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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 Do 05.07.2012 | | Autor: | eps |
[mm] w_i [/mm] sind positive reelle Zahlen.
[mm] W_k=w_1+\cdots+w_k
[/mm]
Folgt aus
[mm] \bruch{w_1}{W_1}\ge \bruch{w_2}{W_2}\ge \cdots \ge \bruch{w_n}{W_n}, [/mm] dass
[mm] W_k^2\ge w_{k+1}\sum_{i=1}^{k-1} W_i [/mm] für [mm] 2\le [/mm] k [mm] \le [/mm] n-1
Eigentlich wollte ich ein Beispiel finden, dass die erste Bedingung gilt und die zweite nicht, doch so ein Beispiel scheint es nicht zu geben (andersrum gibt es solch ein Beispiel). Deshalb müsste aus dem ersten das zweite folgen, doch auch da komm ich nicht weiter. Vielleicht kann mir jemand helfen?
Danke schonmal...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:49 Do 05.07.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo!
Ohne es selbst versucht zu haben: Aber hast du mal vollständige Induktion über k versucht?!
Gruß
barsch
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Hiho,
es gilt:
[mm] $w_{k+1}\sum_{i=1}^{k-1} W_i [/mm] = [mm] W_{k+1} w_{k+1}\sum_{i=1}^{k-1} \bruch{W_i}{W_{k+1}} \le W_{k+1} w_{k+1} \sum_{i=1}^{k-1} \bruch{w_i}{w_{k+1}} [/mm] = [mm] W_{k+1}W_{k-1} [/mm] = [mm] (W_k [/mm] + [mm] w_{k+1})(W_k [/mm] - [mm] w_k) [/mm] = [mm] W_k^2 [/mm] + [mm] w_{k+1}W_k [/mm] - [mm] w_k w_{k+1} [/mm] - [mm] w_kW_k [/mm] = [mm] W_k^2 [/mm] + ( [mm] w_{k+1} [/mm] - [mm] w_k)W_k [/mm] - [mm] w_k w_{k+1}$
[/mm]
b.z.z
[mm] $(w_{k+1} [/mm] - [mm] w_k)W_k [/mm] - [mm] w_k w_{k+1} [/mm] < 0 [mm] \quad\gdw\quad (w_{k+1} [/mm] - [mm] w_k)W_k [/mm] < [mm] w_kw_{k+1} \quad\gdw\quad \bruch{1}{w_k} [/mm] - [mm] \bruch{1}{w_{k+1}} [/mm] < [mm] \bruch{1}{W_k}$
[/mm]
Das sieht doch schon ein bisschen besser aus 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Do 05.07.2012 | | Autor: | eps |
Super, danke, das hat mir weitergeholfen!!! Es folgt wirklich daraus. Vielen Dank!
> Hiho,
>
> es gilt:
>
> [mm]w_{k+1}\sum_{i=1}^{k-1} W_i = W_{k+1} w_{k+1}\sum_{i=1}^{k-1} \bruch{W_i}{W_{k+1}} \le W_{k+1} w_{k+1} \sum_{i=1}^{k-1} \bruch{w_i}{w_{k+1}} = W_{k+1}W_{k-1} = (W_k + w_{k+1})(W_k - w_k) = W_k^2 + w_{k+1}W_k - w_k w_{k+1} - w_kW_k = W_k^2 + ( w_{k+1} - w_k)W_k - w_k w_{k+1}[/mm]
>
Das letzte Gleichheitszeichen hab ich nicht verstanden, aber ich konnte zeigen, dass unter der gegebenen Voraussetzung [mm] w_{k+1}W_k [/mm] - [mm] w_k w_{k+1} [/mm] - [mm] w_kW_k \le [/mm] 0 folgt.
> b.z.z
>
> [mm](w_{k+1} - w_k)W_k - w_k w_{k+1} < 0 \quad\gdw\quad (w_{k+1} - w_k)W_k < w_kw_{k+1} \quad\gdw\quad \bruch{1}{w_k} - \bruch{1}{w_{k+1}} < \bruch{1}{W_k}[/mm]
>
> Das sieht doch schon ein bisschen besser aus
>
> MFG,
> Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:49 Do 05.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Super, danke, das hat mir weitergeholfen!!! Es folgt
> wirklich daraus. Vielen Dank!
>
> > Hiho,
> >
> > es gilt:
> >
> > [mm]w_{k+1}\sum_{i=1}^{k-1} W_i = W_{k+1} w_{k+1}\sum_{i=1}^{k-1} \bruch{W_i}{W_{k+1}} \le W_{k+1} w_{k+1} \sum_{i=1}^{k-1} \bruch{w_i}{w_{k+1}} = W_{k+1}W_{k-1} = (W_k + w_{k+1})(W_k - w_k) = W_k^2 + w_{k+1}W_k - w_k w_{k+1} - w_kW_k = W_k^2 + ( w_{k+1} - w_k)W_k - w_k w_{k+1}[/mm]
>
> >
> Das letzte Gleichheitszeichen hab ich nicht verstanden,
dieses:
[mm] $$W_k^2 [/mm] + [mm] w_{k+1}W_k [/mm] - [mm] w_k w_{k+1} [/mm] - [mm] w_kW_k [/mm] = [mm] W_k^2 [/mm] + ( [mm] w_{k+1} [/mm] - [mm] w_k)W_k [/mm] - [mm] w_k w_{k+1}\text{ ?}$$
[/mm]
Da passiert doch nicht viel, da wird nur [mm] $W_k$ [/mm] einmal ausgeklammert, ich schreib's mal anders auf:
[mm] $$W_k^2 [/mm] + [mm] w_{k+1}\mathbf{\blue{W_k}} [/mm] - [mm] w_k w_{k+1} [/mm] - [mm] w_k\mathbf{\blue{W_k}}=W_k^2+ \mathbf{\blue{W_k}}(w_{k+1}-w_k)-w_kw_{k+1}\,.$$
[/mm]
Und wenn Du rechterhand nun nochmal beim mittleren Summanden, der ja ein Produkt ist, die Faktoren vertauschst (die Multiplikation in [mm] $\IR$ [/mm] ist ja kommutativ), hast Du genau Gonos Form.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Fr 06.07.2012 | | Autor: | eps |
oh ja - na klar - ich hab vorhin was anderes gelesen und das hat nicht gepasst 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:44 Fr 06.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> oh ja - na klar - ich hab vorhin was anderes gelesen und
> das hat nicht gepasst
kann ich verstehen - ich muss auch oft die Sachen auf einem Blatt Papier vor mir liegen haben. Am Monitor wird man schon schnell mal unkonzentriert ^^
Gruß,
Marcel
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