Formale Def. von Big-O < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 Mo 26.10.2015 | | Autor: | Ceriana |
| Aufgabe 1 | Seien f: [mm] \IN \rightarrow \IR [/mm] und g: [mm] \IN \rightarrow \IR_{>0}. [/mm] Zeigen Sie
f [mm] \in [/mm] O(g) [mm] \Leftrightarrow \exists [/mm] c > 0: [mm] \limsup_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} [/mm] > c |
| Aufgabe 2 | | f [mm] \in [/mm] o(g) [mm] \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} [/mm] = 0 |
Guten Abend,
ich habe einige Probleme mit diesen Aufgaben. Die formalen Definitionen der beiden genutzten O-Funktionen kenne ich, kann aber mit dem Limes-Ausdruck nichts anfangen. Den Limes habe ich zuletzt vor einigen Jahren in der Oberstufe benutzt, und die Vorlesung die Folgen und Grenzwerte behandelt habe ich noch nicht gehört. Ansätze habe ich bislang keine, ich habe einfach keine Idee wie ich von der Definition in Mengenschreibweise (siehe unten) auf die Schreibweise mit dem Limes komme (oder was überhaupt zu beweisen ist).
Für die die die Definitionen der O-Funktionen nicht kennen:
f [mm] \in \hbox{o}(g) \forall\ [/mm] C > 0 [mm] \exists\ x_0 [/mm] > 0 [mm] \forall\ [/mm] x > [mm] x_0: [/mm] |f(x)| [mm] \le C\cdot|g(x)|
[/mm]
f [mm] \in \mathcal{O}(g) \exists\ [/mm] C > 0 [mm] \exists\ x_0 [/mm] > 0 [mm] \forall\ [/mm] x > [mm] x_0: [/mm] |f(x)| [mm] \le C\cdot|g(x)|
[/mm]
Liebe Grüße,
Ceriana
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:39 Di 27.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Seien f: [mm]\IN \rightarrow \IR[/mm] und g: [mm]\IN \rightarrow \IR_{>0}.[/mm]
> Zeigen Sie
>
> f [mm]\in[/mm] O(g) [mm]\Leftrightarrow \exists[/mm] c > 0: [mm]\limsup_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}[/mm]
> > c
>
> f [mm]\in[/mm] o(g) [mm]\Leftrightarrow \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}[/mm]
> = 0
>
> Guten Abend,
>
> ich habe einige Probleme mit diesen Aufgaben. Die formalen
> Definitionen der beiden genutzten O-Funktionen kenne ich,
> kann aber mit dem Limes-Ausdruck nichts anfangen. Den Limes
> habe ich zuletzt vor einigen Jahren in der Oberstufe
> benutzt, und die Vorlesung die Folgen und Grenzwerte
> behandelt habe ich noch nicht gehört.
Dann solltest Du Dich so umgehend wie geschwind mit den Grenzwertdefinitionen bei Folgen, Funktionen, etc ... vertraut machen.
> Ansätze habe ich
> bislang keine, ich habe einfach keine Idee wie ich von der
> Definition in Mengenschreibweise (siehe unten) auf die
> Schreibweise mit dem Limes komme (oder was überhaupt zu
> beweisen ist).
>
> Für die die die Definitionen der O-Funktionen nicht
> kennen:
>
> f [mm]\in \hbox{o}(g) \forall\[/mm] C > 0 [mm]\exists\ x_0[/mm] > 0 [mm]\forall\[/mm]
> x > [mm]x_0:[/mm] |f(x)| [mm]\le C\cdot|g(x)|[/mm]
>
> f [mm]\in \mathcal{O}(g) \exists\[/mm] C > 0 [mm]\exists\ x_0[/mm] > 0
> [mm]\forall\[/mm] x > [mm]x_0:[/mm] |f(x)| [mm]\le C\cdot|g(x)|[/mm]
>
> Liebe Grüße,
>
> Ceriana
Ich zeig Dir mal Aufgabe 2. Zunächst eine
Definition: ist h:(0, [mm] \infty) \to \IR [/mm] eine Funktion, so def. man:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}h(x)=0 [/mm] : [mm] $\gdw \forall\ [/mm] C > 0 [mm] \exists\ x_0 [/mm] > 0 [mm] \forall\ [/mm] x > [mm] x_0: [/mm] |h(x)| [mm] \le [/mm] C .$
Wenn Du Dir nun die Def. von $f [mm] \in \hbox{o}(g)$ [/mm] anschaust, solltest Du sehen:
f $ [mm] \in [/mm] $ o(g) $ [mm] \Leftrightarrow \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=0 [/mm] $
FRED
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