Folgerung - Gleichung umformen < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Ich habe in einem Mathebuch folgendes Beispiel bezüglich des Äquivalenzzeichens und des Folgerungszeichens stehen und was man jeweils über die Lösungsmenge sagen kann. Dazu habe ich eine Frage.
Beispiel aus dem Buch:
Angenommen wir haben folgende Umformungen vorliegen:
f(x)=0 [mm] \gdw [/mm] ... [mm] \gdw [/mm] ... [mm] \gdw [/mm] x=5 [mm] \vee [/mm] x=3
Was lässt sich über die Lösungsmenge sagen, wenn dort statt dem [mm] \gdw [/mm]
a) ein [mm] \Rightarrow [/mm] Zeichen stehen würde?
b) ein [mm] \Leftarrow [/mm] Zeichen stehen würde?
Lösung:
a) [mm] \IL\subseteq [/mm] {3, 5}. Die Lösungen von f(x)=0 können x=5 oder x=3 sein, müssen es aber nicht. Es sind jedoch die einzigen Lösungen, die überhaupt in Frage kämen.
b) {3, 5} [mm] \subseteq\IL. [/mm] Hier sind x=5 und x=3 schonmal auf jeden Fall Teil der Lösungsmenge von f(x)=0. Jedoch könnte es hier noch weitere Lösungen geben.
Beispiel Ende.
Ich kann das ganze jetzt zwar stur auswendig lernen, jedoch würde ich die Begründungen bei a) und b) wirklich verstehen wollen. Kann hier vielleicht jemand bitte verständlich erklären, wie man auf die Begründungen jeweils kommt?
Die Implikation bezüglich Aussagen habe ich denke ich eigentlich verstanden. Mein Problem ist hier nur der Sprung von der Aussagenlogik bzw. deren Wahrheitsgehalt zur eigentlichen Lösungsmenge.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> Ich habe in einem Mathebuch folgendes Beispiel bezüglich
> des Äquivalenzzeichens und des Folgerungszeichens stehen
> und was man jeweils über die Lösungsmenge sagen kann.
> Dazu habe ich eine Frage.
>
>
> Beispiel aus dem Buch:
>
> Angenommen wir haben folgende Umformungen vorliegen:
>
> f(x)=0 [mm]\gdw[/mm] ... [mm]\gdw[/mm] ... [mm]\gdw[/mm] x=5 [mm]\vee[/mm] x=3
>
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> Was lässt sich über die Lösungsmenge sagen, wenn dort
> statt dem [mm]\gdw[/mm]
> a) ein [mm]\Rightarrow[/mm] Zeichen stehen würde?
> b) ein [mm]\Leftarrow[/mm] Zeichen stehen würde?
>
> Lösung:
> a) [mm]\IL\subseteq[/mm] {3, 5}. Die Lösungen von f(x)=0 können
> x=5 oder x=3 sein, müssen es aber nicht. Es sind jedoch
> die einzigen Lösungen, die überhaupt in Frage kämen.
>
> b) {3, 5} [mm]\subseteq\IL.[/mm] Hier sind x=5 und x=3 schonmal auf
> jeden Fall Teil der Lösungsmenge von f(x)=0. Jedoch
> könnte es hier noch weitere Lösungen geben.
>
>
> Beispiel Ende.
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>
> Ich kann das ganze jetzt zwar stur auswendig lernen, jedoch
> würde ich die Begründungen bei a) und b) wirklich
> verstehen wollen. Kann hier vielleicht jemand bitte
> verständlich erklären, wie man auf die Begründungen
> jeweils kommt?
bei a) setzt man dann voraus, dass [mm] $f(x)=0\,$ [/mm] gilt. Wenn man nun
$f(x)=0$ [mm] $\Rightarrow$ $x=5\,$ [/mm] oder [mm] $x=3\,$
[/mm]
bewiesen hat, so besagt dies doch:
Wenn [mm] $x\,$ [/mm] eine Lösung der Gleichung [mm] $f(x)=0\,$ [/mm] ist (das ist die
Voraussetzung!), dann folgt (in notwendiger Weise), dass [mm] $x=5\,$ [/mm] oder
[mm] $x=3\,$ [/mm] gelten muss. Anders gesagt:
Wenn [mm] $\IL=\{x \in \IR: f(x)=0\}\,$ [/mm] ist, so machst Du hier folgendes:
Du nimmst ein $x [mm] \in \IL$ [/mm] und zeigst, dass dann $x [mm] \in \{3,5\}$ [/mm] sein muss.
