Folgen und Vektorräume < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Do 08.03.2012 | | Autor: | racy90 |
Hallo
Ich soll begründen warum die Menge der reellen Folgen (an) mit nur endlich vielen Folgengliedern ungleich 0 (k)einen Vektorraum bilden?
und warum die Menge der reellen Folgen (an) mit unendlich vielen Folgegliedern gleich 0 (k)einen Vektorraum bildet?
Zu 2 Ansatz hätte ich einen Vedacht das es um den Nullvektor geht und dieser ja immer in einen Vektorraum enthalten ist.Aber das ist alles sehr weit weg von einer Begründung
Was haben Folgen überhaupt mit Vektorräumen zu tun?
Könnt ihr mir das vielleicht verständlich begründen bzw erklären?
Danke
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Nun, eine Folge ist eine Abbilung $a : [mm] \IN \to \IR$, [/mm] sie weist also jeder natürlichen Zahl eine reelle zu.
Nun kannst du Folgen addieren und mit eine reellen Zahl multiplizieren, es sind also die beiden Verknüpfungen, die für einen Vektorraum gefordert sind, gegeben.
Deine Aufgabe ist jetzt also, die Axiome nachzurechnen.
Solltest du bereits wissen, dass die Menge aller reellen Funktionen ($f: [mm] \IR \to \IR$) [/mm] einen reellen Vektorraum bildet so kannst du dir ein wenig Arbeit ersparen, indem du überprüfst, ob deine beiden Mengen hier Unterräume sind.
Natürlich kannst du dir Folgen nicht so anschaulich wie Vektoren mit Richtung, Länge und einem hübschen Pfeil an der Spitze vorstellen.
Deshalb solltest du dich hier also am besten strikt an die Axiome halten, denn diese und nicht das Anschauungsbeispiel sagen, was ein Vektorraum ist und was nicht.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Do 08.03.2012 | | Autor: | racy90 |
ich soll also kontrollieren ob 2 Vektoren x,y [mm] \in [/mm] U und [mm] \lambda \in [/mm] K auch x+y und [mm] \lambda [/mm] *x liegen ??
Wie sieht denn die Menge der reellen Folgen aus??
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Die Menge der reellen Folgen sieht so aus:
[mm] $\{ a : \IN \to \IR | a \mbox{ Funktion } \}$
[/mm]
Und ja, das sollst du zeigen, wenn das so in deinen Axiomen steht.
Ein Axiom fehlt noch, aber ansonsten, ja.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Do 08.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
grade wurde geschrieben, dass du dir die Menge nicht so einfach vorstellen kannst, jetzt fragst du wie sie aussieht.!
du kannst sicher ein paar folgen aufschreiben, also Beispiele
von folgen, aber die menge aller folgen ist wohl kaum "vorstellbar" 1,1,1,1,,0,0...,0 ist siso ne Folge, eine von unendlich vielen. bei a ist das einzige was du weisst, dass es nur endlich viele aber das können auch [mm] 10^{123456} [/mm] sein folgeglieder [mm] \ne0 [/mm] gibt.
bei b) sind alle die in a)vorkommen , die du mit nullen weitermachst drin, dazu aber noch alle die unendlich viele ungleich 0 und unendlich viele = 0 haben wie etwa 1,0,1,0,1,
0 usw, wieder unendlich viele! also musst du schon von der def. ausgehen was passiert wenn du 2 folgen aus a) addierst, aus b)
Wenn du denkst es ist kein VR brauchst du nur ein einziges Beispiel wo [mm] a_n+b_n [/mm] nicht mehr zu der menge gehört!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Do 08.03.2012 | | Autor: | racy90 |
Wenn ich nun an=1/n und bn=n nehme und diese addiere komme ich auf [mm] \bruch{1+n^2}{n} [/mm] und wie soll ich nun erkennen ob es zu Menge gehört oder nicht??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Do 08.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die beiden genannten Folgen und ihre Summe gehören weder zur Menge in a) noch in b) (warum nicht?)
was weisst du über die Folgen in a als einzige bekannte Eigenschaft?? haben 2 Folgen mit der Eigenschaft aus a wieder diese Eigenschaft?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Do 08.03.2012 | | Autor: | racy90 |
das sie endliche viele Folgenglieder mit [mm] \not= [/mm] 0 hat.
2 Folgen mit endlich vielen Folgengliedern wären dcoh konstante folgen wie 1 oder 2?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Do 08.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> das sie endliche viele Folgenglieder mit [mm]\not=[/mm] 0 hat.
