Formaler Beweis der Teilmenge < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Fr 05.11.2004 | | Autor: | chil14r |
Hallo! Ich beschäftige mich grad mit einem Mathebeweis und zwar soll folgendes bewiesen werden:
A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \iff [/mm] A [mm] \cup [/mm] B = B
Mein Ansatz bisher ist das man auf jeden Fall den Beweis einmal von beiden Seiten aus führen muss. Also hab ich einfach mal links angefangen:
a [mm] \in [/mm] A [mm] \rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] B . Doch wie kann man so auf die Teilmenge A in B beschließen. Wie kann man formal zeigen das in B andere Elemente vorkommen können?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 Fr 05.11.2004 | | Autor: | Pirmin |
Hallo Tom,
richtig ist, dass Du bei Äquivalenzen zewi Richtungen zeigen musst.
Hier also:
1) $ A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \cup [/mm] B = B $
2) $ A [mm] \cup [/mm] B = B [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] B $
In 1) musst Du dann die Gleichheit der beiden Mengen $ A [mm] \cup [/mm] B $ und $ B $ zeigen, d.h.
Du must zeigen a) $ A [mm] \cup [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] B $ und b) $ B [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \cup [/mm] B $. Bei 2) hingegen musst
Du nur zeigen, dass A Teilmenge von B ist.
Hoffe, dieser Ansatz hilft Dir weiter.
Liebe Grüsse,
Sven
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Fr 05.11.2004 | | Autor: | zwerg |
mal der versuch einer antwort
( [mm] \Rightarrow [/mm] )
A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \to \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A : x [mm] \in [/mm] B [mm] \to [/mm] A [mm] \cup [/mm] B = B
( [mm] \Leftarrow [/mm] )
B = A [mm] \cup [/mm] B [mm] \to [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B) [mm] \to
[/mm]
[mm] \to [/mm] ( x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] A ) [mm] \vee [/mm] ( x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B )
[mm] \to [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] B
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Fr 05.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo! Ich beschäftige mich grad mit einem Mathebeweis und
> zwar soll folgendes bewiesen werden:
> A [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\iff[/mm] A [mm]\cup[/mm] B = B
> Mein Ansatz bisher ist das man auf jeden Fall den Beweis
> einmal von beiden Seiten aus führen muss. Also hab ich
> einfach mal links angefangen:
> a [mm]\in[/mm] A [mm]\rightarrow[/mm] a [mm]\in[/mm] B . Doch wie kann man so auf
> die Teilmenge A in B beschließen. Wie kann man formal
> zeigen das in B andere Elemente vorkommen können?
Ich führe dir einfach mal die Richtung [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] vor:
In dieser Richtung hast du als Voraussetzung:
$A [mm] \subseteq [/mm] B$.
Nun sollst du zeigen, dass dann $A [mm] \cup [/mm] B=B$ gilt.
Das tun wir in zwei Schritten:
1.) Wir zeigen: $A [mm] \cup [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] B$.
Ist $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$, so gilt:
$x [mm] \in [/mm] A$ oder $x [mm] \in [/mm] B$.
1. Fall:
Ist $x [mm] \in [/mm] A$, so ist wegen $A [mm] \subseteq [/mm] B$ auch $x [mm] \in [/mm] B$.
2. Fall:
Ist $x [mm] \in [/mm] B$, so ist nichts zu zeigen.
Also gilt $A [mm] \cup [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] B$.
2.) Wir zeigen: $B [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$.
Das ist aber trivial, weil $B [mm] \subseteq [/mm] (B [mm] \cup [/mm] A)=A [mm] \cup [/mm] B$.
Wegen 1.) und 2.) folgt:
$A [mm] \cup [/mm] B=B$
So, das ist die eine Richtung deines Beweises.
In der Richtung [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] hast du als Voraussetzung:
$A [mm] \cup [/mm] B=B$ gegeben.
Dann mußt du zeigen, dass unter dieser Voraussetzung gilt:
$A [mm] \subseteq [/mm] B$.
Probierst du das mal bitte?
Liebe Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:10 Mo 08.11.2004 | | Autor: | chil14r |
Danke für eure HIlfe und die vielen Ansätze. Habe das Problem verstanden und gelöst.
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