www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Formel Herleitung
Formel Herleitung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Formel Herleitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:02 Do 15.04.2021
Autor: steve.joke

Aufgabe
[mm] (\summe_{j=0}^{m}a_j x^j) [/mm] * [mm] (\summe_{k=0}^{n}b_k x^k) [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{m+n} (\summe_{l=0}^{i} a_l b_{i-l}) [/mm] * [mm] x^i [/mm]

Hallo,

kann mir vielleicht jemand erklären, wie die Formel oben vereinfacht wurde??? Vor allem verstehe ich nicht, wo dieses [mm] b_{i-l} [/mm] herkommt.



        
Bezug
Formel Herleitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:14 Fr 16.04.2021
Autor: Al-Chwarizmi


> [mm](\summe_{j=0}^{m}a_j x^j)[/mm] * [mm](\summe_{k=0}^{n}b_k x^k)[/mm] =  [mm]\summe_{i=0}^{m+n} (\summe_{l=0}^{i} a_l b_{i-l})[/mm] * [mm]x^i[/mm]

Eigentlich wird hier nur das Distributivgesetz durchexerziert, wie etwa in

(a+b+c) * (p+q) = ap + aq + bp + bq + cp + cq

Der Summationsindex i auf der rechten Seite entspricht der Summe j+k der Indices der linken Seite.


Bezug
                
Bezug
Formel Herleitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:50 Fr 16.04.2021
Autor: steve.joke

Hallo,

danke erstmal.

Ganz verstanden habe ich es leider immer noch nicht.

Wie kommt denn [mm] b_{i-l} [/mm]  zustande?

Wie kann ich mir das   [mm] \summe_{i=0}^{m+n} (\summe_{l=0}^{i} a_l b_{i-l}) [/mm]  überhaupt vorstellen. Irgendwie verstehe ich die Formel nicht.

Wenn ich jetzt nur 2 Schritte gehen will, quasi von i=0 und l=0  bis  i=2 und l=2. Wie würde das Ganze aussehen?

Bezug
                        
Bezug
Formel Herleitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:35 Fr 16.04.2021
Autor: statler

Dann schreib dir doch mal 2 konkrete Polynome hin, vielleicht 3. und 4. Grades, und multiplizier sie. Wie kommt dann der Koeffizient von [mm] x^{5} [/mm] in die Welt?

Bezug
                        
Bezug
Formel Herleitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:22 Fr 16.04.2021
Autor: HJKweseleit


> Hallo,
>  
> danke erstmal.
>  
> Ganz verstanden habe ich es leider immer noch nicht.
>  
> Wie kommt denn [mm]b_{i-l}[/mm]  zustande?
>  
> Wie kann ich mir das   [mm]\summe_{i=0}^{m+n} (\summe_{l=0}^{i} a_l b_{i-l})[/mm]
>  überhaupt vorstellen. Irgendwie verstehe ich die Formel
> nicht.
>  
> Wenn ich jetzt nur 2 Schritte gehen will, quasi von i=0 und
> l=0  bis  i=2 und l=2. Wie würde das Ganze aussehen?




Es werden ja zwei Polynome miteinander multipliziert, und das Ergebnis ist wieder ein Polynom. Nehmen wir als Beispiel

[mm] (1+2x+3x^2+4x^3)*(a+bx+cx^2) [/mm]

und schauen wir uns den Koeffizienten von [mm] x^3 [/mm] des Ergebnisses an. Er entsteht aus allen Summanden, die ein [mm] x^3 [/mm] enthalten.

Mit der 1 bekommen wir nichts mit [mm] x^3. [/mm]
Mit 2x bekommen wir [mm] 2x*cx^2=2cx^3. [/mm]
Mit [mm] 3x^2 [/mm] bekommen wir [mm] 3x^2*bx=3bx^3. [/mm]
Mit [mm] 4x^3 [/mm] bekommen wir [mm] 4x^3*a=4ax^3. [/mm]

Der Koeffizient zu [mm] x^3 [/mm] des Ergebnisses ist also die Summe
2*c+3*b+4*a, eine Summe aus Produkten, bei denen der erste Faktor vorwärts läuft (2, 3, 4) und der zweite rückläufig ist (c, b, a).

