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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 So 13.11.2005 | | Autor: | Mira1 |
Hallo!
Ich habe Proleme damit die Konvergenz von Folgen zu zeigen. Anschaulich kann ich sagen, ob die Folgen konvergieren, oder nicht. Aber mit dem Beweis klappt es dann immer nicht.
Also:
Ich soll zeigen, dass die Folge [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] konvergiert. Klar ist, dass diese Folge gegen 0 konvergiert, da der Nenner für n [mm] \to \infty [/mm] immer größer wird und damit der gesamte Bruch immer kleiner.
Aber wie kann ich das formal beweisen?!?
Und ich habe noch ein weiteres Problem:
Ich habe eine Folge [mm] a_{n} [/mm] := [mm] (-2)^n [/mm] gegeben. Sein [mm] (a_{n_{i}} [/mm] i [mm] \in \IN [/mm] eine konvergente Teilfolge mit dem Grenzwert x. Dann gilt x=2 oder x=-2.
Ich habe überlegt, dass es keine konvergnete Teilfolge gibt, da für gerade Zahlen die Folge gegen + [mm] \infty [/mm] und für ungerede Zahlen gegen - [mm] \infty [/mm] geht. Da kann ich dann nicht einzelen Glieder rauspicken, die irgendwie gegen +2 oder -2 laufen. Aber ich kann es nicht zeigen.
Kann mir irgendjemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
also auf deine erste Frage findest du hier Antwort.
Deine zweite Frage lässt sich eigentlich auch ganz einfach beantworten.
Angenommen die Folge [mm] a_{n}=(-2)^{n} [/mm] konvergiere gegen eine reelle Zahl a. Dann gibt es nach Def. zu [mm] \varepsilon=3 [/mm] ein [mm] N\in\IN [/mm] mit [mm] |a_{n}-a|<\varepsilon [/mm] für alle [mm] N\ge [/mm] n. Dann gilt nach der Dreiecksungleichung für n=1
6= [mm] |a_{n+2}-a_{n}|=|(a_{n+2}-a)+(a-a_{n}|
[/mm]
[mm] \le |a_{n+2}-a|+|a_{n}+a|
[/mm]
< 3+3= 6
Ist also nicht für alle n erfüllt. Wid.
VG mathmetzsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 So 13.11.2005 | | Autor: | Mira1 |
hallo!
Danke für die Lösung, ich habe das aber noch nicht so ganz verstanden.
Ich dachte ich sollte Teilfolgen betrachten und konvergente Teilfolgen finden und zeigen, dass diese Teilfolge gegen 2 oder -2 konvergiert.
Mit dem Beweis wolltest du ziegen, dass die Folge [mm] a_{n} [/mm] nicht konvergiert, oder?
Warum nimmst du n=1 und wo benutzt du das? Wie kommst du auf [mm] |a_{n+2}-a_{n}| [/mm] und wieso kann man nachher auf 3+3 schließen?!?
VG Mira
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Hallo,
genau damit ist gezeigt, dass [mm] a_{n} [/mm] nicht konvergiert. Zunächst wählst du dir ein [mm] \varepsilon>0. [/mm] Und dann habe ich gezeigt, dass für n=1 ein Widerspruch auftritt.
Wo ich das benutze?
[mm] a_{1}=-2 [/mm]
[mm] a_{3}=-8
[/mm]
Was ist dann [mm] |a_{1}-a_{3}|? [/mm] Natürlich 6.
[mm] |a_{n+2}-a| [/mm] folgt wegen der Dreiecksungleichung.
Außerdem ist das, genauso wie [mm] |a_{n}-a| [/mm] gleich 3 für genügend große N, da ich mir [mm] \varepsiolon [/mm] =3 gewählt habe.
VG mathmetzsch
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