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Folgen mit gleichen Grenzwert: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:35 Fr 16.12.2005
Autor: Doreen

Aufgabe
Es seien [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}, (b_{n})_{n \in \IN}, (c_{n})_{n\in \IN}$ [/mm] reelle Folgen, für die [mm] $a_{n} \le c_{n} \le b_{n}$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt.

Zeige, dass wenn [mm] $(a_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] und [mm] $(b_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] gegen denselben Grenzwert $c [mm] \in \IR$ [/mm] konvergieren, auch [mm] $(c_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] gegen $c$ konvergieren muss.

Hallo,

das wäre noch so eine Aufgabe, die ich logisch und nachvollziehbar finde, aber ich bin mir nicht sicher, wie man das wieder mathematisch und Uni-gerecht aufschreibt und beweist...

wenn   lim [mm] a_{n} [/mm] = c  
und      lim [mm] b_{n} [/mm] = c               dann  lim [mm] c_{n} [/mm] = c

Es muss gelten:   [mm] a_{n} \le c_{n} \le b_{n} [/mm]

das heißt, ab einem n [mm] \in \IN [/mm] ist auch [mm] (c_{n}) [/mm] konvergent mit lim [mm] c_{n} [/mm] = c

Also beweise ich doch erstmal [mm] a_{n} \le b_{n} [/mm]  

Die Frage ist nur wie? Also eigentlich mehr in welcher Form, denn
beide konvergieren gegen den gleichen Grenzwert...

lim [mm] |b_{n} [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] = c     ???     für lim n  [mm] \to \infty [/mm]

und dann sage ich [mm] |a_{n} [/mm] - c| <  [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] |b_{n} [/mm] - c| <  [mm] \varepsilon [/mm]

und dann einfach weiter umformen?

Über ein wenig unter-die-Arme-greifende-Hilfe wäre ich sehr dankbar.

Gruß und tausend Dank

Doreen

Diese Frage habe ich in keinen anderen Forum gestellt.


        
Bezug
Folgen mit gleichen Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:03 Fr 16.12.2005
Autor: mathmetzsch

Hallo,

also Moment, wenn für deine Folgen [mm] a_{n}\le b_{n} [/mm] gilt und beide denselben Grenzwert haben, dann gibt es genau einen Wert, den beide gemeinsam haben (oder sich ihm zumindest nähren), nämlich ihren Grenzwert. Für große n gilt dann also [mm] a_{n}=b_{n}=c. [/mm] Folglich ist der von dir beschriebene Limes nicht c, sondern 0. Und wie geht es jetzt weiter? Überleg mal!

Dass [mm] a_{n}\le b_{n} [/mm] gilt, musst du übrigens nicht beweisen. Das ist die Voraussetzung.

Viele Grüße
Daniel

Bezug
        
Bezug
Folgen mit gleichen Grenzwert: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:09 Sa 17.12.2005
Autor: Loddar

Hallo Doreen!


Verwende hier doch die Intervallschachtelungen aus Deiner anderen Frage / Aufgabe.

Betrachte hierzu [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}\left|a_n-c\right| [/mm] \ = \ [mm] \lim_{n\rightarrow\infty}\left|b_n-c\right| [/mm] \ = \ 0$ und die Eindeutigkeit des Grenzwertes bzw. schließe auf [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}\left|c_n-c\right| [/mm] \ = \ 0$ .


Gruß
Loddar


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