Folgen und Grenzwerte < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe foldende Aufgabe gestellt bekommen und habe keine Ahnung, wie ich diese lösen soll:
Zeigen Sie, dass die Folge [mm] $(f_n)_{n\in\IN}$ [/mm] , wobei [mm] $f_n [/mm] : [mm] \IR \rightarrow \IR$ [/mm] mit [mm] $x\rightarrow [/mm] x + [mm] \bruch{1}{n}$ [/mm] gleichmäßig auf [mm] $\IR$ [/mm] gegen die Funktion $f : [mm] \IR \rightarrow \IR$ [/mm] mit [mm] $x\rightarrow [/mm] x$ konvergiert, während die Folge der Quadrate [mm] $(f_n^2)_{n\in\IN}$ [/mm] zwar lokal gleichmäßig, nicht aber gleichmäßig gegen [mm] $f^2$ [/mm] konvergiert.
Sorry, dass die Pfeile falsch gewählt sind!
LG Jessi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 So 28.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Jessi, willkommen im MatheRaum  !
> Zeigen Sie, dass die Folge [mm] $(f_n)_{n\in\IN}$ [/mm] , wobei [mm] $f_n [/mm] :
> [mm] \IR \rightarrow \IR$ [/mm] mit [mm] $x\rightarrow [/mm] x + [mm] \bruch{1}{n}$ [/mm]
> gleichmäßig auf [mm] $\IR$ [/mm] gegen die Funktion $f : [mm] \IR [/mm]
> [mm] \rightarrow \IR$ [/mm] mit [mm] $x\rightarrow [/mm] x$ konvergiert, während
Die  Gleichmäßige Konvergenz zeige ich so:
Sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] (beliebig, aber fest vorgegeben).
Zu zeigen ist nun, dass es ein [mm] $n_0\in\IN$ [/mm] gibt mit [mm] $|f_n(x)-f(x)|\le \varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\ge n_0$.
[/mm]
[mm] $|f_n(x)-f(x)|=|x+\bruch{1}{n}-x|=|\bruch{1}{n}|=\bruch{1}{n}$
[/mm]
Es gilt nun aber [mm] $\bruch{1}{n}\le \varepsilon$ [/mm] falls [mm] $n\ge \bruch{1}{\varepsilon}$, [/mm] also wähle ich [mm] $n_0$ [/mm] so, dass [mm] $n_0\ge\bruch{1}{\varepsilon}$.
[/mm]
> die Folge der Quadrate [mm] $(f_n^2)_{n\in\IN}$ [/mm] zwar lokal
> gleichmäßig, nicht aber gleichmäßig gegen [mm] $f^2$ [/mm]
> konvergiert.
Nun ist
[mm] $f_n^2(x)=\left(x+\bruch{1}{n}\right)^2$
[/mm]
[mm] $f^2(x)=x^2$
[/mm]
Für die lokale gleichmäßige Konvergenz müssen wir zeigen, dass es zu jedem Punkt [mm] $a\in\IR$ [/mm] eine Umgebung $U$ gibt, dass [mm] $(f_n^2|U)_{n\in\IN}$ [/mm] gleichmäßig konvergiert.
Sei [mm] $a\in\IR$, $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig.
