Folgenkonvergenz und Schranken < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Fr 23.01.2015 | | Autor: | e16124 |
| Aufgabe | Ermitteln Sie das Monotonieverhalten, die obere und die untere Schranke sowie das Konvergenzverhalten der Folge
[mm] an=(10^n)/n! [/mm] |
Hi!
Man kriegt ja relativ leicht raus dass die Folge bis n=9 stetig steigt und anschließend stetig fällt. Die obere Schranke liegt dementsprechend bei n=9 und hat den y-Wert 2755,73192239859
Zwei hypothetische Fragen dazu:
a) angenommen die Folge würde nicht gegen null gehen sondern nach ihrem Hochpunkt gegen minus unendlich, so wäre ja die obere Schranke trotzdem bei 2755,731... - wäre sie dann konvergent oder nicht? Ich dachte nicht da Konvergenz ja meines Wissens nach immer bedeutet dass sie im unendlichen einen Grenzwert besitzt...
b) angenommen die obere Schranke hätte nicht wie bei 2755,73192239859 eine feste Anzahl an Nachkommastellen sondern wäre eine irrationale Zahl, könnte man denn dann überhaupt von einer oberen Schranke sprechen?
Vielen Dank für eure Antworten!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
> Man kriegt ja relativ leicht raus dass die Folge bis n=9 stetig steigt und anschließend stetig fällt.
Erst einmal: In welchem Sinne "stetig"? Im mathematischen?
Dann: Kannst du das auch begründen, außer mit "sieht man ja"?
> Zwei hypothetische Fragen dazu:
> a) angenommen die Folge würde nicht gegen null gehen
> sondern nach ihrem Hochpunkt gegen minus unendlich, so
> wäre ja die obere Schranke trotzdem bei 2755,731... -
> wäre sie dann konvergent oder nicht? Ich dachte nicht da
> Konvergenz ja meines Wissens nach immer bedeutet dass sie
> im unendlichen einen Grenzwert besitzt...
Grundsätzlich hast du recht.
Beweise dazu folgenden Satz: "Jede konvergente Folge ist beschränkt."
Das geht recht schnell über die Definition der Konvergenz.
> b) angenommen die obere Schranke hätte nicht wie bei
> 2755,73192239859 eine feste Anzahl an Nachkommastellen
> sondern wäre eine irrationale Zahl, könnte man denn dann
> überhaupt von einer oberen Schranke sprechen?
Natürlich. Insbesondere ist doch jede natürliche Zahl $n [mm] \ge [/mm] 2756$ ebenfalls eine obere Schranke.
Gruß,
Gono
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Fr 23.01.2015 | | Autor: | abakus |
"angenommen die obere Schranke hätte nicht wie bei 2755,73192239859 eine feste Anzahl an Nachkommastellen"
Das war ein Witz, oder?
dein tatsächliches Ergebnis ist zwar nicht irrational, aber es ist ein unendlicher und irgendwann dann auch periodischer Dezimalbruch mit KEINER festen Anzahl von Nachkommastellen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:47 Sa 24.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo!
Zur zweiten Frage: Lies dir das Archimedische Axiom durch.
Gruß
DieAcht
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