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Hallo ihr hilfsbereiten Menschen 
Auch dieses mal möchte ich gerne wieder eure Hilfe in Anspruch nehmen und zwar bzgl. der folgenden Aufgaben.
1.) Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz.
[mm] a_{n}:= \bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n+2}+...+\bruch{1}{2n} n\in\IN
[/mm]
2.) Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz.
a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}\bruch{lnk}{k}
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}k^{4}e^{-k^{2}}
[/mm]
c) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2+(-1)^{k}}{2^{k-1}}
[/mm]
So, nun mein Problem. Wir hatten eigentlich schon das Thema Folgen und Reihen komplett abgeschlossen (worüber ich eigentlich ziemlich froh war) und jetzt doch wieder solche Aufgaben bekommen. Zu meiner Schande muß ich gestehen, dass ich dieses Thema nie wirklich verstanden habe und selbst jetzt, wenn ich meine alten Aufzeichnungen durchlese immernoch nicht mehr Ahnung habe.
Deshalb setzte ich meine Hoffnung in Euch, da ich die Lösung der Aufgaben wirklich benötige.
Über Tipps und Anregungen würde ich mich wirklich sehr freuen und bedanke mich jetzt schonmal bei euch.
Ich habe die Frage auf keiner anderen Internetseite gstellt !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 Sa 05.02.2005 | | Autor: | blue |
Hallo,
also zu Aufgabe 1. Wir haben folgendes gelernt:
Wenn eine Folge monoton wachsend (bzw fallend) und gleichzeitig nach oben (bzw.unten) bechränkt ist, dann ist sie konvergent.
Bei deiner Aufgabe gilt: [mm] a_{n} \le [/mm] n* [mm] \bruch{1}{n+1}< [/mm] 1.....also nach oben bechränkt.
Sie ist gleichzeitig auch monoton wachsend, da:
[mm] a_{n}=\bruch{1}{n+1}+ \bruch{1}{n+2} [/mm] ...+ [mm] \bruch{1}{2n}
[/mm]
[mm] a_{n+1}= \bruch{1}{n+2}+ [/mm] ... + [mm] \bruch{1}{2n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2n+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2n+2}
[/mm]
daher: [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2n+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2n+2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
....was immer positiv ist, also [mm] a_{n+1} [/mm] > [mm] a_{n}..... [/mm] also monoton wachsend
liebe Grüße
blue
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Hallo, Chironimus
aus
dem Quotientenkriterium für 2b,
$q = [mm] \frac{(k+1)^4 e^{-(k+1)^2}}{k^4 e^{-k^2}} =(1+1/k)^4 e^{-(2k+1)}$
[/mm]
folgt Konvergenz da q den Grenzwert 0 hat .
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
bei 2a vermutet man sofort ( Leibnizkriterium ) Konvergenz
da es eine alternierende Reihe ist
und
$\ln k < k$ wegen $k < e^k$
und
da für $f(k) = \frac{\ln k}{k}$ $f'(k) < 0$ ist auch die Folge monoton fallend
und somit die Reihe tatsächlich konvergent
2c
das die Summe 2er geometrischer Reihen
mit den Faktoren 3/4 und 1/4, beide konvergen,
also die ganze Reihe konvergent
Edit:
da war ich etwas unkonzentriert, aber konvergent ist sie
mämlich:
$\left( \sum _{k=0} ^ \infty \left( \frac{1}{4} \right)^k \right) \right) + \left( \frac{3}{2} \sum _{k=0} ^\infty \left( \frac{1}{4} \right)^k \right) \right) $
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Hallo, zunächst mal vielen dank für die Antworten.
Mir ist es jetzt auch wieder klarer geworden,was Reihen betrifft.
Allerdings hab ich noch eine Frage zur Aufgabe 2c).
Wie kommt man dort auf die Werte 3/4 und 1/4 ??
Grüße Chiro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 So 06.02.2005 | | Autor: | Max |
Es ist
[mm] $\left| \frac{2+(-1)^k}{2^{k-1}}\right| \le \frac{3}{2^{k-1}}$
[/mm]
für alle $k [mm] \in \mathbb{N}$.
[/mm]
Damit ist [mm] $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{3}{2^{k-1}} [/mm] = 3 [mm] \cdot \sum_{l=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^l [/mm] = 6$ eine (konvergente) Majorante für [mm] $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2+(-1)^k}{2^{k-1}}$ [/mm] und es gilt:
[mm] \left| \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2+(-1)^k}{2^{k-1}} \right| \le \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2+(-1)^k}{2^{k-1}} [/mm] = 6
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Hallo, Chironimus,
hat
sich inzwischen wohl erledigt, der "Edit" sollte die Zeilen darüber widerrufen; habe sie jetz gestrichen markiert
Gruß F.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:07 So 06.02.2005 | | Autor: | Chironimus |
Vielen Dank euch allen
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