Folgerung Mengengleichheit < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 Mi 21.09.2011 | | Autor: | mars2005 |
| Aufgabe | Es seien Mengen A, B, und C gegeben mit den Eigenschaften
A [mm] \cup [/mm] B=A [mm] \cup [/mm] C und A [mm] \cap [/mm] B=A [mm] \cap [/mm] C
Folgern Sie B=C |
Hallo liebe Mathekollegen ;)
Da ich mir nicht sicher bin, ob ich einen Denkfehler gemacht habe, würde ich mich über eine Rückmeldung sehr freuen. Vielen Dank im Voraus!!
A [mm] \cup [/mm] B=A [mm] \cup [/mm] C habe ich folgendermaßen geschrieben x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B = x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] C
Ich habe gedacht wenn x [mm] \not \in [/mm] A dann muss gelten x [mm] \in [/mm] B damit linke Seite wahr ist. Wenn x [mm] \not \in [/mm] A dann muss auch x [mm] \in [/mm] C gelten, damit rechte Seite wahr. Somit B [mm] \gdw [/mm] C.
Stimmt der erste Teil, oder muss ich den Ansatz mit Teilmengen aufstellen?
Für den 2. Teil hab ich aufgestellt: x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B = x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C
Sei x [mm] \in [/mm] A dann muss auch x [mm] \in [/mm] B und x [mm] \in [/mm] C sein damit beide Seiten wahr sind.
Somit gilt auch hier x [mm] \in [/mm] C [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] B
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi,
deine Antwort geht irgendwie schon in die richtige Richtung, leider vermischst du die Begriffe Menge und Aussage, d.h. was du geschrieben hast, ist falsch. Zuerst musst du dir also klar machen, worin der Unterschied zwischen Menge und Aussage besteht.
Beispiel: A, B und C sind Mengen, d.h. sie bestehen aus keinem, einem oder mehreren Elementen. Außerdem können Mengen gleich oder ungleich sein, man kann also z.B. schreiben A=B, was gleichbedeutend ist mit {x [mm]\mid[/mm] x[mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
A}={x [mm]\mid[/mm] x[mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B}. Das Symbol "[mm]\mid[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
" bedeutet "für die gilt" oder "mit der Bedingung, dass".
Daher kannst du die Aussage "A\cupB=A\cupC" so umschreiben: {x\midx\in A[mm]\vee[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
x\inB}={x\midx\inA\weex\inC}, und diese Aussagen sind dann äquivalent, d.h. sie gelten für exakt die gleichen x und man kann ein <=> dazwischen schreiben. Zwischen Mengen kann aber nie ein <=> stehen, denn <=> bedeudet immer "äquivalent" oder "ist gleichbedeudent mit" und nicht etwa "gleich"
x[mm]\in[/mm]A ist eine Aussage. Aussagen kann man immer auch als vollst. Satz formulieren, z.B. "x liegt in A". Aussagen sind in der Mathematik immer entweder wahr oder falsch - im Gegensatz zu Mengen. "Die Menge A ist falsch" macht als mathematische Aussage ja gar keinen Sinn, "x[mm]\in[/mm]A" kann aber falsch sein, und dann ist x [mm]\notin[/mm] A automatisch wahr.
Aussagen können mathematisch gesehen nicht gleich sein, sondern nur gleichbedeutend. Das heißt, x[mm]\in[/mm]A=x[mm]\in[/mm]B ist schon formal falsch, ganz gleich, ob A=B ist oder nicht. Aussagen können aber mit =>, <= und <=> verbunden werden.
[mm] x\inA [/mm] <=> [mm] x\inB [/mm] wäre daher formal richtig.(und auch inhaltlich bei dieser Aufgabe als mathematischer Ausdruck für "Wenn x in A liegt, dann liegt es auch in B und umgekehrt").
So jetzt versuche nochmal richtig auszudrücken, was du sagen möchtest. Falls du es noch nicht gemacht hast, kann es sehr hilfreich sein, ein ![[]](/images/popup.gif) Venn-Diagramm zu der Aufgabe zu zeichnen.
Hoffe, dich mit dem ganzen formalen Kram nicht verschreckt zu haben, aber mit Mathe ist es wie mit Fremdsprachen: Man muss erstmal die Sprache beherrschen, um Dinge sagen oder verstehen zu können.