>
> 2 Folgen mit endlich vielen Folgengliedern wären dcoh
> konstante folgen wie 1 oder 2?
am besten versteht man das ganze Zeugs hier wirklich, wenn man das, was man mit Worten beschreibt, auch formal beschreibt:
Wie Schadowmaster schon meinte: Man kann zeigen (hoffentlich habt ihr das schon gemacht), dass für eine nichtleere Menge [mm] $X\,$ [/mm] die Menge
[mm] $$\mathcal{F}:=\{f: \text{ Es ist }f: X \to \IR \text{ eine Abbildung!}\}$$
[/mm]
versehen mit
[mm] $$\forall [/mm] f,g [mm] \in \mathcal{F}: [/mm] (f [mm] \oplus [/mm] g): X [mm] \to \IR \text{ wird definiert durch }(f \oplus [/mm] g)(x):=f(x)+g(x)$$
und
[mm] $$\forall \lambda \in \IR,g \in \mathcal{F}: (\lambda \odot [/mm] g): X [mm] \to \IR \text{ wird definiert durch }(\lambda \odot g)(x):=\lambda \cdot [/mm] g(x)$$
einen Vektorraum bildet, präziser:
[mm] $$(\mathcal{F},\oplus,\odot)\; \text{ ist ein }\IR-\text{Vektorraum!}$$
[/mm]
(Falls ihr das noch nicht bewiesen habt, wäre es an der Zeit, das einfach mal selbst nachzurechnen!)
Da diese Definitionen von [mm] $\odot$ [/mm] und [mm] $\oplus$ [/mm] in gewisser Weise "die naheliegendsten sind - man rechnet quasi 'punktweise wie in [mm] $\IR$' [/mm] " - schreibt man anstatt [mm] $\odot$ [/mm] einfach [mm] $\cdot$ [/mm] und anstatt [mm] $\oplus$ [/mm] einfach [mm] $+\,,$ [/mm] d.h.
$$f+g:=f [mm] \oplus [/mm] g$$
und
[mm] $$\lambda g=\lambda \cdot g:=\lambda \odot g\,.$$
[/mm]
Nun betrachtest Du speziell [mm] $X=\IN\,,$ [/mm] und in dem hier von Dir angesprochenen Teil der Aufgabe ist
[mm] $$A:=\{(a_n)_{n \in \IN}\,,\;\text{ für }(a_n)_n \text{ existieren nur endliche viele }n \in \IN \text{ mit }a_n \not=0\}\,.$$
[/mm]
Jede reellwertige Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] kann man, wie Schadowmaster schon sagte, in eindeutiger Weise schreiben als Funktion [mm] $\tilde{x}: \IN \to \IR$ [/mm] definiert durch [mm] $\tilde{x}(n):=x_n$ [/mm] (und umgekehrt gilt eine entsprechende Aussage für eine Funktion [mm] $\tilde{x}: \IN \to \IR$). [/mm] In diesem Sinne, und weil man "mit reellwertigen Folgen [mm] $(x_n)_n$ [/mm] und [mm] $(y_n)_n$ [/mm] genauso rechnet wie mit den entsprechenden [mm] $\tilde{x},\tilde{y} \in \mathcal{F}$ [/mm] (mit [mm] $X:=\IN$)" [/mm] reicht es, zu prüfen, 'ob [mm] $A\,$ [/mm] ein Unterraum von [mm] $\mathcal{F}$' [/mm] ist.
Klar ist schonmal, dass die Folge, die konstant [mm] $0\,$ [/mm] ist, also [mm] $(N_n)_n$ [/mm] mit [mm] $N_n:=0$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] auch [mm] $(N_n)_n \in [/mm] A$ erfüllt. (Warum?) Damit ist schonmal $A [mm] \not=\emptyset\,.$
[/mm]
Im Folgenden schreibe ich nur kurz [mm] $t_n:=\ldots\,,$ [/mm] wenn ich die Folge [mm] $(t_n)_{n \in \IN}$ [/mm] durch [mm] $t_n:=\ldots$ [/mm] - für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] - definieren will.
Also schau' mal:
Erfüllt die Folge [mm] $r_n:=1/n$ [/mm] dann [mm] $(r_n)_n \in [/mm] A$? Nein, denn sogar für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt [mm] $r_n \not=0\,,$ [/mm] und [mm] $\IN$ [/mm] hat nunmal (abzählbar) unendlich viele Elemente.
Wie sieht es mit der Folge
[mm] $$s_n:=\begin{cases} n, & \mbox{für } 1/n > 1/1000 \\ 0, & \mbox{für } 1/n \le 1/1000 \end{cases}$$
[/mm]
aus?
Hier gilt [mm] $(s_n)_n \in A\,.$ [/mm] Denn: Es gibt eine Zahl $N [mm] \in \IN$ [/mm] so, dass [mm] $s_n=0$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt: Nämlich etwa [mm] $N=1001\,.$
[/mm]
Und diese Eigenschaft bleibt auch erhalten, wenn ich irgendwelche der ersten 1000 Folgeglieder abändern würde.
