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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:26 Di 12.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass f(x) = [mm] x^3 [/mm] - x stetig ist. |
Hallo zusammen.
Diese Aufgabe kann man sicher auf viele verschiedene Weisen auch recht einfach lösen. Das Erste, was mir zufällig eingefallen ist, war, es mit Hilfe der Folgenstetigkeit zu zeigen. Ich habe mir eine bestimmte Folge genommen und es hat natürlich funktioniert. Das reicht ja aber nicht, sondern ich muss es ja für JEDE beliebige Folge, also in allgemeiner Form zeigen, oder? Damit tue ich mich leider immer recht schwer. Mein Frage ist jetzt, wie ich anhand von einem Beispiel, wie hier eben mit einer bestimmten Folge auf eine allgemeine Form kommen kann? Ob es überhaupt sinnvoll ist, einen allgemeinen (gültigen) Beweis aus der Existenz eines Beispiels herzuleiten?
Als Folge habe ich mal wieder meine Lieblingsfolge [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] genommen. [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] konvergiert natürlich gegen 1. f(1) = [mm] 1^3 [/mm] - 1 = 1-1 = 0. Dann habe ich die Folge der Funktionswerte betrachtet und dafür den Limes ausgerechnet: [mm] f(\bruch{n}{n+1}) [/mm] = [mm] (\bruch{n}{n+1})^3 [/mm] - [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{-2n^2 - n}{n^3 + 3n^2 + 3n +1}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{-2n^2 - n}{n^3 + 3n^2 + 3n +1} [/mm] = 0
=> stimmt. Aber das ist ja noch lange kein Beweis.
Für einen Beweis muss ja ja zeigen, dass das für alle Folgen gilt. Hier mein Versuch:
Annahme: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_n)_{n \in \IN} \rightarrow [/mm] a. => [mm] \exists N_0 [/mm] : [mm] |a_n [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n > [mm] N_0 [/mm] (I)
Ich muss jetzt zeigen, dass [mm] |f(a_n) [/mm] - f(a)| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n > [mm] N_0. [/mm] Gut, dazu forme ich zunächst um: [mm] |(a_n)^3-a_n [/mm] - [mm] (a^3-a)|< \varepsilon \gdw |(a_n)^3 [/mm] - [mm] 3a_n [/mm] - [mm] a^3 [/mm] + a| < [mm] \varepsilon [/mm] (II), mit Voraussetzung, dass [mm] |a_n [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n > [mm] N_0 [/mm] natürlich. Jetzt muss ich mein Epsilon irgendwie so wählen, dass das passt. Kann ich das irgendwie mit Hilfe der obigen Folge machen...? oder mit einer anderen? Oder muss ich ganz anders an die Sache herangehen?
Ich habe es jetzt einfach mal so versucht: ich habe in (II) das Epsilon durch [mm] |a_n [/mm] - a| ersetzt, denn wenn das erfüllt ist, MUSS die linke Seite ja auch kleiner als Epsilon sein, da das ja größer ist als [mm] |a_n [/mm] - a|.
Also bekomme ich: [mm] |(a_n)^3 [/mm] - [mm] 3*a_n [/mm] - [mm] a^3 [/mm] + a| < [mm] |a_n [/mm] - a| [mm] \gdw [/mm] ... ja, und jetz habe ich nattürlich mal wieder Probleme damit, die Beträge aufzulösen ;-(
vllt. könnte mir jemand ein bisschen auf die Sprünge helfen?
Danke schonmal 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:40 Di 12.01.2010 | | Autor: | max3000 |
Hallo
> Gut, dazu forme ich zunächst um:
> [mm]|(a_n)^3-a_n[/mm] - [mm](a^3-a)|< \varepsilon \gdw |(a_n)^3[/mm] - [mm]3a_n[/mm] -
> [mm]a^3[/mm] + a| < [mm]\varepsilon[/mm] (II), mit Voraussetzung, dass [mm]|a_n[/mm] -
> a| < [mm]\varepsilon[/mm] für alle n > [mm]N_0[/mm] natürlich. Jetzt muss
> ich mein Epsilon irgendwie so wählen, dass das passt. Kann
> ich das irgendwie mit Hilfe der obigen Folge machen...?
Ab hier wird es falsch. [mm] \epsilon [/mm] ist beliebig vorgegeben. Da gibts nix zu wählen. Du musst ein [mm] $n_0$ [/mm] dazu finden. Hier musst du mit Dreiecksungleichung weiter machen:
[mm] $|(a_n^3-a^3)-(a_n-a)|\le|(a_n^3-a^3)|+|(a_n-a)|\le...\le C*\epsilon$
[/mm]
Damit hast du es mit folgenstetigkeit gezeigt.
Aber ich würde ganz einfach so argumentieren, dass die Summe und das Produkt stetiger Funktionen auch stetig sind.
Wenn du das in der Vorlesung hattest, kannst du das ganz einfach so verwenden.
Ansonsten musst du wirklich noch das [mm] |(a_n^3-a^3)| [/mm] abschätzen.
Schönen Gruß
Max
> oder mit einer anderen? Oder muss ich ganz anders an die
> Sache herangehen?
> Ich habe es jetzt einfach mal so versucht: ich habe in
> (II) das Epsilon durch [mm]|a_n[/mm] - a| ersetzt, denn wenn das
> erfüllt ist, MUSS die linke Seite ja auch kleiner als
> Epsilon sein, da das ja größer ist als [mm]|a_n[/mm] - a|.
> Also bekomme ich: [mm]|(a_n)^3[/mm] - [mm]3*a_n[/mm] - [mm]a^3[/mm] + a| < [mm]|a_n[/mm] - a|
> [mm]\gdw[/mm] ... ja, und jetz habe ich nattürlich mal wieder
> Probleme damit, die Beträge aufzulösen ;-(
>
> vllt. könnte mir jemand ein bisschen auf die Sprünge
> helfen?
> Danke schonmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:59 Mi 13.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Sei a [mm] \in \IR. [/mm] Sei weiter [mm] (a_n) [/mm] eine Folge mit [mm] $a_n \to [/mm] a$
Dann gilt doch
[mm] $a_n^3 \to a^3$ [/mm] und [mm] $a_n^3-a_n \to a^3-a$
[/mm]
Das hattet Ihr ganz bestimmt.
Was treibt nun die Folge [mm] (f(a_n)) [/mm] ??
FRED
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