Folgen und Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Sa 07.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Es seien [mm] a_{(n) n \in \IN } [/mm] Folgen in [mm] \IR. [/mm] Entscheiden Sie für die folgenden vier Aussagen jeweils, ob sie allgemein gültig sind. Geben Sie jeweils einen Beweis, bzw. ein Gegenbeispiel an.
(i) Ist [mm] a_{(n) n \in \IN } [/mm] konvergent und [mm] b_{(n) n \in \IN } [/mm] divergent, so ist [mm] (a_{n}+b_{n})n \in \IN [/mm] divergent
(ii) [mm] a_{(n) n \in \IN } [/mm] konvergent und [mm] b_{(n) n \in \IN } [/mm] divergent, so ist [mm] (a_{n}*b_{n})n \in \IN [/mm] divergent
(iii)Ist [mm] a_{(n) n \in \IN } [/mm] divergent und [mm] b_{(n) n \in \IN } [/mm] divergent, so ist [mm] (a_{n}+b_{n})n \in \IN [/mm] divergent
(iv) Ist [mm] a_{(n) n \in \IN } [/mm] divergent und [mm] b_{(n) n \in \IN } [/mm] divergent, so ist [mm] (a_{n}*b_{n})n \in \IN [/mm] divergent
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Hallo,
ich hatte mir überlegt das ich mir zwei Folgen nehme (jeweils divergent und konvergent) und es einfach ausprobiere. Aber dann würde es ja nur für die jeweiligen Folgen gelten, es muss jedoch allgemeingültig (oder nicht) sein.
Kann mir jemand einen anstoß geben.
Lg Melisa
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Hallo,
ich würde es mit den Sätzen [mm] a_n \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n+1}-a_n)=0 [/mm] und (das gleiche in anderer Form) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] probieren.
Gegenbeispiele sind in vielen Fällen einfacher! Poste mal alles, was dir einfällt.
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 Sa 07.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
sry aber habe leider nichts von dem was du geschrieben hast verstanden kannst du es z.b für (i) genauer erläutern, dann versuch ich es für die anderen.
Lg Melisa
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> ich würde es mit den Sätzen [mm]a_n \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n+1}-a_n)=0[/mm]
Hallo,
das ist aber ein komischer "Satz".
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:08 Sa 07.11.2009 | | Autor: | Niladhoc |
Hallo,
sry hab mich vertippt, die Sätze lauten [mm] a_n [/mm] konvergiert [mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n+1}-a_n)=0 [/mm] und [mm] a_n [/mm] konvergiert [mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n
[/mm]
lg
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> Es seien [mm]a_{(n) n \in \IN }[/mm] Folgen in [mm]\IR.[/mm] Entscheiden Sie
> für die folgenden vier Aussagen jeweils, ob sie allgemein
> gültig sind. Geben Sie jeweils einen Beweis, bzw. ein
> Gegenbeispiel an.
>
> (i) Ist [mm]a_{(n) n \in \IN }[/mm] konvergent und [mm]b_{(n) n \in \IN }[/mm]
> divergent, so ist [mm](a_{n}+b_{n})n \in \IN[/mm] divergent
> (ii) [mm]a_{(n) n \in \IN }[/mm] konvergent und [mm]b_{(n) n \in \IN }[/mm]
> divergent, so ist [mm](a_{n}*b_{n})n \in \IN[/mm] divergent
> (iii)Ist [mm]a_{(n) n \in \IN }[/mm] divergent und [mm]b_{(n) n \in \IN }[/mm]
> divergent, so ist [mm](a_{n}+b_{n})n \in \IN[/mm] divergent
> (iv) Ist [mm]a_{(n) n \in \IN }[/mm] divergent und [mm]b_{(n) n \in \IN }[/mm]
> divergent, so ist [mm](a_{n}*b_{n})n \in \IN[/mm] divergent
>
>
>
>
> Hallo,
>
> ich hatte mir überlegt das ich mir zwei Folgen nehme
> (jeweils divergent und konvergent) und es einfach
> ausprobiere. Aber dann würde es ja nur für die jeweiligen
> Folgen gelten, es muss jedoch allgemeingültig (oder nicht)
> sein.
Hallo,
die Idee, das erstmal mit ein paar konkreten Beispielen auszuprobieren (oder gar zu widerlegen), ist doch so übel nicht.
