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| Aufgabe | | [mm] (\summe_{j=0}^{m}a_j x^j) [/mm] * [mm] (\summe_{k=0}^{n}b_k x^k) [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{m+n} (\summe_{l=0}^{i} a_l b_{i-l}) [/mm] * [mm] x^i [/mm] |
Hallo,
kann mir vielleicht jemand erklären, wie die Formel oben vereinfacht wurde??? Vor allem verstehe ich nicht, wo dieses [mm] b_{i-l} [/mm] herkommt.
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> [mm](\summe_{j=0}^{m}a_j x^j)[/mm] * [mm](\summe_{k=0}^{n}b_k x^k)[/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{m+n} (\summe_{l=0}^{i} a_l b_{i-l})[/mm] * [mm]x^i[/mm]
Eigentlich wird hier nur das Distributivgesetz durchexerziert, wie etwa in
(a+b+c) * (p+q) = ap + aq + bp + bq + cp + cq
Der Summationsindex i auf der rechten Seite entspricht der Summe j+k der Indices der linken Seite.
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Hallo,
danke erstmal.
Ganz verstanden habe ich es leider immer noch nicht.
Wie kommt denn [mm] b_{i-l} [/mm] zustande?
Wie kann ich mir das [mm] \summe_{i=0}^{m+n} (\summe_{l=0}^{i} a_l b_{i-l}) [/mm] überhaupt vorstellen. Irgendwie verstehe ich die Formel nicht.
Wenn ich jetzt nur 2 Schritte gehen will, quasi von i=0 und l=0 bis i=2 und l=2. Wie würde das Ganze aussehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 Fr 16.04.2021 | | Autor: | statler |
Dann schreib dir doch mal 2 konkrete Polynome hin, vielleicht 3. und 4. Grades, und multiplizier sie. Wie kommt dann der Koeffizient von [mm] x^{5} [/mm] in die Welt?
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> Hallo,
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> danke erstmal.
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> Ganz verstanden habe ich es leider immer noch nicht.
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> Wie kommt denn [mm]b_{i-l}[/mm] zustande?
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> Wie kann ich mir das [mm]\summe_{i=0}^{m+n} (\summe_{l=0}^{i} a_l b_{i-l})[/mm]
> überhaupt vorstellen. Irgendwie verstehe ich die Formel
> nicht.
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> Wenn ich jetzt nur 2 Schritte gehen will, quasi von i=0 und
> l=0 bis i=2 und l=2. Wie würde das Ganze aussehen?
Es werden ja zwei Polynome miteinander multipliziert, und das Ergebnis ist wieder ein Polynom. Nehmen wir als Beispiel
[mm] (1+2x+3x^2+4x^3)*(a+bx+cx^2)
[/mm]
und schauen wir uns den Koeffizienten von [mm] x^3 [/mm] des Ergebnisses an. Er entsteht aus allen Summanden, die ein [mm] x^3 [/mm] enthalten.
Mit der 1 bekommen wir nichts mit [mm] x^3.
[/mm]
Mit 2x bekommen wir [mm] 2x*cx^2=2cx^3.
[/mm]
Mit [mm] 3x^2 [/mm] bekommen wir [mm] 3x^2*bx=3bx^3.
[/mm]
Mit [mm] 4x^3 [/mm] bekommen wir [mm] 4x^3*a=4ax^3.
[/mm]
Der Koeffizient zu [mm] x^3 [/mm] des Ergebnisses ist also die Summe
2*c+3*b+4*a, eine Summe aus Produkten, bei denen der erste Faktor vorwärts läuft (2, 3, 4) und der zweite rückläufig ist (c, b, a).
Setzt man also [mm] a_0=1, a_1=2, a_2=3, a_3=4 [/mm] und [mm] b_0=a, b_1=b, b_2=c,
[/mm]
so ist der Koeffizient von [mm] x^3 [/mm] die Summe [mm] a_1b_2 [/mm] + [mm] a_2b_1 [/mm] + [mm] a_3b_0.
[/mm]
Wie du siehst, ist die Summe der beiden Indices von den a-s und den b-s immer 3 (1+2=2+1=3+0=3). Wenn man noch [mm] b_3=0 [/mm] hinzufügt, kann man noch [mm] a_0b_3=0 [/mm] hinzufügen.
Damit wird nun das zweite Summenzeichen in
[mm]\summe_{i=0}^{m+n} (\summe_{l=0}^{i} a_l b_{i-l})[/mm]
erklärt. Wenn bei [mm] \summe_{l=0}^{i} a_l b_{i-l} [/mm] i=3 ist, bekommst du genau [mm] a_0b_{3-0}+a_1b_{3-1}+a_2b_{3-2}+a_3b_{3-0}=a_0b_3+a_1b_2+a_2b_1+a_3b_0 [/mm] als Koeffizient zu [mm] x^3.
[/mm]
Die Koeffizienten zu [mm] x^0, x^1, x^2... [/mm] bekommst du, indem du entsprechend i der Reihe nach auf 0, 1, ... setzt. Die höchste vorkommende x-Potenz ergibt sich als Produkt aus den beiden Gliedern mit den höchsten Potenzen in den beiden Summen, also als [mm] x^n*x^m=x^{n+m}, [/mm] und daher läuft i von 0 bis n+m.