Weil $x [mm] \in \IL$ [/mm] beliebig war, folgt [mm] $\IL \subseteq \{3,5\}\,.$ [/mm] Um aber
auch wirklich [mm] $\IL=\{3,5\}$ [/mm] einzusehen, musst Du zeigen: Ist $x [mm] \in \{3,5\}\,,$
[/mm]
so folgt [mm] $f(x)=0\,.$ [/mm] (Denn klar ist hierbei [mm] $\{3,5\} \subseteq \IR\,,$ [/mm] und
deswegen ist etwa $3 [mm] \in \IL$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $f(3)=0\,,$ [/mm] analog für
die [mm] $5\,.$)
[/mm]
> Die Implikation bezüglich Aussagen habe ich denke ich
> eigentlich verstanden. Mein Problem ist hier nur der Sprung
> von der Aussagenlogik bzw. deren Wahrheitsgehalt zur
> eigentlichen Lösungsmenge.
Dann mach' Dir klar: Sind [mm] $A,B\,$ [/mm] Mengen, so gilt - etwa per Definitionem -
genau dann [mm] $A=B\,,$ [/mm] wenn sowohl $A [mm] \subseteq [/mm] B$ ALS AUCH $B [mm] \subseteq [/mm] A$ gilt.
Und wie zeigt man $A [mm] \subseteq [/mm] B$? Indem man zeigt: [mm] $\forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A$ gilt
auch $a [mm] \in B\,.$
[/mm]
Wenn's dennoch noch unklar ist - was eigentlich, meiner Erfahrung nach -
durchaus zu erwarten ist, dann frage BITTE nochmal nach.
Gruß,
Marcel
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Hallo Marce,
Danke für deine Antwort, ich bin mir nicht sicher, ob ich es nun verstanden habe.
Schauen wir uns a) nochmal genau an.
f(x)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] (x=5 [mm] \vee [/mm] x=3)
[mm] \gdw [/mm] f(x) [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \vee [/mm] (x=5 [mm] \vee [/mm] x=3)
Parallel dazu habe ich immer die Wahrheitstafel der Implikation vor Augen und schaue mir an, wann die Aussage
f(x)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] (x=5 [mm] \vee [/mm] x=3)
insgesamt wahr oder falsch ist.
Wahrheitstabelle der Implikation:
A B A [mm] \rightarrow [/mm] B
w w w
w f f
f w w
f f w
Noch auf a) bezogen:
Uns intressiert ja nur, wann das ganze insgesamt wahr ist.
f(x)=0 ist wahr bzw. Vorrausetzung. Also käme nur noch die 1. Zeile der Tabelle in Frage, bei der auch (x=5 [mm] \vee [/mm] x=3) wahr sein MUSS.
Nach meiner Logik MÜSSEN also (x=5 [mm] \vee [/mm] x=3) zur Lösungsmenge gehören. Tun sie abe rnicht zwingend. Sie können es, müssen es abe rnicht. Und das verstehe ich nicht.
Mal eine generelle Frage dazu:
Wenn ich für x eine reele Zahl einsetze und die Implikation insgesamt letzendlich wahr wird, gehört das x dann zur Lösungsmenge? Das ist nämlich meine momentane Denkweise.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marce,
>
> Danke für deine Antwort, ich bin mir nicht sicher, ob ich
> es nun verstanden habe.
> Schauen wir uns a) nochmal genau an.
>
>
> f(x)=0 [mm]\Rightarrow[/mm] (x=5 [mm]\vee[/mm] x=3)
>
> [mm]\gdw[/mm] f(x) [mm]\not=[/mm] 0 [mm]\vee[/mm] (x=5 [mm]\vee[/mm] x=3)
>
> Parallel dazu habe ich immer die Wahrheitstafel der
> Implikation vor Augen und schaue mir an, wann die Aussage
> f(x)=0 [mm]\Rightarrow[/mm] (x=5 [mm]\vee[/mm] x=3)
> insgesamt wahr oder falsch ist.
>
> Wahrheitstabelle der Implikation:
>
> A B A [mm]\rightarrow[/mm] B
> w w w
> w f f
> f w w
> f f w
>
> Noch auf a) bezogen:
> Uns intressiert ja nur, wann das ganze insgesamt wahr
> ist.