Findest Du zwei Folgen, für die die Behauptung nicht funktioniert, so hast Du ein Gegenbeispiel gefunden.
Hast Du, nachdem Du mit verschiedenen Folgen kein Gegenbeispiel konstruieren konntest und auch aufgrund Deiner Überlegungen den Eindruck, daß die Aussage stimmt, so mußt Du sie nach allen Regeln der Kunst bweisen.
was hast Du denn bisher so alles probiert bei (i)-(iv)?
Gegenbeispiele gefunden? Was sagt Dein Gefühl zu den Behauptungen? Wie sehen Deine Beweisversuche aus?
Du merkst: es wird etwas Eigenleistung erwartet.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Do 12.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
ich denke das alle bis auf (i) nicht stimmen und deshalb lass ich (i) mal zum schluss
bei (iii) habe ich mir überlegt:
es stimmt nicht weil zum beispiel:
[mm] a_{k} [/mm] = [mm] (-1)^k [/mm] und [mm] b_{k}=-(-1)^k [/mm] beide divergente Folgen sind, aber
[mm] c_{k}=a_{k}-b{k}=0 [/mm] d.h [mm] c_{k} [/mm] ist konvergent
stimmt das?
Lg Melisa
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Hallo melisa1,
> Hallo;
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> ich denke das alle bis auf (i) nicht stimmen und deshalb
> lass ich (i) mal zum schluss
>
> bei (iii) habe ich mir überlegt:
>
> es stimmt nicht weil zum beispiel:
>
> [mm]a_{k}[/mm] = [mm](-1)^k[/mm] und [mm]b_{k}=-(-1)^k[/mm] beide divergente Folgen
> sind, aber
>
> [mm]c_{k}=a_{k}-b_{k}=0[/mm] d.h [mm]c_{k}[/mm] ist konvergent
>
> stimmt das? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
In der Tat!
>
>
> Lg Melisa
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Do 12.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
bei (iv) habe ich mir jetzt gedacht das dies nicht gilt, weil z.b
[mm] a_{k} [/mm] = [mm] -1^k [/mm] und [mm] b_{k}=-2^k [/mm] beide divergent sind
aber
[mm] c_{k}= a_{k}*b_{k}=2^k
[/mm]
das heißt [mm] 2^k [/mm] ist konvergent oder????
Lg Melisa
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Hallo melisa!
Das stimmt nicht. Denn auch [mm] $2^k$ [/mm] ist divergent.
Aber verwende als Gegenbeispiel [mm] $a_k [/mm] \ = \ [mm] b_k [/mm] \ = \ [mm] (-1)^k$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Do 12.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo
Sry aber ich versteh nicht was du meinst :S
>
> Aber verwende als Gegenbeispiel [mm]a_k \ = \ b_k \ = \ (-1)^k[/mm]
> .
>
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 Do 12.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
die folge [mm] 2^k, [/mm] die du konstruiert hast ist divergent, denn [mm] 2^k [/mm] wird für grosse kbeliebig gross. also hat roadrunner dir vorgeschlagen [mm] a_k=(-1)^k [/mm] und [mm] b_k=(-1)^k [/mm] zu nehmen. dann ist das Produkt konvergent.(niemand sagt [mm] a_k [/mm] und [mm] b_k [/mm] dürfen nicht gleich sein)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Do 12.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
kann ich dann zu (ii) sagen
stimmt nicht weil z.B.
[mm] a_{n}=1^k [/mm] konvergent ist und [mm] b_{n}=-(-1)^k [/mm] ist divergent
das produkt [mm] a_{n} [/mm] * [mm] b_{n} [/mm] ist [mm] 1^k [/mm] d.h konvergent und somit haben wir ein gegenbeispiel?
wenn das stimmt wollte ich fragen ob das auch formal so in ordung ist? Kann ich dass so abgeben oder muss ich das mit lim aufschreiben?
Lg Melisa
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Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> kann ich dann zu (ii) sagen
>
> stimmt nicht weil z.B.
>
> [mm] a_{\red{k}}=1^k$ [/mm] konvergent ist und [mm] $b_{\red{k}}=-(-1)^k$ [/mm] ist divergent
Sauberer schreiben, das muss doch [mm] $a_k, b_k$ [/mm] heißen!