Viele Grüße,
Julia
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Auch diese Antwort ist fehlerhaft, da nicht alles dargestelle wird, was ich eingebenen hatte. x<=>x ist natürlich Quatsch. :)
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Hi,
deine Antwort geht irgendwie schon in die richtige Richtung, leider vermischst du die Begriffe Menge und Aussage, d.h. was du geschrieben hast, ist falsch. Zuerst musst du dir also klar machen, worin der Unterschied zwischen Menge und Aussage besteht.
Beispiel: A, B und C sind Mengen, d.h. sie bestehen aus keinem, einem oder mehreren Elementen. Außerdem können Mengen gleich oder ungleich sein, man kann also z.B. schreiben A=B, was gleichbedeutend ist mit [mm]{x \mid x \inA }={x \mid x\inB}[/mm]. Das Symbol "[mm]\mid[/mm]" bedeutet "für die gilt" oder "mit der Bedingung, dass".
Daher kannst du die Aussage "[mm]A\cupB=A\cupC[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
" so umschreiben: <span class="equation">{x\midx\in A[mm]\vee[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
x\inB}={x\midx\inA\weex\inC}</span>, und diese Aussagen sind dann äquivalent, d.h. sie gelten für exakt die gleichen x und man kann ein <=> dazwischen schreiben. Zwischen Mengen kann aber nie ein <=> stehen, denn <=> bedeudet immer "äquivalent" oder "ist gleichbedeudent mit" und nicht etwa "gleich"
x[mm]\in[/mm]A ist eine Aussage. Aussagen kann man immer auch als vollst. Satz formulieren, z.B. "x liegt in A". Aussagen sind in der Mathematik immer entweder wahr oder falsch - im Gegensatz zu Mengen. "Die Menge A ist falsch" macht als mathematische Aussage ja gar keinen Sinn, "x[mm]\in[/mm]A" kann aber falsch sein, und dann ist x [mm]\notin[/mm] A automatisch wahr.
Aussagen können mathematisch gesehen nicht gleich sein, sondern nur gleichbedeutend. Das heißt, x[mm]\in[/mm]A=x[mm]\in[/mm]B ist schon formal falsch, ganz gleich, ob A=B ist oder nicht. Aussagen können aber mit =>, <= und <=> verbunden werden.
[mm] x\inA [/mm] <=> [mm] x\inB [/mm] wäre daher formal richtig.(und auch inhaltlich bei dieser Aufgabe als mathematischer Ausdruck für "Wenn x in A liegt, dann liegt es auch in B und umgekehrt").
So jetzt versuche nochmal richtig auszudrücken, was du sagen möchtest. Falls du es noch nicht gemacht hast, kann es sehr hilfreich sein, ein Venn-Diagramm zu der Aufgabe zu zeichnen.
Hoffe, dich mit dem ganzen formalen Kram nicht verschreckt zu haben, aber mit Mathe ist es wie mit Fremdsprachen: Man muss erstmal die Sprache beherrschen, um Dinge sagen oder verstehen zu können.
Viele Grüße,
Julia
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Ich komme mit dieser neuen Version des Formeleditors noch nicht so gut zurecht. (War in letzter Zeit nicht mehr hier). Ich habe die Symbole z.T. über den Editor, z.T. manuell eingegeben und dann als "Formel" formatiert, leider hab ich damit das System wohl verwirrt, und es meint jetzt, da würden Klammern fehlen, die aber da sind. Vielleicht kann ja jemand, der sich mit dem Syntax besser auskennt, meine Antwort lesbarer machen und mir dann sagen, woran es lag. Danke schonmal.
LG Julia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 Mi 21.09.2011 | | Autor: | fred97 |
Es genügt , zu zeigen: $ B [mm] \subseteq [/mm] C$, denn die umgekehrte Inklusion zeigt man analog.
Nimm also ein x [mm] \in [/mm] B her und zeige: x [mm] \in [/mm] C.
Dazu unterscheide 2 Fälle:
Fall 1: x [mm] \in [/mm] A. Jetzt benutze A $ [mm] \cap [/mm] $ B=A $ [mm] \cap [/mm] $ C
Fall 2: x [mm] \notin [/mm] A. Jetzt benutze A $ [mm] \cup [/mm] $ B=A $ [mm] \cup [/mm] $ C
FRED
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