3^2}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:42 Di 23.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Gute Tipps, vielen Dank (auch wenn ich nicht mal der Ersteller war :P).
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:48 Di 23.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=155757
> Allerdings keine brauchbare Antwort erhalten.
>
> Bestimme zu folgenden explizit definierten Folgen
> [mm](a_{n})n\in\IN[/mm] eine äquivalente rekurvise Darstellung.
> (a) [mm]a_{n}[/mm] = 2 + 3n
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> (b) [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{(n+9)n}{2}[/mm]
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> (c) [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{n!}{3^{2n}}[/mm]
> Wenn ich die Lösungen habe, kann ich es ja nachvollziehen,
> indem ich die ersten Elemente der Folge ausrechne. Trotzdem
> komme ich nicht von alleine auf die passenden Lösungen.
> Gibt es irgendeinen Trick, wie man von der expliziten zur
> rekursiven Darstellung bzw. auch umgekehrt kommt?
Du schreibst [mm] a_{n+1} [/mm] explizit hin:
[mm] $a_{n+1}=\frac{(n+1+9)(n+1)}{2}=$
[/mm]
und versuchst dann durch Umformungen in dieser Formel [mm] $a_n$ [/mm] (oder [mm] $a_{n-1}$ [/mm] oder was auch immer) zu finden:
[mm] $=\frac{(n+9)n+(n+9)+(n+1)}{2}=a_n+n+5$
[/mm]
Umgekehrt kann sehr schwierig werden, generell schreibst Du da ein paar Folgenglieder symbolisch hin (d.h. Du hast [mm] $a_{n+1}=4a_n+1$ [/mm] gegeben, jetzt schreibst Du [mm] $a_{n+2}=4a_{n+1}+1=4(4a_n+1)+1=4^2a_n [/mm] + [mm] 4^1+1$ [/mm] in Abhängigkeit von [mm] $a_n$ [/mm] hin, dann [mm] $a_{n+3}=4^3a_n+4^2+4+1 \Rightarrow a_n=4^na_1+\sum_{i=0}^{n-1}4^i$ [/mm] oder so ähnlich) bis ein Muster auffällt - oder auch nicht.
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