Formel < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:18 Sa 26.09.2009 | | Autor: | puldi |
Hallo,
ich habe heute im Laufe des Tages mit meinem kleinem Cousin einige Aufgaben gerechnet, aber hier weiß ich einfach nicht, wie das gehen soll, könnt Ihr mir da vll ein paar Anregungen geben?
"Geben Sie eine Formel für die n-gliedrige Summe an und beweisen Sie sie"
1/2 + 1/(1+2) + 1/(1+2+3) + ... + 1/(1+2+3+...+n)
Danke.
|
|
| |
|
Hallo puldi,
> Hallo,
>
> ich habe heute im Laufe des Tages mit meinem kleinem Cousin
> einige Aufgaben gerechnet, aber hier weiß ich einfach
> nicht, wie das gehen soll, könnt Ihr mir da vll ein paar
> Anregungen geben?
Wie klein ist denn dein Cousin?!
Ich vermute mal, er ist schon in der Oberstufe? .. oder an der Uni?
>
> "Geben Sie eine Formel für die n-gliedrige Summe an und
> beweisen Sie sie"
>
> 1/2 + 1/(1+2) + 1/(1+2+3) + ... + 1/(1+2+3+...+n)
>
> Danke.
Schreib mal so:
[mm] \bruch{1}{1+1}+\bruch{1}{1+2}+\bruch{1}{1+2+3}+...+\bruch{1}{1+2+3+..+n}
[/mm]
dann erkennst du:
[mm] \bruch{1}{2}+\summe_{i=2}^{n}{\bruch{1}{\summe_{j=1}^{i}{j}}}
[/mm]
soll das nun auch noch in einen geschlossenen Term verwandelt werden?
Da muss ich länger nachdenken...
Gruß informix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Sa 26.09.2009 | | Autor: | puldi |
danke !
er ist gerade Anfang der Oberstufe. Ich weiß leider nicht, wie viel da verlang wird, meint ihr, dass das dann so reicht, wie du es geschrieben hast ?
Danke.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Sa 26.09.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
Du möchtest für den Ausdruck eine Summe, die $n$-Summanden enthält. Diese leiten wir wie folgt her:
[mm] $\frac{1}{1+1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+4}+\cdots+\frac{1}{1+\cdots+n}$
[/mm]
[mm] $=-\frac{1}{2}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+4}+\cdots+\frac{1}{1+\cdots+n}$
[/mm]
[mm] $=-\frac{1}{2}+\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{\sum_{k=1}^{j}k}$
[/mm]
[mm] $=-\frac{1}{2}+\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{\frac{j(j+1)}{2}}$
[/mm]
[mm] $=-\frac{1}{2}+\sum_{j=1}^{n}\frac{2}{j(j+1)}$
[/mm]
[mm] $=\left(\sum_{j=1}^{n}-\frac{1}{2n}\right)+\left(\sum_{j=1}^{n}\frac{2}{j(j+1)}\right)$
[/mm]
[mm] $=\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{2}{j(j+1)}-\frac{1}{2n}\right)$
[/mm]
[mm] $=\sum_{j=1}^{n}\frac{4n-j(j+1)}{2nj(j+1)}$
[/mm]
Dies sollte es sein! Sicherlich kannst Du diesen Ausdruck noch beliebig umformen. Als Grundlage für diese Berechnung solltest Du auf jeden Fall die folgende Eigenschaft wissen (nachweisen, d.h. eventuell per "Vermutung" nachweisen, da die Beweisführung "per Induktion" in Oberstufen nicht bekannt ist)
[mm] $\sum_{k=1}^{j}k=\frac{j(j+1)}{2}$ [/mm] für [mm] $j\in\IN:=\{1,2,3,\ldots\}$
[/mm]
Hoffe, dass Dir das weitergeholfen hat.
Lieben Gruß
Denny
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Sa 26.09.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo puldi,
>
> > Hallo,
> >
> > ich habe heute im Laufe des Tages mit meinem kleinem Cousin
> > einige Aufgaben gerechnet, aber hier weiß ich einfach
> > nicht, wie das gehen soll, könnt Ihr mir da vll ein paar
> > Anregungen geben?
> Wie klein ist denn dein Cousin?!
> Ich vermute mal, er ist schon in der Oberstufe? .. oder an
> der Uni?
> >
> > "Geben Sie eine Formel für die n-gliedrige Summe an und
> > beweisen Sie sie"
> >
> > 1/2 + 1/(1+2) + 1/(1+2+3) + ... + 1/(1+2+3+...+n)
> >
> > Danke.
> Schreib mal so:
>
> [mm]\bruch{1}{1+1}+\bruch{1}{1+2}+\bruch{1}{1+2+3}+...+\bruch{1}{1+2+3+..+n}[/mm]
> dann erkennst du:
>
> [mm]\bruch{1}{2}+\summe_{i=2}^{n}{\bruch{1}{\summe_{j=1}^{i}{j}}}[/mm]
>
> soll das nun auch noch in einen geschlossenen Term
> verwandelt werden?
> Da muss ich länger nachdenken...
>
Hallo,
die Summe der Zahlen von 1 bis n ist n(n+1)/2.
Das Reziproke davon ist [mm] \bruch{2}{n(n+1)}=2*(\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1})
[/mm]
Das gibt eine schöne Teleskopsumme.
Gruß Abakus
>
> Gruß informix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:36 Sa 26.09.2009 | | Autor: | Denny22 |
Das ist eine andere sehr schöne Idee. Ich denke auch, dass dies auch der von der Schule gewünschte Lösungsweg ist.
|
|
|
|
