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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Fr 25.04.2014 | | Autor: | blubblub |
| Aufgabe | Seien Φ , Ψ Mengen von AL-Formeln, und seien φ,ψ AL-Formeln. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen.
(i) Wenn Φ |= ψ für alle ψ [mm] \in [/mm] Ψ und Ψ |= φ, dann auch Φ |= φ.
(ii) Wenn Φ |= ¬φ und φ [mm] \in [/mm] Φ , dann ist Φ unerfüllbar.
(iii) φ [mm] \to [/mm] ψ |= φ |
Hallo,
könnt ihr mir bei der folgenden Aufgabe helfen.
Meine Ideen:
zu (i) Die Aussage ist wahr
zz: Φ |= φ
Bew: Sie I |= φ und es gilt I |= ψ für alle ψ [mm] \in [/mm] Ψ [mm] \Rightarrow [/mm] φ |= Ψ und mit Ψ |= φ [mm] \Rightarrow [/mm] Φ |= φ
zu (ii) Die Aussage ist wahr
??? gilt φ [mm] \in [/mm] Φ: Φ |= φ ???
Bew: Annahme: Φ besitzt ein Modell. Dann besitzt Φ auch ein zu φ passendes Modell I. Da Φ |= φ und Φ |= ¬φ gilt I |= φ und I |= ¬φ also I |= φ [mm] \wedge [/mm] ¬φ. Dies ist jedoch ein Widerspruch.
zu (iii): Die Aussage ist ???
Hier habe ich leider keine Idee. Könnt Ihr mir helfen ??
Danke schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:06 Sa 26.04.2014 | | Autor: | hippias |
> Seien Φ , Ψ Mengen von AL-Formeln, und seien φ,ψ
> AL-Formeln. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden
> Aussagen.
> (i) Wenn Φ |= ψ für alle ψ [mm]\in[/mm] Ψ und Ψ |= φ,
> dann auch Φ |= φ.
> (ii) Wenn Φ |= ¬φ und φ [mm]\in[/mm] Φ , dann ist Φ
> unerfüllbar.
> (iii) φ [mm]\to[/mm] ψ |= φ
> Hallo,
>
> könnt ihr mir bei der folgenden Aufgabe helfen.
>
> Meine Ideen:
>
> zu (i) Die Aussage ist wahr
> zz: Φ |= φ
> Bew: Sie I |= φ und es gilt I |= ψ für alle ψ [mm]\in[/mm] Ψ
> [mm]\Rightarrow[/mm] φ |= Ψ und mit Ψ |= φ [mm]\Rightarrow[/mm] Φ
> |= φ
Finde ich ausreichend.
>
> zu (ii) Die Aussage ist wahr
>
> ??? gilt φ [mm]\in[/mm] Φ: Φ |= φ ???
>
> Bew: Annahme: Φ besitzt ein Modell. Dann besitzt Φ auch
> ein zu φ passendes Modell I. Da Φ |= φ und Φ |= ¬φ
> gilt I |= φ und I |= ¬φ also I |= φ [mm]\wedge[/mm] ¬φ. Dies
> ist jedoch ein Widerspruch.
O.K. Oder vielleicht: [mm] $I\models \neg\phi\iff$ [/mm] nicht [mm] $I\models \phi$, [/mm] was zusammen mit [mm] $I\models \phi$ [/mm] einen Widerspruch ergibt.
>
>
> zu (iii): Die Aussage ist ???
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> Hier habe ich leider keine Idee. Könnt Ihr mir helfen ??
"Wer es glaubt, wird selig". Folgt daraus, dass ich glaube?
>
> Danke schon mal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Sa 26.04.2014 | | Autor: | blubblub |
Hey Danke für deine Antwort :)
> > zu (ii) Die Aussage ist wahr
> >
> > ??? gilt φ [mm]\in[/mm] Φ: Φ |= φ ???
> >
> > Bew: Annahme: Φ besitzt ein Modell. Dann besitzt Φ auch
> > ein zu φ passendes Modell I. Da Φ |= φ und Φ |= ¬φ
> > gilt I |= φ und I |= ¬φ also I |= φ [mm]\wedge[/mm] ¬φ. Dies
> > ist jedoch ein Widerspruch.
> O.K. Oder vielleicht: [mm]I\models \neg\phi\iff[/mm] nicht [mm]I\models \phi[/mm],
> was zusammen mit [mm]I\models \phi[/mm] einen Widerspruch ergibt.
> >
> >
Danke :) ... also gilt φ [mm]\in[/mm] Φ: Φ |= φ? ... in der Aufgabenstellung geht man ja nur davon aus, dass φ [mm]\in[/mm] Φ ??
> > zu (iii): Die Aussage ist ???
> >
> > Hier habe ich leider keine Idee. Könnt Ihr mir helfen ??