Setzt man also [mm] a_0=1, a_1=2, a_2=3, a_3=4 [/mm] und [mm] b_0=a, b_1=b, b_2=c, [/mm]

so ist der Koeffizient von [mm] x^3 [/mm] die Summe [mm] a_1b_2 [/mm] + [mm] a_2b_1 [/mm] + [mm] a_3b_0. [/mm]

Wie du siehst, ist die Summe der beiden Indices von den a-s und den b-s immer 3 (1+2=2+1=3+0=3). Wenn man noch [mm] b_3=0 [/mm] hinzufügt, kann man noch [mm] a_0b_3=0 [/mm] hinzufügen.

Damit wird nun das zweite Summenzeichen in

[mm]\summe_{i=0}^{m+n} (\summe_{l=0}^{i} a_l b_{i-l})[/mm]

erklärt. Wenn bei [mm] \summe_{l=0}^{i} a_l b_{i-l} [/mm]  i=3 ist, bekommst du genau [mm] a_0b_{3-0}+a_1b_{3-1}+a_2b_{3-2}+a_3b_{3-0}=a_0b_3+a_1b_2+a_2b_1+a_3b_0 [/mm] als Koeffizient zu [mm] x^3. [/mm]

Die Koeffizienten zu [mm] x^0, x^1, x^2... [/mm] bekommst du, indem du entsprechend i der Reihe nach auf 0, 1, ... setzt. Die höchste vorkommende x-Potenz ergibt sich als Produkt aus den beiden Gliedern mit den höchsten Potenzen in den beiden Summen, also als [mm] x^n*x^m=x^{n+m}, [/mm] und daher läuft i von 0 bis n+m.

[mm]\summe_{i=0}^{m+n} (\summe_{l=0}^{i} a_l b_{i-l})[/mm] gibt so aber keinen Sinn, es wäre nur eine Zahl, nämlich die Summe aller Koeffizienten, die im Ergebnis vorkommen. Da fehlt jeweils noch das [mm] x^i, [/mm] damit ein Polynom entsteht. Es muss also heißen:

[mm]\summe_{i=0}^{m+n} (\summe_{l=0}^{i} a_l b_{i-l})*x^i[/mm].


Bezug
        
Bezug
Formel Herleitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:52 Fr 16.04.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

ich schreibe die Formel mal ein bisschen anders hin, nämlich als:

$ [mm] \left(\summe_{j=0}^{m}a_j x^j\right) [/mm] * [mm] \left(\summe_{k=0}^{n}b_k x^k\right) [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{m+n} \left(\summe_{l+p=i} a_l b_p\right) [/mm] * [mm] x^i [/mm] $

Das ist letztendlich dieselbe Formel, aber nun wird es hoffentlich ein bisschen klarer, was passiert.

Stell dir vor du hast zwei Polynome
[mm] $\summe_{j=0}^{m}a_j x^j [/mm] = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1x^1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_mx^m$ [/mm]
[mm] $\summe_{k=0}^{n}b_k x^k [/mm] = [mm] b_0 [/mm] + [mm] b_1x^1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] b_nx^n$ [/mm]

Nun willst du beide miteinander multiplizieren und erhältst ein neues Polynom.

[mm] $(a_0 [/mm] + [mm] a_1x^1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_mx^m)(b_0 [/mm] + [mm] b_1x^1 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] b_nx^n) [/mm] =$?

Das willst du aber "hübsch" aufschreiben in der Form
[mm] $c_0 [/mm] + [mm] c_1x^1 [/mm] + [mm] \ldots c_{n+m}x^{n+m}$ [/mm]

Wie kommt man nun auf jedes [mm] $c_i$? [/mm]

Man sucht sich die Kombinationen heraus, die zusammen [mm] $x^i$ [/mm] ergeben und addiert die zusammen.
Mal am Beispiel: Wir wollen [mm] $c_2$ [/mm] bestimmen. Also suchen wir alle Kombinationen von Multiplikationen heraus, die zusammen [mm] x^2 [/mm] ergeben.

