Formel finden < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Do 22.06.2006 | | Autor: | moorhuhn |
| Aufgabe | Es sind einige Glieder einer Folge [mm] $$ [/mm] gegeben. Versuche eine einfache Formel für [mm] b_{n} [/mm] zu finden
a.) [mm] b_{1}=-1, b_{2}=-4, b_{3}=-9, b_{4}=-16,...
[/mm]
b.) [mm] b_{1}=-7, b_{2}=-2, b_{3}=3, b_{4}=8
[/mm]
kann mir jemand erklären wie man das macht? ich weiß zwar wie man mit Formeln ein bestimmtes Glied ausrechnet (jaja, sehr leicht) doch aus Gliedern eine Formel zu berechnen verstehe ich nicht. Danke
mfg moorhuhn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Do 22.06.2006 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Bei b) springt in's Auge, dass immer +5 (=d) gerechnet wird (von [mm] a_{1} [/mm] zu [mm] a_{2} [/mm] u.s.w.). Es handelt sich also um eine arithmetische Folge, die durch
[mm] a_{n}=a_{1}+(n-1)d [/mm] beschrieben wird. [mm] a_{1} [/mm] und d hast du ja! Einfach einsetzen und umstellen.
Bei a) ist das schwieriger:
Hab gerade keine Zeit mehr nachzurechnen, aber du musst dort mit einer rekursiven Formel rangehen, also [mm] a_{n}=a_{n-1}-irgenwas, a_{1}=-1.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Do 22.06.2006 | | Autor: | moorhuhn |
hm in meinem lösungsbuch steht, dass die formel $5*n-12$ ist. wie kommen die zu diesem ergebnis? es werden ja immer +5 addiert und nicht multipliziert
mfg moorhuhn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Do 22.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Moorhuhn!
Setze doch mal in die allgemeine Formel für arithmetische Folgen ein und fasse zusammen:
[mm] $b_n [/mm] \ = \ [mm] b_1+(n-1)*d [/mm] \ = \ -7+(n-1)*(+5) \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 Do 22.06.2006 | | Autor: | moorhuhn |
-7+5n-5 = 5n-12
danke, danke (auch an alle anderen)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Do 22.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Moorhuhn!
Betrachte mal die Differenzen [mm] $\Delta b_n [/mm] \ = \ [mm] b_{n}-b_{n-1}$ [/mm] zwischen den einzelnen Folgengliedern. Und dann auch die Differenzen der Differenzen:
[mm] $b_n [/mm] \ \ \ \ \ \ \ \ \ : \ \ -1; \ \ -4; \ \ -9; \ \ -16; \ \ ...$
[mm] $\Delta b_n [/mm] \ \ \ \ \ \ \ : \ \ -3; \ \ -5; \ \ -7; \ \ ...$
[mm] $\Delta\left(\Delta b_n\right) [/mm] \ : \ \ \ -2; \ \ -2; \ \ ...$
Da diese Differenzenkonstanz nun im zweiten Schritt auftgetreten ist, handelt es sich bei der expliziten Darstellung der Folgenvorschrift auch um ein Polynom zweiten Grades:
[mm] $b_n [/mm] \ = \ [mm] a*n^2+b*n+c$
[/mm]
Durch Einsetzen der ersten 3 Folgenglieder erhält man ein Gleichungssystem, um die drei Koeffizienten $a_$ , $b_$ und $c_$ zu berechnen:
[mm] $b_{\red{1}} [/mm] \ = \ [mm] a*\red{1}^2+b*\red{1}+c [/mm] \ = \ a+b+c \ = \ [mm] \blue{-1}$
[/mm]
[mm] $b_{\red{2}} [/mm] \ = \ [mm] a*\red{2}^2+b*\red{2}+c [/mm] \ = \ 4a+2b+c \ = \ [mm] \blue{-4}$
[/mm]
usw.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Do 22.06.2006 | | Autor: | moorhuhn |
ich verstehe das mit dem polynom zweiten grades nicht ganz...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:31 Fr 23.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo moorhuhn!
Holli hat Dir ja bereits die Lösung "verraten". Und man kann es ja auch "sehen", dass es sich hier um die Quadratzahlen handelt mit [mm] $b_n [/mm] \ = \ [mm] -n^2$ [/mm] .
Mein Ansatz ist allgemeiner: ich untersuche die Differenzen zwischen den einzelnen Folgengliedern. Und dann auch noch die Differenzen der Differenzen. Das mache ich solange, bis ich stets einen konstanten Wert erhalte.
Da ich hier zwei Schritte bis zur Differenzkonstanz benötige, handelt es sich um ein Polynom zweiten Grades; sprich: es handelt sich um eine ganzrationale Vorschrift mit Zwei (also: [mm] $n^{\red{2}}$ [/mm] ) als höchste Potenz.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Do 22.06.2006 | | Autor: | holli |
> Es sind einige Glieder einer Folge [mm][/mm]
> gegeben. Versuche eine einfache Formel für [mm]b_{n}[/mm] zu finden
> a.) [mm]b_{1}=-1, b_{2}=-4, b_{3}=-9, b_{4}=-16,...[/mm]
> b.)
> [mm]b_{1}=-7, b_{2}=-2, b_{3}=3, b_{4}=8[/mm]
> kann mir jemand
> erklären wie man das macht? ich weiß zwar wie man mit
> Formeln ein bestimmtes Glied ausrechnet (jaja, sehr leicht)
> doch aus Gliedern eine Formel zu berechnen verstehe ich
> nicht. Danke
> mfg moorhuhn
a) ==> [mm]b_{n} = -(n^2)[/mm]
b) ==> [mm]b_{n} = 5n - 12[/mm]
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