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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 Mi 17.06.2009 | | Autor: | Griesig |
| Aufgabe | a) Seien X ein normierter Raum und [mm]Y\subseteq X[/mm] ein linearer Teilraum mit nichtleerem Inneren. Beweisen sie, dass X=Y.
b) Seien X der lineare Raum aller Folgen mit nur endlich vielen von Null verschiedenen Gliedern und [mm]||.||[/mm] eine Norm auf X. Beweisen sie, dass [mm](X,||.||)[/mm] kein vollständiger Raum ist! |
Hallo zusammen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bei a) habe ich leider überhaupt keine Ahnung wie ich ansetzen soll. Ich glaube allerdings, dass das auf den Satz von Baire hinausläuft.
Zu b) habe ich mir folgendes überlegt:
Wir hatten in der Vorlesung den Satz, dass jeder vollständige, metrische Raum von 2. Kategorie ist. Also hab ich mir überlegt, dass ich zeige, dass das dieser Raum von 1. Kategorie ist, also eine Vereinigung höchstens abzählbar vieler nirgends dichter Teilmengen.
Dazu sei M der Raum aller linearen Folgen mit nur endlich vielen von Null verschiedenen Gliedern. Definiere dann die Mengen:
[mm] A_n:=\{(a_1,a_2,...,a_n,0,0,....)\in M|a_j\neq 0 j\in\{1,....,n\}\}[/mm]
Dann ist M die Vereinigung höchstens abzählbar vieler dieser [mm]A_n[/mm] (sogar abzählbar endlich vieler.)
Mein Problem ist jetzt, dass ich zeigen muss, das diese [mm]A_n[/mm] nirgends dicht sind, also dass [mm]clos\{A_n\}[/mm] keine inneren Punkte hat.
Wie mach ich das?
Hat jemand einen Tip zu a) und kann mir bei b) auf die Sprünge helfen?
Gruß Griesig
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Zur b):
Vielleicht kannst du einfach eine Cauchy-Folge konstruieren, die gegen die Nullfolge konvergiert? Denn die ist ja in deinem Raum nicht enthalten. In dem Fall kann er nicht vollständig sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:52 Mi 17.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Zur b):
> Vielleicht kannst du einfach eine Cauchy-Folge
> konstruieren, die gegen die Nullfolge konvergiert? Denn die
> ist ja in deinem Raum nicht enthalten.
Was ist die "die Nullfolge" ?
Wenn Du damit (0,0,0,0,....) meinst, so irrst Du
FRED
> In dem Fall kann er
> nicht vollständig sein.
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Wieso? Wo liegt mein Denkfehler?
Edit: OK - ich seh's gerade: "Raum aller Folgen mit nur endlich vielen von Null verschiedenen Gliedern". Ich hatte gelesen: "Raum aller Folgen mit nur endlich vielen nicht von Null verschiedenen Gliedern".
Wer lesen kann ist klar im Vorteil...
Ist noch zu früh, brauch' mehr Kaffee!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:56 Mi 17.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Wieso? Wo liegt mein Denkfehler?
Es gilt doch: (0,0,0,0,....) [mm] \in [/mm] X
FRED
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Mi 17.06.2009 | | Autor: | fred97 |
a) Nach Vor. hat Y einen inneren Punkt [mm] x_0, [/mm] also ex. ein r>0 mit
{ x [mm] \in [/mm] X: [mm] ||x-x_0|| [/mm] < r } [mm] \subseteq [/mm] Y
Sei x [mm] \in [/mm] X. Wir zeigen: x [mm] \in [/mm] Y. wir können x [mm] \not=x_0 [/mm] annehmen
Setze t = [mm] \bruch{r}{2||x-x_0||} [/mm] und überzeuge Dich davon, dass
[mm] x_0+t(x-x_0) \in [/mm] { x [mm] \in [/mm] X: [mm] ||x-x_0|| [/mm] < r },
also [mm] x_0+t(x-x_0) \in [/mm] Y
Somit (da [mm] x_0 \in [/mm] Y): [mm] t(x-x_0) \in [/mm] Y, daher [mm] x-x_0 \in [/mm] Y , also x [mm] \in [/mm] Y.
b) ist keine Norm konkret angegeben ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:25 Mi 17.06.2009 | | Autor: | Griesig |
Danke schon mal für die schnelle Antwort. Den Aufgabenteil a hab ich jetzt verstanden, hätte man auch selbst drauf kommen können!
Zu b): Nein, da ist keine konkrete Norm angegeben!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Mi 17.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu b)
Ich nehme an, der zugrunde liegende Körper ist K = [mm] \IR [/mm] oder K = [mm] \IC.
[/mm]
Für n [mm] \in \IN [/mm] sei
[mm] Y_n [/mm] = { [mm] (x_1,x_2,...x_n,0,0,0, [/mm] ...): [mm] x_1,x_2,...x_n \in [/mm] K }
Dann ist [mm] Y_n [/mm] ein Unterraum von X und [mm] dimY_n [/mm] = n < [mm] \infty, [/mm] also ist jedes [mm] Y_n [/mm] abgeschlossen
Weiter:
$X = [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}Y_n$
[/mm]
Wäre X vollständig, so gäbe es, nach Baire, ein [mm] Y_i [/mm] , so dass [mm] Y_i [/mm] innere Punkte hat.
Nach Aufgabenteil a) wäre [mm] Y_i [/mm] = X, Widerspruch
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Mi 17.06.2009 | | Autor: | Griesig |
Danke!
Allerdings versteh ich nicht warum die [mm] Y_n [/mm] abgeschlossen sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 Mi 17.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Danke!
>
> Allerdings versteh ich nicht warum die [mm]Y_n[/mm] abgeschlossen
> sind?
Weil sie endlichdimensional sind
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Mi 17.06.2009 | | Autor: | Griesig |
Gut, den Beweis hab ich jetzt verstanden, allerdings ist mir noch nicht klar, warum [mm] \IR\setminus\IQ [/mm] vollständig ist?
Ist es weil [mm] \IR\setminus\IQ [/mm] die Vereinigung abgeschlossener Teilmengen, also vollständiger Teilmengen von [mm] \IR [/mm] ist?
Gruß Griesig
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Mi 17.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Gut, den Beweis hab ich jetzt verstanden, allerdings ist
> mir noch nicht klar, warum [mm]\IR\setminus\IQ[/mm] vollständig
> ist?
[mm]\IR\setminus\IQ[/mm] ist nicht vollständig
Du beziehst Dich wahrscheinlich auf
https://matheraum.de/read?t=563029
Meinen Beitrag dort habe ich korrigiert
FRED
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> Ist es weil [mm]\IR\setminus\IQ[/mm] die Vereinigung abgeschlossener
> Teilmengen, also vollständiger Teilmengen von [mm]\IR[/mm] ist?
>
> Gruß Griesig
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