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| Aufgabe | Def: f:X->Y ist stetig am Punkt [mm] x_0 \in [/mm] X wenn für jedes V [mm] \in U(f(x_0)) [/mm]
[mm] f^{-1} [/mm] (V) [mm] \in [/mm] U(x) gilt
Def.: f:X->Y folgenstetig am Punkt [mm] x_0 [/mm] <=> [mm] \forall (x_n)_{n\in \IN} [/mm] mit [mm] x_n [/mm] -> [mm] x_0 [/mm] (n-> [mm] \infty) [/mm] , [mm] f(x_n) [/mm] -> [mm] f(x_0) (n->\infty)
[/mm]
Aufgabe: Zeige, dass jede Abbildung, welche im Punkt x stetig ist, auch folgenstetig im Punkt x ist. |
sei V [mm] \in U(f(x_0)), [/mm] dann gilt [mm] f^{-1}(v) \in [/mm] U(x).
Nun Sei [mm] \forall (x_n)_{n\in \IN} [/mm] mit [mm] x_n [/mm] -> [mm] x_0 [/mm] (n-> [mm] \infty)
[/mm]
d.h. jede Umgebung von [mm] x_0 [/mm] enthält fast alle Folgenglieder:
d.h. [mm] \forall [/mm] U [mm] \in U(x_o) \exists [/mm] N sodass [mm] \forall [/mm] n>= N : [mm] x_n \in [/mm] U
Nun stecke ich fest.
2Frage: Aus Folgenstetigkeit folgt keine Stetigkeit?
danke lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:15 Do 11.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Def: f:X->Y ist stetig am Punkt [mm]x_0 \in[/mm] X wenn für jedes V
> [mm]\in U(f(x_0))[/mm]
In der Kürze liegt bekanntlich die Würze.....
Warum sagst Du nicht, dass X und Y topologische Räume sein sollen ?
Warum sagst Du nicht, dass [mm] U(f(x_0)) [/mm] das System aller Umgebungen von [mm] f(x_0) [/mm] ist ?
> [mm]f^{-1}[/mm] (V) [mm]\in[/mm] U(x) gilt
Es soll hier wohl [mm] U(x_0) [/mm] sein.
> Def.: f:X->Y folgenstetig am Punkt [mm]x_0[/mm] <=> [mm]\forall (x_n)_{n\in \IN}[/mm]
> mit [mm]x_n[/mm] -> [mm]x_0[/mm] (n-> [mm]\infty)[/mm] , [mm]f(x_n)[/mm] -> [mm]f(x_0) (n->\infty)[/mm]
>
> Aufgabe: Zeige, dass jede Abbildung, welche im Punkt x
> stetig ist, auch folgenstetig im Punkt x ist.
> sei V [mm]\in U(f(x_0)),[/mm] dann gilt [mm]f^{-1}(v) \in[/mm] U(x).
> Nun Sei [mm]\forall (x_n)_{n\in \IN}[/mm] mit [mm]x_n[/mm] -> [mm]x_0[/mm] (n->
> [mm]\infty)[/mm]
> d.h. jede Umgebung von [mm]x_0[/mm] enthält fast alle
> Folgenglieder:
> d.h. [mm]\forall[/mm] U [mm]\in U(x_o) \exists[/mm] N sodass [mm]\forall[/mm] n>= N :
> [mm]x_n \in[/mm] U
Da gehts ja mächtig durcheinander !!!
Vor., ist also, dass f in [mm] x_0 \in [/mm] X stetig ist.
Zu zeigen ist die folgenstetigkeit von f in [mm] x_0.
[/mm]
Dazu nehmen wir uns eine Folge [mm] (x_n) [/mm] aus X her mit [mm] x_n \to x_0.
[/mm]
Zu zeigen ist: [mm] f(x_n) \to f(x_0)
[/mm]
D.h., wir müssen zeigen: zu jedem V [mm] \in U(f(x_0)) [/mm] ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] f(x_n) \in [/mm] V für n>N.
Sei also V [mm] \in U(f(x_0)). [/mm] Nach Vor. ist [mm] f^{-1}(V) \in U(x_0).
[/mm]
Wegen [mm] x_n \to x_0 [/mm] ...... jetzt Du..
FRED
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> Nun stecke ich fest.
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> 2Frage: Aus Folgenstetigkeit folgt keine Stetigkeit?
Ja, in allg. topologischen Räumen ist "folgenstetigkeit" schwächer als "Stetigkeit"
FRED
> danke lg
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Hallo
Wegen $ [mm] x_n \to x_0 [/mm] $:
$ [mm] \forall [/mm] $ K $ [mm] \in U(x_o) \exists [/mm] $ N sodass $ [mm] \forall [/mm] $ n>= N : $ [mm] x_n \in [/mm] $ K
ich komme da leider trotzb deiner hilfe nicht weiter voran ;/
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Do 11.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
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> Wegen [mm]x_n \to x_0 [/mm]:
> [mm]\forall[/mm] K [mm]\in U(x_o) \exists[/mm] N sodass
> [mm]\forall[/mm] n>= N : [mm]x_n \in[/mm] K
Unfug !!
Wegen [mm]x_n \to x_0 [/mm] ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] x_n \in f^{-1}(V) [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N.
FRED
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> ich komme da leider trotzb deiner hilfe nicht weiter voran
> ;/
>
> LG
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