> f(x)=0 ist wahr bzw. Vorrausetzung. Also käme nur noch
> die 1. Zeile der Tabelle in Frage, bei der auch (x=5 [mm]\vee[/mm]
> x=3) wahr sein MUSS.
> Nach meiner Logik MÜSSEN also (x=5 [mm]\vee[/mm] x=3) zur
> Lösungsmenge gehören. Tun sie abe rnicht zwingend. Sie
> können es, müssen es abe rnicht. Und das verstehe ich
> nicht.
mir ist nicht klar, warum Du hier mit einer Wahrheitstafel arbeiten willst.
(Das ist mir - ehrlich gesagt - gerade einfach nur zu umständlich. Anderen
sagt das vielleicht eher zu, die können dann gerne nochmal drauf eingehen,
deswegen lasse ich die Frage nachher mal auf teilweise beantwortet!)
Die Aussage [mm] $A\,$ [/mm] ist hier doch [mm] "$f(x)=0\,$ [/mm] " (wir schreiben dann kurz [mm] $A\,,$ [/mm] wenn die
Aussage [mm] $A\,$ [/mm] wahr ist) und die Aussage [mm] $B\,$ [/mm] ist "$x=3$ oder $x=5$".
Die Aussage [mm] $B\,$ [/mm] kannst Du wieder in zwei Aussagen zerlegen...
Wenn Du zeigst: $A [mm] \Rightarrow B\,,$ [/mm] dann zeigst Du, dass aus der
Aussage [mm] $A\,,$ [/mm] die nun als WAHR vorausgesetzt wird, sich dann ergibt,
dass (mindestens!) eine der beiden Aussagen
[mm] $x=3\,$
[/mm]
oder
[mm] $x=5\,$
[/mm]
wahr ist. (Rein "logisch" erlaubt man ja auch, dass beide zugleich wahr
sein können, aber das würde hier [mm] $3=5\,$ [/mm] implizieren, weshalb hier dieser
Fall nicht geht!)
>
> Mal eine generelle Frage dazu:
> Wenn ich für x eine reele Zahl einsetze und die
> Implikation insgesamt letzendlich wahr wird, gehört das x
> dann zur Lösungsmenge? Das ist nämlich meine momentane
> Denkweise.
Nein. Allerdings gibt es oft "universelle" Voraussetzungen, die es erlauben,
aus [mm] "$\Rightarrow$"- [/mm] (oder [mm] "$\Leftarrow$"-) [/mm] Folgerungen [mm] $\gdw$
[/mm]
-Aussagen zu machen. Weil dadurch dann eine Folgerung doch geht, weil
durch Zusatzbedingungen "bestimmtes ausgeschlossen" werden kann.
Du kennst auch schon ein Beispiel: Betrachte $x [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Hier gilt
$$x=2 [mm] \Rightarrow x^2=4\,.$$
[/mm]
Der Beweis ist trivial: [mm] $2^2=2*2=4\,.$
[/mm]
Allerdings gilt nicht [mm] $x^2=4 \Rightarrow x=2\,.$ [/mm] Das haben wir schonmal,
ein klein wenig anders, diskutiert in einem anderen Thread.
Nun kann man sagen: Okay, für $f: [mm] \IR \to\IR$ [/mm] mit [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] gilt
[mm] $f(x)=4\,$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $x=2\,$ [/mm] oder [mm] $x=-2\,.$
[/mm]
Betrachte nun [mm] $g(x):=x^2-4\,$ [/mm] als Funktion [mm] $[0,\infty) \to \IR\,.$ [/mm] Hier gilt:
$$g(x)=0 [mm] \gdw x^2-4=0 \gdw [/mm] (x+2)*(x-2)=0$$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] x=2 [mm] \text{ oder }x=-2\,.$$
[/mm]
Warum gilt das? Nun, diese Folgerungskette gilt auch, wenn man [mm] $g\,$ [/mm] als
Funktion [mm] $\red{\;\IR\;} \to \IR$ [/mm] betrachtet, und es [mm] $[0,\infty) \subseteq \red{\;\IR}\,.$
[/mm]
Nimmst Du nun nochmal die Zusatzinformation, dass [mm] $g\,$ [/mm] auf [mm] $[0,\infty)$
[/mm]
definiert ist, also $x [mm] \ge [/mm] 0$ sein muss ("universelle Information!"), so
kannst Du zu guter Letzt aus
$$x=2 [mm] \text{ oder }x=-2$$
[/mm]
sogar noch [mm] $x=2\,$ [/mm] folgern.
