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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge:
[mm] a_{n}:=\wurzel[n]{2+\bruch{(n-1)}{(n+1)}} [/mm] |
Hallo,
ich kann die Folge doch erstmal umformen:
[mm] \wurzel[n]{2+\bruch{(n-1)}{(n+1)}}=\wurzel[n]{2+\bruch{(n-1)(n+1)}{(n+1)(n+1)}}=\wurzel[n]{2+\bruch{n^2-1}{(n+1)^2}}=\wurzel[n]{2+\bruch{(n^2-1)}{(n^2+2n+1)}}=\wurzel[n]{2+\bruch{n^2(1-\bruch{1}{n^2})}{n^2(1+\bruch{2}{n}*\bruch{1}{n^2})}}
[/mm]
Da der Grenzwert jedes Summanden bekannt ist, kann ich doch jetzt die Grenzwertsätze anwenden und komme auf [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{2+1}=1...Stimmt [/mm] das so?
Gruß
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Hi,
> Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge:
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> [mm]a_{n}:=\wurzel[n]{2+\bruch{(n-1)}{(n+1)}}[/mm]
> Hallo,
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> ich kann die Folge doch erstmal umformen:
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> [mm]\wurzel[n]{2+\bruch{(n-1)}{(n+1)}}=\wurzel[n]{2+\bruch{(n-1)(n+1)}{(n+1)(n+1)}}=\wurzel[n]{2+\bruch{n^2-1}{(n+1)^2}}=\wurzel[n]{2+\bruch{(n^2-1)}{(n^2+2n+1)}}=\wurzel[n]{2+\bruch{n^2(1-\bruch{1}{n^2})}{n^2(1+\bruch{2}{n}*\bruch{1}{n^2})}}[/mm]
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> Da der Grenzwert jedes Summanden bekannt ist, kann ich doch
> jetzt die Grenzwertsätze anwenden und komme auf
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{2+1}=1...Stimmt[/mm] das
> so?
Ein derartiger Grenzwertsatz ist mir nicht bekannt. Sieht auch unnötig kompliziert aus, was du da machst.
Was hältst du vom Sandwichlemma? [mm] a_n [/mm] ist beschränkt durch
[mm]\wurzel[n]{2}\leq\wurzel[n]{2+\frac{n-1}{n+1}}\leq\wurzel[n]{3}[/mm] für [mm] n\geq [/mm] 1.
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> Gruß
Gruß,
Kamaleonti
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