>
> das produkt [mm] $a_{\red{k}}\cdot{}b_{\red{k}}$ [/mm] ist [mm] $1^k$ [/mm]
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Ich erhalte [mm] $c_k=a_k\cdot{}b_k=-(-1)^k$ [/mm] und das ist divergent.
Nimm mal lieber [mm] $a_k$ [/mm] als konstant 0 ...
> d.h konvergent und somit
> haben wir ein gegenbeispiel?
Nein, da hast du falsch multipliziert ...
>
>
> wenn das stimmt wollte ich fragen ob das auch formal so in
> ordung ist? Kann ich dass so abgeben oder muss ich das mit
> lim aufschreiben?
Ja, verpacke es ein wenig, nimm das richtige Gegenbsp. und sage [mm] $a_k=0$ [/mm] konvergent mit [mm] $\lim\limits_{k\to\infty}a_k=0$ [/mm] und [mm] $b_k=(-1)^k$ [/mm] divergent, aber [mm] $a_k\cdot{}b_k=0$ [/mm] und das ist ersichtlich konvergent.
Damit hast du ein Gegenbsp., das die Aussage widerlegt
>
>
> Lg Melisa
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Do 12.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
nun bleibt nur noch (i) übrig
ich habe hier leider noch nicht mal einen Ansatz, ich vermute nur das dies eine gültige Aussage ist (weil ich einiges schon ausprobiert habe)
kann mir jemand einen Anstoß geben ich weiß nicht wie ich da ran gehen muss
Ich freue mich über jeden Tipp
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Do 12.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Beweise immer mit den Def. also an konvergent heisst:
bn divergent heisst.
jetzt Annahme an+bn konvergent zum Widerspruch führen dazu benutzen an+bn konv heisst...
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Do 12.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
Sei [mm] a_{n (n\in\IN)} [/mm] eine Folge reeler Zahlen. Die Folge heißt konvergent gegen a [mm] \in \IR [/mm] falls gilt
zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0 existiert ein [mm] N\in\IN, [/mm] so dass [mm] |a_{n}-a|< \varespsilon
[/mm]
Eine Folge [mm] b_{n} [/mm] die nicht konvergiert heißt divergent
wenn [mm] a_{n}, b_{n} [/mm] konvergente Folgen sind, dann konvergiert auch die Summenfolge [mm] (a_{n}+b_{n})
[/mm]
wäre also [mm] a_{n} [/mm] + [mm] b_{n} [/mm] konvergent so wäre auch [mm] a_{n}+b_{n}-a_{n}=b_{n} [/mm] konvergent
das würde aber der divergenz von [mm] b_{n} [/mm] widersprechen also kann [mm] a_{n} [/mm] + [mm] b_{n} [/mm] nicht konvergent sein
stimmt das?
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:50 Fr 13.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn ihr as mit der Summe bewiesen habt ist es ok.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Do 12.11.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
ist diese schreibweise in ordung
also für (ii)
[mm] a_{n}=0 [/mm] ist konvergent
[mm] b_{n}=(-1) [/mm] ist divergent
das produkt [mm] c_{n}= a_{n}*b_{n}=0*(-1)^n
[/mm]
wenn ich wissen will ob sie konvergiert oder divigiert bilde ich
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} c_{n}=\limes_{n\rightarrow\infty} (0*(-1)^n=0
[/mm]
kann ich hier direkt gleich null hinschreiben?
Also ist [mm] c_{n} [/mm] konvergent und somit ist die Aussage nicht allgemeingültig
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:58 Fr 13.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo;
>
> ist diese schreibweise in ordung
>
> also für (ii)
>
> [mm]a_{n}=0[/mm] ist konvergent
> [mm]b_{n}=(-1)[/mm] ist divergent
Du meinst [mm] b_{n}=(-1)^n
[/mm]
>
> das produkt [mm]c_{n}= a_{n}*b_{n}=0*(-1)^n[/mm]
>
> wenn ich wissen will ob sie konvergiert oder divigiert
> bilde ich
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} c_{n}=\limes_{n\rightarrow\infty} (0*(-1)^n=0[/mm]
>
> kann ich hier direkt gleich null hinschreiben?
Es ist doch [mm] c_n [/mm] = 0 für jedes n !!!
>
> Also ist [mm]c_{n}[/mm] konvergent und somit ist die Aussage nicht
> allgemeingültig
Ja
FRED
>
>
> Lg Melisa
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