Beachte aber: Auch für $g: [mm] [0,\infty) \to \IR$ [/mm] mit [mm] $g(x)=x^2-4$ [/mm] gilt
$$g(x)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] (x=2 [mm] \text{ oder }x=-2)\,.$$
[/mm]
Warum ist die Aussage rechterhand (also [mm] $x=2\,$ [/mm] oder [mm] $x=-2\,$) [/mm] wahr?
Nun ja: Es folgt ja sogar
$g(x)=0 [mm] \Rightarrow x=2\,,$ [/mm] wenn man alles beachtet, und offenbar
ist [mm] $\{2\} \subseteq \{-2,\;2\}\,.$
[/mm]
Allerdings ist [mm] $g(-2)=0\,$ [/mm] hier falsch, weil [mm] $g(-2)\,$ [/mm] gar nicht definiert ist...
P.S.
"Ändere" mal bei [mm] $g\,$ [/mm] den Definitionsbereich so um, dass [mm] $g\,$ [/mm] nur die
[mm] $-2\,$ [/mm] als Nullstelle hat - und (weitere Aufgabe!) so, dass [mm] $g\,$ [/mm] keine
Nullstellen hat.
Ich erkläre Dir aber oben nochmal kurz und prägnant nun doch, warum
eigentlich die Folgerung $g(x)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] (x=2 [mm] \text{ oder }x=-2)$
[/mm]
gilt:
Es gelte [mm] $g(x)=x^2-4=0$ [/mm] für ein $x [mm] \in [0,\infty)\,.$ [/mm] Wegen [mm] $[0,\infty) \subseteq \IR$
[/mm]
folgt dann [mm] $x^2-4=0$ [/mm] für dieses $x [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Weil [mm] $(\IR,+,*)$ [/mm] ein Körper
ist, ist dieser insbesondere nullteilerfrei, so dass aus
[mm] $$x^2-4=0 \gdw [/mm] (x+2)*(x-2)=0$$
folgt, dass [mm] $x=2\,$ [/mm] oder [mm] $x=-2\,$ [/mm] sein muss.
Daraus folgt: $x [mm] \in [0,\infty)$ [/mm] mit $g(x)=0$ liefert [mm] $x=2\,$ [/mm] oder [mm] $x=-2\,.$
[/mm]
Also mit [mm] $\IL_g:=\{x \in [0,\infty): g(x)=0\}$ [/mm] gilt [mm] $\IL_g \subseteq \{-2,\;2\}\,.$
[/mm]
Nun ist die Frage: Gilt denn auch [mm] $\{-2,\;2\} \in \IL_g$? [/mm] Nein: Es ist
zwar [mm] $2^2-4=(-2)^2-4=0\,,$ [/mm] aber wegen $-2 [mm] \notin [0,\infty)$ [/mm] kann
sicher nicht $-2 [mm] \in \IL_g$ [/mm] sein. Andererseits ist $2 [mm] \in [0,\infty)$ [/mm] mit
[mm] $g(2)=0\,.$ [/mm]
Was sehen wir so also: Wir sehen, dass [mm] $\IL_g \subseteq \{-2,\;2\}$
[/mm]
sein muss. Wegen $-2 [mm] \notin \IL_g$ [/mm] (Begründung: s.o.) folgt daraus
dann [mm] $\IL_g \subseteq \{2\}\,.$ [/mm] Und wegen $2 [mm] \in \IL_g$ [/mm] (Begründung: s.o.)
folgt dann in der Tat auch [mm] $\{2\} \subseteq \IL_g\,.$ [/mm] Also
[mm] $$\{2\} \subseteq \IL_g \subseteq \{2\}$$
[/mm]
und damit [mm] $\IL_g=\{2\}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Peeter123 |
Danke erneut für deine sehr ausführliche Erklärung.
Ich denke ich habe es jetzt verstanden.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Mo 29.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Freut mich, dass sich mal jemand genaue Gedanken macht und nicht einfach alles klaglos hinnimmt! 
