Folgenraum: Divergenz der Norm < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:39 Mi 08.05.2013 | | Autor: | SandySan |
| Aufgabe | Wir betrachten die Folgenräume wo:
[mm] ||x||_p:=(\summe_{i=1}^{\infty} |x_i|^p)^\bruch{1}{p} [/mm] mit
1 [mm] \le [/mm] p < q < [mm] \infty
[/mm]
Geben sie eine Folge [mm] (x^{j})_{j \in \IN} [/mm] an, für die [mm] \limes_{j\rightarrow\infty}
[/mm]
[mm] ||x^{j}||_p/||x^{j}||_q [/mm] = [mm] \infty [/mm] ist. |
Ich hatte mir die folge:
[mm] a_n:= \bruch{1}{n^\bruch{1}{p}} [/mm] überlegt.
Dafür würde [mm] ||x||_p [/mm] divergieren und [mm] ||x||_q [/mm] konvergieren.
folglich müsste doch [mm] ||x||_p/||x||_q [/mm] = [mm] \infty [/mm] sein oder ?
Nur darf man dass so sagen ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
> Wir betrachten die Folgenräume wo:
>
> [mm]||x||_p:=(\summe_{i=1}^{\infty} |x_i|^p)^\bruch{1}{p}[/mm] mit
>
> 1 [mm]\le[/mm] p < q < [mm]\infty[/mm]
>
> Geben sie eine Folge [mm](x^{j})_{j \in \IN}[/mm] an, für die
> [mm]\limes_{j\rightarrow\infty}[/mm]
> [mm]||x^{j}||_p/||x^{j}||_q[/mm] = [mm]\infty[/mm] ist.
Wichtig: Hier geht es um Folgen von Folgen!
Elemente der Folgenräume sind Folgen.
Und du sollst ja eine Folge von Elementen der Folgenräume angeben!
> Ich hatte mir die folge:
>
> [mm]a_n:= \bruch{1}{n^\bruch{1}{p}}[/mm] überlegt.
Das ist keine Folge von Folgen,
sondern nur eine Folge!
> Dafür würde [mm]||x||_p[/mm] divergieren und [mm]||x||_q[/mm]
> konvergieren.
Das ist richtig.
Allerdings ist es nur eine Folge, keine Folge von Folgen.
Und deine Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] liegt auch gar nicht im Folgenraum [mm] $L^p$, [/mm] weil ja [mm] $||x||_p [/mm] = [mm] \infty$ [/mm] ist.
> folglich müsste doch [mm]||x||_p/||x||_q[/mm] = [mm]\infty[/mm] sein oder ?
> Nur darf man dass so sagen ?
Nein.
Aber du kannst versuchen, deine Idee entsprechend zu modifizieren.
Evtl. kannst du zeigen, dass die Folge
[mm] $(x^{j})_{j\in\IN}$
[/mm]
mit
[mm] $(x^{j}_{n}) [/mm] = [mm] \left(\frac{1}{n^{\frac{1}{p}*\Big(1+\frac{1}{j}\Big)}}\right)$
[/mm]
funktioniert.
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
|