Zu zeigen ist nun, dass es ein [mm] $n_0\in\IN$ [/mm] und ein [mm] $\delta>0$ [/mm] gibt mit [mm] $|f_n^2(x)-f^2(x)|\le \varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\ge n_0$ [/mm] und [mm] $|x-a|<\delta$ [/mm] (die in der Definition genannte Umgebung ist dann [mm] $U:=B_\delta(a)$, [/mm] also ein [mm] "$\delta$-Ball" [/mm] um $a$)
[mm] $|f_n^2(x)-f^2(x)|=|x^2+\bruch{2}{n}*x+\bruch{1}{n^2}-x^2|=|\bruch{2}{n}*x+\bruch{1}{n^2}|$
[/mm]
[mm] $\le\bruch{2}{n}|x|+\bruch{1}{n^2}$ [/mm] (Dreiecksungleichung)
[mm] $\le\bruch{2}{n}|x|+\bruch{2}{n}$, [/mm] da [mm] $\bruch{1}{n^2}\le\bruch{2}{n}$
[/mm]
[mm] $\le\bruch{2}{n}*\left( |x|+1\right)$ [/mm] (*)
Nun gilt wegen [mm] $|x-a|<\delta$: $|x|<|a|+\delta$, [/mm] weswegen weiter folgt:
(*) [mm] $\le\bruch{2}{n}*\left( |a|+\delta +1\right)$
[/mm]
Hier kann ich sogar [mm] $\delta$ [/mm] beliebig wählen (warum, wird gleich klar), ich setze [mm] $\delta:=1$ [/mm] und es folgt weiter:
[mm] $\le\bruch{2}{n}*\left( |a|+1 +1\right)=\bruch{2}{n}*\left( |a|+2\right)$
[/mm]
Dieser Term wird nun ab einem bestimmten [mm] $n_0$ [/mm] kleiner [mm] $\varepsilon$, [/mm] z.B. für
[mm] $\bruch{2}{n_0}*\left( |a|+2\right)\le\varepsilon$
[/mm]
[mm] $\gdw \bruch{2}{\varepsilon}*\left( |a|+2\right)\le n_0$
[/mm]
Damit ist [mm] $f^2_n$ [/mm] lokal gleichmäßig konvergent.
Bleibt noch zu widerlegen, dass [mm] $f^2_n$ [/mm] gleichmäßig konvergent ist.
Sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] (beliebig, aber fest vorgegeben).
Zu zeigen ist nun, dass es kein [mm] $n_0\in\IN$ [/mm] gibt mit [mm] $|f^2_n(x)-f^2(x)|\le \varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\ge n_0$.
[/mm]
[mm] $|f^2_n(x)-f^2(x)|=|x^2+\bruch{2}{n}*x+\bruch{1}{n^2}-x^2|=|\bruch{2}{n}*x+\bruch{1}{n^2}|$
[/mm]
Hier (an dem $x$) sieht man schon sehr schön, dass es kein solches [mm] $n_0$ [/mm] geben kann, formal könnte man es aber so zeigen:
Angenommen, es gäbe ein solches [mm] $n_0$.
[/mm]
Dann würde für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] und [mm] $n\ge n_0$ [/mm] gelten: [mm] $|\bruch{2}{n}*x+\bruch{1}{n^2}|\le\varepsilon$.
[/mm]
Das kann aber nicht sein, z.B. für [mm] $x=n_0^2*\varepsilon$ [/mm] und [mm] $n=n_0$ [/mm] gilt nämlich:
Den folgenden Widerspruch habe ich verbessert (marc, 29.3.2004):
[mm] $|\bruch{2}{n_0}*n_0^2*\varepsilon+\bruch{1}{n_0^2}|$
[/mm]
[mm] $=\bruch{2}{n_0}*n_0^2*\varepsilon+\bruch{1}{n_0^2}$
[/mm]
[mm] $=2*n_0*\varepsilon+\bruch{1}{n_0^2}$
[/mm]
[mm] $>2*n_0*\varepsilon$
[/mm]
[mm] $>2*\varepsilon$, [/mm] da [mm] $n_0>0$.
[/mm]
Widerspruch (wir brauchen [mm] $\le\varepsilon$.
[/mm]
So, ich hoffe, ich habe alles richtig und verständlich dargestellt, falls nicht, frage bitte einfach nach.
Alles Gute,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:09 So 28.03.2004 | | Autor: | Staatsi21 |
Hey Marc!
Vielen lieben Dank für deine schnelle Antwort. Sie ist sehr verständlich geschrieben und hat mir gut weitergeholfen.
Der MatheRaum ist ein wirklich tolles Forum, werde euch auf jeden Fall weiterempfehlen.
Bis bald Jessi
|
|
|
|