> f(x)=0 [mm]\Rightarrow[/mm] (x=5 [mm]\vee[/mm] x=3)
Nehmen wir mal an, dies ist Teil der Lösung einer Gleichung und dem Urheber ist kein Fehler unterlaufen. Dann hat der Urheber bewiesen:
[mm] $\forall x\in\IR\colon(f(x)=0 \Rightarrow [/mm] (x=5 [mm] \vee [/mm] x=3))$
ist eine wahre Aussage. Hier ist also mit der Aussageform $f(x)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] (x=5 [mm] \vee [/mm] x=3)$ deren All-Abschluss gemeint. Wäre ja auch ungünstig, wenn die Überlegungen des Urhebers nur für manche [mm] $x\in\IR$ [/mm] gelten würden und nicht für alle.
> Parallel dazu habe ich immer die Wahrheitstafel der
> Implikation vor Augen und schaue mir an, wann die Aussage
> f(x)=0 [mm]\Rightarrow[/mm] (x=5 [mm]\vee[/mm] x=3)
> insgesamt wahr oder falsch ist.
>
> Wahrheitstabelle der Implikation:
>
> A B A [mm]\rightarrow[/mm] B
> w w w
> w f f
> f w w
> f f w
>
> Noch auf a) bezogen:
> Uns intressiert ja nur, wann das ganze insgesamt wahr
> ist.
Wir wissen nach obiger Annahme: Für jedes [mm] $x\in\IR$ [/mm] ist [mm] $A(x)\Rightarrow [/mm] B(x)$ wahr.
> f(x)=0 ist wahr bzw. Vorrausetzung.
Nur für gewisse [mm] $x\in\IR$ [/mm] (genauer gesagt: genau für die [mm] $x\in\IL$)!
[/mm]
> Also käme nur noch
> die 1. Zeile der Tabelle in Frage, bei der auch (x=5 [mm]\vee[/mm]
> x=3) wahr sein MUSS.
Ja, für die [mm] $x\in\IL$ [/mm] muss [mm] $x=5\vee [/mm] x=3$ wahr sein. Egal welches Element aus der Lösungsmenge man hernimmt: Es kann sich nur um 5 oder 3 handeln. Was noch lange nicht heißt, dass 5 und 3 auch zur Lösungsmenge gehören.
> Nach meiner Logik MÜSSEN also (x=5 [mm]\vee[/mm] x=3) zur
> Lösungsmenge gehören.
Da irrst du.
3 und 5 gehören zur Lösungsmenge genau dann, wenn für x=3 und x=5 jeweils f(x)=0 gilt, nicht etwa, wenn für reelle Zahlen x mit $f(x)=0$ bereits x=3 und x=5 gilt.
> Mal eine generelle Frage dazu:
> Wenn ich für x eine reele Zahl einsetze und die
> Implikation insgesamt letzendlich wahr wird, gehört das x
> dann zur Lösungsmenge? Das ist nämlich meine momentane
> Denkweise.
Die Implikation selbst ist für ALLE [mm] $x\in\IR$ [/mm] wahr. Aber nur für die [mm] $x\in\IL$ [/mm] sagt die Implikation aus, dass die Konklusion [mm] $x=5\vee [/mm] x=3$ wahr ist.
Wahrscheinlich bist du es gewohnt, dass das zur Lösungsmenge gehört, was die letzte Zeile erfüllt. Das stimmt auch, wenn nur Äquivalenzumformungen durchgeführt wurden. Im Allgemeinen enthält die Lösungsmenge jedoch genau diejenigen [mm] $x\in\IR$, [/mm] die die Ausgangsgleichung erfüllen.
Hier gilt also: Eine Zahl x gehört genau dann zur Lösungsmenge [mm] $\IL$, [/mm] wenn f(x)=0 gilt. Somit lässt sich die Aussageform
$f(x)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] (x=5 [mm] \vee [/mm] x=3)$
umschreiben zu
[mm] $x\in\IL\Rightarrow (x=5\vee [/mm] x=3)$.
[mm] $x=5\vee [/mm] x=3$ können wir ausdrücken durch [mm] $x\in\{3,5\}$. [/mm] Somit erhalten wir:
[mm] $x\in\IL\Rightarrow x\in\{3,5\}$.
[/mm]
Da der All-Abschluss gemeint ist, also
[mm] $\forall x\in\IR\colon(x\in\IL\Rightarrow (x=5\vee [/mm] x=3))$,
steht da (nahezu) die Definition von [mm] $\IL\subseteq\{3,5\}$.
[/mm]
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