> "Wer es glaubt, wird selig". Folgt daraus, dass ich
> glaube?
>
Nein
Also aus deinem Beispiel folgere ich für meine Aufgabe, dass die Aussage falsch ist.
nun zum Beweis:
Annahme die Aussage ist war
φ [mm] \to [/mm] ψ ... kann man ja auch schreiben ¬φ [mm] \vee [/mm] ψ
I |= φ und I |= ψ
Aus der Vl ist bekannt, dass Φ |= ψ gilt genau dann, wenn Φ [mm] \cup {\neg ψ}
[/mm]
Also ¬φ [mm] \vee [/mm] ψ [mm] \vee [/mm] ¬φ, also ¬φ [mm] \vee [/mm] ψ also erfüllbar. Das ist ein Widerspruch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 So 27.04.2014 | | Autor: | hippias |
> Hey Danke für deine Antwort :)
>
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> > > zu (ii) Die Aussage ist wahr
> > >
> > > ??? gilt φ [mm]\in[/mm] Φ: Φ |= φ ???
> > >
> > > Bew: Annahme: Φ besitzt ein Modell. Dann besitzt Φ auch
> > > ein zu φ passendes Modell I. Da Φ |= φ und Φ |= ¬φ
> > > gilt I |= φ und I |= ¬φ also I |= φ [mm]\wedge[/mm] ¬φ. Dies
> > > ist jedoch ein Widerspruch.
> > O.K. Oder vielleicht: [mm]I\models \neg\phi\iff[/mm] nicht [mm]I\models \phi[/mm],
> > was zusammen mit [mm]I\models \phi[/mm] einen Widerspruch ergibt.
> > >
> > >
>
> Danke :) ... also gilt φ [mm]\in[/mm] Φ: Φ |= φ? ... in der
> Aufgabenstellung geht man ja nur davon aus, dass φ [mm]\in[/mm] Φ
> ??
Selbstverstaendlich. Dies ergibt sich unittelbar aus der Definition der Relation [mm] $I\models \Phi$.
[/mm]
>
>
> > > zu (iii): Die Aussage ist ???
> > >
> > > Hier habe ich leider keine Idee. Könnt Ihr mir helfen ??
> > "Wer es glaubt, wird selig". Folgt daraus, dass ich
> > glaube?
> >
> Nein
> Also aus deinem Beispiel folgere ich für meine Aufgabe,
> dass die Aussage falsch ist.
>
> nun zum Beweis:
> Annahme die Aussage ist war
> φ [mm]\to[/mm] ψ ... kann man ja auch schreiben ¬φ [mm]\vee[/mm] ψ
>
> I |= φ und I |= ψ
> Aus der Vl ist bekannt, dass Φ |= ψ gilt genau dann,
> wenn Φ [mm]\cup {\neg ψ}[/mm]
> Also ¬φ [mm]\vee[/mm] ψ [mm]\vee[/mm] ¬φ, also
> ¬φ [mm]\vee[/mm] ψ also erfüllbar. Das ist ein Widerspruch
>
Dem kann ich nicht ganz folgen. Du benoetigst [mm] $\phi$, $\psi$ [/mm] und $I$ so, dass [mm] $I\models\phi\rightarrow\psi$, [/mm] aber nicht [mm] $I\models \phi$. [/mm] Tip: Aus einem Widerspruch folgt bekanntlich alles.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Mo 28.04.2014 | | Autor: | blubblub |
Dankeschön :)
so neuer Versuch:
zz: [mm]I\models\phi\rightarrow\psi[/mm], aber nicht [mm]I\models \phi[/mm].
Annahme: I |= φ und $ [mm] I\models\phi\rightarrow\psi [/mm] $
Sei I [mm] |\not= [/mm] $ [mm] \psi [/mm] $
I ( [mm] \phi \vee \psi)= [/mm] I [mm] (\neg \phi) \vee [/mm] I [mm] (\psi) [/mm] = 1 (da ja$ [mm] I\models\phi\rightarrow\psi [/mm] $ und I |= φ) und dies ist ein Widerspruch zu I [mm] |\not= [/mm] $ [mm] \psi [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:50 Di 29.04.2014 | | Autor: | hippias |
Wie bereits gesagt: du musst ein Gegenbeispiel angeben. Wenn beispielsweise [mm] $\phi= \psi=\forall [/mm] x=x$ ist, dann folgt aus [mm] $I\models (\phi\rightarrow\psi)$ [/mm] auch [mm] $I\models\phi$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:45 Di 29.04.2014 | | Autor: | blubblub |
Ok
Sei [mm] I(\phi)=I(\psi)= [/mm] 0 ist ein Modell von [mm] \phi \to \psi [/mm]
aber [mm] I(\phi)=I(\psi)=0 [/mm] ist kein Modell von [mm] \phi
[/mm]
Ich danke dir für deine Hilfe
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