Es ist leicht (oder jedenfalls nicht zu schwer), zu zeigen, dass gilt:
Eine reellwertige Folge [mm] $(c_n)_{n \in \IN}$ [/mm] erfüllt genau dann [mm] $(c_n)_n \in A\,,$ [/mm] wenn es für die Folge ein [mm] $N=N(\;(c_n)_n\;)$ [/mm] so gibt, dass
[mm] $$c_n=0 \text{ für alle }n \ge N\,.$$
[/mm]
Beachte: Das [mm] $N\,$ [/mm] darf und wird von der Folge abhängen, die man betrachtet.
Und damit machen wir uns jetzt mal an die Aufgabe hier heran, ich schreibe das ganze in Worten, und Du schreibst es formal auf:
Wir wollen zeigen, dass die Summe zweier Folgen aus [mm] $A\,$ [/mm] wieder in [mm] $A\,$ [/mm] liegt. Nehmen wir zwei Folgen aus [mm] $A\,$ [/mm] her, so gibt es für die erste Folge einen ersten Index, etwa [mm] $N_1\,,$ [/mm] so dass ab diesem alle darauffolgenden Folgeglieder den Wert [mm] $0\,$ [/mm] haben (das heißt alle Folgeglieder, deren Index größergleich [mm] $N_1$ [/mm] ist, haben den Wert [mm] $0\,.$)
[/mm]
Für die zweite Folge gibt es einen entsprechenden Index [mm] $N_2\,.$ [/mm] Was gilt denn dann für alle Folgeglieder, deren Index [mm] $\ge \text{max}\{N_1,N_2\}$ [/mm] ist - welchen Wert haben diese (bei JEDER der beiden Folgen!)? Was ist also die Summe solcher Folgenglieder? Was bedeutet das für die Summe der beiden Folgen?
Wenn Du das verstanden hast, ist der Teil mit der skalaren Multiplikation ("reelle Zahl skalarmultipliziert an Folge"), weil er halt wirklich trivial ist, sicher kein Kunststück mehr für Dich:
Nehme ich irgendeine Folge her, die ab einem Index nur noch Folgeglieder mit Wert [mm] $0\,$ [/mm] hat: Was passiert denn dann, wenn ich für diese irgendeine reelle Zahl dranmultipliziere?
Was Du also als Fazit erhalten solltest:
[mm] $A\,$ [/mm] ist ein Vektorraum.
(Wir haben Unterraumkriterien nachgerechnet, indem wir [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] gewissermaßen als Teilmenge von [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] mit [mm] $X:=\IN$ [/mm] aufgefasst haben - man kann das formal noch sauberer machen, indem man, wie Schadowmaster, eine reellwertige Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] wirklich als Funktion [mm] $\tilde{a}: \IN \to \IR$ [/mm] auffasst, oder aber, indem man eine Funktion [mm] $\tilde{f}: \IN \to \IR$ [/mm] wirklich als reellwertige Folge [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$ [/mm] schreibt. Du wirst aber sehen, dass das zwar dann formal vielleicht dann ganz sauber ist/aussieht, aber man ansonsten nichts gewinnt!)
P.S.:
Nicht vergessen: Alles, was ich in Worten geschrieben habe, nochmal formal sauber hinschreiben bzw. ergänzen. Wichtig ist jedenfalls, dass die ganze Logik sauber durchdringbar ist. Dabei finde ich es auch nicht schlimm, wenn Du nicht an Worten sparst. Aber bei manchen Sachen sollte man doch lieber auch auf "Symbolik" zurückgreifen:
Etwa:
- Für $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=x^2$ [/mm] gilt, dass für alle genügend großen [mm] $x\,$ [/mm] sicher [mm] $f(x)\,$ [/mm] stets einen Wert über [mm] $10\,$ [/mm] annimmt...
schreibt man etwa besser:
- Für $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=x^2$ [/mm] gilt, dass es ein [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] so gibt, dass $f(x) [mm] \ge [/mm] 10$ für alle $x [mm] \ge x_0\,.$
[/mm]
Zwar habe ich da dann "nichts großes getan - vor allem nicht inhaltlich", aber ich denke, die zweite "Schreibweise" erleichtert es doch ein wenig, das ganze zu erfassen. Man könnte dann etwa hingehen, sich mal den Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] plotten, dann sieht man, dass da irgendwas von einer Stelle [mm] $x_0\,$ [/mm] drinsteht - solche kann man auf der [mm] $x\,$-Achse [/mm] dann versuchen, zu finden/markieren etc. pp.
Gruß,
Marcel
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