In unserem Fall wären das:
[mm] $a_0 \cdot b_2x^2 [/mm] = [mm] a_0b_2x^2$ [/mm]
[mm] $a_1x^1 \cdot b_1x^1 [/mm] = [mm] a_1b_1x^2$ [/mm]
[mm] $a_2x^2 \cdot b_0 [/mm] = [mm] a_2b_0x^2$ [/mm]

Dir wird nun auffallen, dass die Indizes von der a's und b's immer zusammen 2 ergeben.
Um [mm] c_2 [/mm] zu erhalten, müssen wir die Koeffizienten vor [mm] x^2 [/mm] noch addieren, weil ja alle davon zu [mm] x^2 [/mm] beitragen, also erhalten wir:

[mm] $c_2 [/mm] = [mm] a_0b_2 [/mm] + [mm] a_1b_1 [/mm] + [mm] a_2b_0 [/mm] = [mm] \sum_{l+p=2} a_l b_p$ [/mm]

Oder für den allgemeinen Fall eben:

[mm] $c_i [/mm] = [mm] a_0b_i [/mm] + [mm] a_1b_{i-1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm]  = [mm] \sum_{l+p=i} a_l b_p$ [/mm]

Gruß,
Gono



Bezug
                
Bezug
Formel Herleitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:25 Mo 19.04.2021
Autor: steve.joke

Hallo,

einiges habe ich jetzt tatsächlich verstanden. Nur habe ich zu der einen Summe noch eine Frage:

[mm] \summe_{i=0}^{m+n} (\summe_{l=0}^{i} a_l b_{i-l})*x^i [/mm]

Ich habe noch nicht ganz verstanden, wie man [mm] \summe_{i=0}^{m+n} (...)*x^i [/mm]  aufsummiert...



Bezug
                        
Bezug
Formel Herleitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:38 Mo 19.04.2021
Autor: HJKweseleit


> Hallo,
>  
> einiges habe ich jetzt tatsächlich verstanden. Nur habe
> ich zu der einen Summe noch eine Frage:
>  
> [mm]\summe_{i=0}^{m+n} (\summe_{l=0}^{i} a_l b_{i-l})*x^i[/mm]
>  
> Ich habe noch nicht ganz verstanden, wie man
> [mm]\summe_{i=0}^{m+n} (...)*x^i[/mm]  aufsummiert...
>  
>  




Setze i=0.
Dann ist  [mm] (\summe_{l=0}^{i} a_l b_{i-l})x^i =(\summe_{l=0}^{0} a_l b_{0-l}) x^0= a_0b_{0-0}x^0=a_0b_0*1=a_0b_0 [/mm]

Setze i=1.
Dann ist  [mm] (\summe_{l=0}^{i} a_l b_{i-l})x^i =(\summe_{l=0}^{1} a_l b_{1-l}) x^1= a_0b_{1-0}x^1+a_1b_{1-1}x^1=a_0b_1*x+a_1*b_0*x=(a_0b_1+a_1b_0)x [/mm]

Setze i=2.
Dann ist  [mm] (\summe_{l=0}^{i} a_l b_{i-l})x^i =(\summe_{l=0}^{2} a_l b_{2-l}) x^2= a_0b_{2-0}x^2+a_1b_{2-1}x^2+a_2b_{2-2}x^2=a_0b_2*x^2+a_1*b_1*x^2+a_2*b_0*x^2=(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)x^2 [/mm]

usw.

Das erste Summenzeichen sagt dir nun, dass du das bis i=m+n durchführen sollst und dann alle Ergebnisse addieren sollst zu


[mm] a_0b_0 [/mm] + [mm] (a_0b_1+a_1b_0)x [/mm] + [mm] (a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)x^2 [/mm] + ...

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]