Folgerung aus Stetigkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:52 Do 08.06.2006 | | Autor: | t.sbial |
Hallo,
hier mal folgendes Problem:
Sei (X,d) ein metrischer Raum. f:X -> R stetig und [mm] x_{0} [/mm] aus X mit [mm] f(x_{0})>1. [/mm] Dann folgt [mm] \exists \varepsilon>0 [/mm] so, dass f(x)>1 [mm] \forall [/mm] x aus [mm] U_{ \varepsilon}(x_{0}).
[/mm]
So des wollt ich auch mal bewiesen haben und weis nicht genau ob des alles korrekt ist was ich da so mache.Also:
Angenommen es gibt kein solches [mm] \varepsilon
[/mm]
D.h.
[mm] \forall \varepsilon>0 \exists [/mm] x aus [mm] U_{ \varepsilon}(x_{0}) [/mm] : [mm] f(x)\le1
[/mm]
Anders ausgedrückt:
[mm] d(x,x_{0})< \varepsilon \Rightarrow f(x)\le1 [/mm] für alle [mm] \varepsilon>0
[/mm]
Es gilt also
[mm] f(x)\le1
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] 0\le1-f(x)
daraus folgt dann
[mm] |f(x_{0})-f(x)|>|1-f(x)|=1-f(x) [/mm] für alle x aus [mm] U_{\varepsilon}(x_{0}) [/mm] !Widerspruch! zu f ist stetig
Gruß
T.Sbial
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:34 Do 08.06.2006 | | Autor: | dormant |
Hallo!
> Angenommen es gibt kein solches [mm]\varepsilon[/mm]
> D.h.
> [mm]\forall \varepsilon>0 \exists[/mm] x aus [mm]U_{ \varepsilon}(x_{0})[/mm]
> : [mm]f(x)\le1[/mm]
> Anders ausgedrückt:
> [mm]d(x,x_{0})< \varepsilon \Rightarrow f(x)\le1[/mm]
> für alle [mm]\varepsilon>0[/mm]
> Es gilt also
> [mm]f(x)\le1
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm]0\le1-f(x)
> daraus folgt dann
> [mm]|f(x_{0})-f(x)|>|1-f(x)|=1-f(x)[/mm] für alle x aus
> [mm]U_{\varepsilon}(x_{0})[/mm] !Widerspruch! zu f ist stetig
Passt schon. Am Besten schreibst du das ein bisschen deutlicher hin:
[mm] |f(x_{0})-f(x)|>|1-f(x)|:=\delta \forall \epsilon>0, [/mm] womit die Stetigkeit fast verletzt wird, da |1-f(x)|=0 sein kann. Dabei hast du aber die Rollen von [mm] \epsilon [/mm] und [mm] \delta [/mm] in der Standarddefinition von Stetigkeit.
Ich würde viel mehr [mm] \epsilon:=d(x_{0}, [/mm] x)/2 setzen, wobei f(x)>1 ist. So ein x existiert gerade wegen der Stetigkeit von f (Folgendefinition: da lässt du x gegen [mm] x_{0} [/mm] streben) und das war's.
Gruß,
dormant
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