[mm]\summe_{i=0}^{m+n} (\summe_{l=0}^{i} a_l b_{i-l})[/mm] gibt so aber keinen Sinn, es wäre nur eine Zahl, nämlich die Summe aller Koeffizienten, die im Ergebnis vorkommen. Da fehlt jeweils noch das [mm] x^i, [/mm] damit ein Polynom entsteht. Es muss also heißen:
[mm]\summe_{i=0}^{m+n} (\summe_{l=0}^{i} a_l b_{i-l})*x^i[/mm].
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Hiho,
ich schreibe die Formel mal ein bisschen anders hin, nämlich als:
$ [mm] \left(\summe_{j=0}^{m}a_j x^j\right) [/mm] * [mm] \left(\summe_{k=0}^{n}b_k x^k\right) [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{m+n} \left(\summe_{l+p=i} a_l b_p\right) [/mm] * [mm] x^i [/mm] $
Das ist letztendlich dieselbe Formel, aber nun wird es hoffentlich ein bisschen klarer, was passiert.
Stell dir vor du hast zwei Polynome
[mm] $\summe_{j=0}^{m}a_j x^j [/mm] = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1x^1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_mx^m$
[/mm]
[mm] $\summe_{k=0}^{n}b_k x^k [/mm] = [mm] b_0 [/mm] + [mm] b_1x^1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] b_nx^n$
[/mm]
Nun willst du beide miteinander multiplizieren und erhältst ein neues Polynom.
[mm] $(a_0 [/mm] + [mm] a_1x^1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_mx^m)(b_0 [/mm] + [mm] b_1x^1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] b_nx^n) [/mm] =$?
Das willst du aber "hübsch" aufschreiben in der Form
[mm] $c_0 [/mm] + [mm] c_1x^1 [/mm] + [mm] \ldots c_{n+m}x^{n+m}$
[/mm]
Wie kommt man nun auf jedes [mm] $c_i$?
[/mm]
Man sucht sich die Kombinationen heraus, die zusammen [mm] $x^i$ [/mm] ergeben und addiert die zusammen.
Mal am Beispiel: Wir wollen [mm] $c_2$ [/mm] bestimmen. Also suchen wir alle Kombinationen von Multiplikationen heraus, die zusammen [mm] x^2 [/mm] ergeben.
In unserem Fall wären das:
[mm] $a_0 \cdot b_2x^2 [/mm] = [mm] a_0b_2x^2$
[/mm]
[mm] $a_1x^1 \cdot b_1x^1 [/mm] = [mm] a_1b_1x^2$
[/mm]
[mm] $a_2x^2 \cdot b_0 [/mm] = [mm] a_2b_0x^2$
[/mm]
Dir wird nun auffallen, dass die Indizes von der a's und b's immer zusammen 2 ergeben.
Um [mm] c_2 [/mm] zu erhalten, müssen wir die Koeffizienten vor [mm] x^2 [/mm] noch addieren, weil ja alle davon zu [mm] x^2 [/mm] beitragen, also erhalten wir:
[mm] $c_2 [/mm] = [mm] a_0b_2 [/mm] + [mm] a_1b_1 [/mm] + [mm] a_2b_0 [/mm] = [mm] \sum_{l+p=2} a_l b_p$
[/mm]
Oder für den allgemeinen Fall eben:
[mm] $c_i [/mm] = [mm] a_0b_i [/mm] + [mm] a_1b_{i-1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] = [mm] \sum_{l+p=i} a_l b_p$
[/mm]
Gruß,
Gono
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Hallo,
einiges habe ich jetzt tatsächlich verstanden. Nur habe ich zu der einen Summe noch eine Frage:
[mm] \summe_{i=0}^{m+n} (\summe_{l=0}^{i} a_l b_{i-l})*x^i
[/mm]
Ich habe noch nicht ganz verstanden, wie man [mm] \summe_{i=0}^{m+n} (...)*x^i [/mm] aufsummiert...
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> Hallo,
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> einiges habe ich jetzt tatsächlich verstanden. Nur habe
> ich zu der einen Summe noch eine Frage:
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> [mm]\summe_{i=0}^{m+n} (\summe_{l=0}^{i} a_l b_{i-l})*x^i[/mm]
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> Ich habe noch nicht ganz verstanden, wie man
> [mm]\summe_{i=0}^{m+n} (...)*x^i[/mm] aufsummiert...
>
>
Setze i=0.
Dann ist [mm] (\summe_{l=0}^{i} a_l b_{i-l})x^i =(\summe_{l=0}^{0} a_l b_{0-l}) x^0= a_0b_{0-0}x^0=a_0b_0*1=a_0b_0
[/mm]
Setze i=1.
Dann ist [mm] (\summe_{l=0}^{i} a_l b_{i-l})x^i =(\summe_{l=0}^{1} a_l b_{1-l}) x^1= a_0b_{1-0}x^1+a_1b_{1-1}x^1=a_0b_1*x+a_1*b_0*x=(a_0b_1+a_1b_0)x
[/mm]
Setze i=2.
Dann ist [mm] (\summe_{l=0}^{i} a_l b_{i-l})x^i =(\summe_{l=0}^{2} a_l b_{2-l}) x^2= a_0b_{2-0}x^2+a_1b_{2-1}x^2+a_2b_{2-2}x^2=a_0b_2*x^2+a_1*b_1*x^2+a_2*b_0*x^2=(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)x^2
[/mm]
usw.
Das erste Summenzeichen sagt dir nun, dass du das bis i=m+n durchführen sollst und dann alle Ergebnisse addieren sollst zu
[mm] a_0b_0 [/mm] + [mm] (a_0b_1+a_1b_0)x [/mm] + [mm] (a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)x^2 [/mm] + ...
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