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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:56 Do 24.05.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Sei [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] eine Folge in [mm] \IR [/mm] und [mm] a\in\IR. [/mm] Zeigen Sie:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{2n}=a [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{2n+1}=a [/mm] gelten beide genau dann, wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=a [/mm] |
"genau dann" bedeutet, dass ich das in beide Richtungen zeigen muss:
[mm] "\Rightarrow":
[/mm]
wenn die beiden Teilfogen von [mm] a_n [/mm] gegen a konvergieren heißt das, dass ihre Elemente iwann (für entsprechend große n) in einer beliebeig Kleinen Umgebung von a liegen. Wenn ich beide "zusammensetze" ändert sich daran nichts. Also konvergiert auch [mm] a_n [/mm] gegen a.
[mm] "\Leftarrow":
[/mm]
Wenn [mm] a_n [/mm] gegen a konvergiert kann ich eine konvergente Teilfolge bilden, indem ich Elemente weglasse. An der Konvergenz ändert dies nichts (nur, dass sie "schneller" geht). Also Konvergieren auch [mm] a_{2n} [/mm] und [mm] a_{2n+1} [/mm] gegen a.
Kann ich das so machen? Und wenn ja wie schreibe ich das mathematischer auf?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge in [mm]\IR[/mm] und [mm]a\in\IR.[/mm] Zeigen
> Sie:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{2n}=a[/mm] und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{2n+1}=a[/mm] gelten beide genau
> dann, wenn [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=a[/mm]
> "genau dann" bedeutet, dass ich das in beide Richtungen
> zeigen muss:
> [mm]"\Rightarrow":[/mm]
> wenn die beiden Teilfogen von [mm]a_n[/mm] gegen a konvergieren
> heißt das, dass ihre Elemente iwann (für entsprechend große
> n) in einer beliebeig Kleinen Umgebung von a liegen. Wenn
> ich beide "zusammensetze" ändert sich daran nichts. Also
> konvergiert auch [mm]a_n[/mm] gegen a.
> [mm]"\Leftarrow":[/mm]
> Wenn [mm]a_n[/mm] gegen a konvergiert kann ich eine konvergente
> Teilfolge bilden, indem ich Elemente weglasse. An der
> Konvergenz ändert dies nichts (nur, dass sie "schneller"
> geht). Also Konvergieren auch [mm]a_{2n}[/mm] und [mm]a_{2n+1}[/mm] gegen a.
>
> Kann ich das so machen? Und wenn ja wie schreibe ich das
> mathematischer auf?
Hallo,
guck mal in Deinem Skript, ob da schon steht, daß samtliche teilfolgen konvergenter Folgen gegen den Grenzwert der Folge konvergieren.
Damit hättest Du bereits die Rückrichtung.
"==>"
Betrachte [mm] |a_n-a|.
[/mm]
n ist entweder gerade oder ungerade.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Do 24.05.2007 | | Autor: | Zerwas |
Okay das mit der Rückrichtung ist klar ... da habe ich gar nocht dran gedacht.
Aber zu "==>":
Es muss also gelten:
[mm] \forall\varepsilon\in\IR\exists n_0\in\IN, \forall n\ge n_0 |a_n-a|<\varepsilon
[/mm]
mit n gerade oder ungerade.
Es gilt:
[mm] \forall\varepsilon\in\IR\exists m_0\in\IN, \forall m\ge m_0 |a_2_m-a|<\varepsilon
[/mm]
und:
[mm] \forall\varepsilon\in\IR\exists k_0\in\IN, \forall k\ge k_0 |a_2_m_+_1-a|<\varepsilon
[/mm]
Nun sei [mm] n:=max(m_0,k_0) =>|a_n-a|<\varepsilon
[/mm]
Kann ich das so machen?
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> Okay das mit der Rückrichtung ist klar ... da habe ich gar
> nocht dran gedacht.
>
> Aber zu "==>":
> Es muss also gelten:
> [mm]\forall\varepsilon\in\IR\exists n_0\in\IN, \forall n\ge n_0 |a_n-a|<\varepsilon[/mm]
>
> mit n gerade oder ungerade.
>
> Es gilt:
> [mm]\forall\varepsilon\in\IR\exists m_0\in\IN, \forall m\ge m_0 |a_2_m-a|<\varepsilon[/mm]
>
> und:
> [mm]\forall\varepsilon\in\IR\exists k_0\in\IN, \forall k\ge k_0 |a_2_m_+_1-a|<\varepsilon[/mm]
>
> Nun sei [mm]n:=max(m_0,k_0) =>|a_n-a|<\varepsilon[/mm]
>
> Kann ich das so machen?
Ja, so hatte ich mir das gedacht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:00 Do 24.05.2007 | | Autor: | Zerwas |
okay ... vielen dank ... jetzt ist es klar :)
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