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Hallo, ich beschäftige mich gerade mit der Herleitung der Formel für beschränktes Wachstum mit Hilfe von Rekursion, sowie mittels einer Wachstumsfunktion (aus der Rekursion und einer DGL).
Zu den verwendeten Größen:
[mm] S\hat [/mm] = obere Schranke
[mm] B(t)\hat [/mm] = Bestand zum Zeitpunkt t
B(t+1)-B(t) [mm] \hat= [/mm] Änderungsrate [mm] \hat= [/mm] B'(t)
S-B(t) [mm] \hat= [/mm] Restbestand
k [mm] \hat= [/mm] Proportionalitätsfaktor
Zur rekursiven Darstellung:
B(t+1)=B(t)+k*(S-B(t))
Zur expliziten Darstellung:
Wenn ich mir jetzt die Differenzen S-B(t) anschaue, dann kann ich ja folgendes daraus herleiten:
[mm] B(t)=S-(S-B(0))*(1-k)^t [/mm] mit Hilfe der e-Funktion sieht das ganze dann so aus:
[mm] B(t)=S-(S-B(0))*e^{ln((1-k)^t)}=S-(S-B(0))*e^{t*k_1)} [/mm] mit [mm] k_1=ln(1-k)
[/mm]
Verwende ich nun aber DGL, dann ergibt sich:
B'(t)=k*(S-B(t))
[mm] \gdw \frac{-B'(t)}{(S-B(t))}=-k
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] ln(|S-B(t)|)=-k*t+c
[mm] \gdw S-B(t)=e^{-k*t}*e^c
[/mm]
[mm] \gdw B(t)=S-a*e^{-k*t}
[/mm]
Meine Frage ist nun: Warum bekomme ich einmal ein negatives k (bei der DGL) und einmal ein positives???
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Hallo,
> Hallo, ich beschäftige mich gerade mit der Herleitung der
> Formel für beschränktes Wachstum mit Hilfe von Rekursion,
> sowie mittels einer Wachstumsfunktion (aus der Rekursion
> und einer DGL).
>
> Zu den verwendeten Größen:
> [mm]S\hat[/mm] = obere Schranke
> [mm]B(t)\hat[/mm] = Bestand zum Zeitpunkt t
> B(t+1)-B(t) [mm]\hat=[/mm] Änderungsrate [mm]\hat=[/mm] B'(t)
> S-B(t) [mm]\hat=[/mm] Restbestand
> k [mm]\hat=[/mm] Proportionalitätsfaktor
>
> Zur rekursiven Darstellung:
> B(t+1)=B(t)+k*(S-B(t))
>
> Zur expliziten Darstellung:
> Wenn ich mir jetzt die Differenzen S-B(t) anschaue, dann
> kann ich ja folgendes daraus herleiten:
> [mm]B(t)=S-(S-B(0))*(1-k)^t[/mm] mit Hilfe der e-Funktion sieht das
> ganze dann so aus:
> [mm]B(t)=S-(S-B(0))*e^{ln((1-k)^t)}=S-(S-B(0))*e^{t*k_1)}[/mm] mit
> [mm]k_1=ln(1-k)[/mm]
>
> Verwende ich nun aber DGL, dann ergibt sich:
> B'(t)=k*(S-B(t))
> [mm]\gdw \frac{-B'(t)}{(S-B(t))}=-k[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] ln(|S-B(t)|)=-k*t+c
> [mm]\gdw S-B(t)=e^{-k*t}*e^c[/mm]
> [mm]\gdw B(t)=S-a*e^{-k*t}[/mm]
>
>
> Meine Frage ist nun: Warum bekomme ich einmal ein negatives
> k (bei der DGL) und einmal ein positives???
Deine beiden k's sind ab dem Moment unterschiedlich, wo du
[mm] k_1=ln(1-k)
[/mm]
setzt. In obigem Ausdruck muss k<1 sein, aus der Problemstellung heraus kann man sogar 0<k<1 fordern. Damit wird das Argument im Logarithmus auch aus (0;1) sein, dieser somit negativ und daher das positive Vorzeichen im ersten Fall.
Hilft dir das schon weiter?
Gruß, Diophant
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Mh, kann ich dann aber trotzdem sagen, dass beide Varianten (über DGL und über die rekursive Herleitung) dasselbe Ergbnis liefern?
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Hallo Madde-Freund,
> Mh, kann ich dann aber trotzdem sagen, dass beide Varianten
> (über DGL und über die rekursive Herleitung) dasselbe
> Ergbnis liefern?
Das kannst Du doch leicht selbst überprüfen. Kann man durch eine passende Substitution von Parametern die eine Variante in die andere überführen?
Beachte dazu den Tipp von Diophant.
Grüße
reverend
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Ja, wenn ich a=S-B(0) setze, dann ist es ja eigtl. gleich, allerdings funktioniert das bei meinem Beispiel irgendwie nicht.
Beispiel:
S=24
B(0)=6,5
k=0,18
Jetzt bekomme ich fürs rekursive Vorgehen: B(1)=0,18*(24-6,5)+6,5 = 9,65
Bei der expliziten Darstellung (ohne e-Fkt.): [mm] B(1)=24-(24-6,5)*(1-0,18)^1=9,65
[/mm]
Bei der expliziten Darstellung (mit e-Fkt.): [mm] B(1)=24-(24-6,5)*e^{ln(0,82)*1}=9,65
[/mm]
Mit der DGL-Formel: [mm] B(1)=24-(24-6,5)*e^{-0,18*1}=9,38277
[/mm]
Mir ist klar, dass er von der Formel her natürlich am k hapert, allerdings habe ich es beim DGL-Ansatz doch "unverändert" gelassen, warum klappt das einfache einsetzen von 0,18 in die Formel hier also nicht?
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Hallo,
> Ja, wenn ich a=S-B(0) setze, dann ist es ja eigtl. gleich,
> allerdings funktioniert das bei meinem Beispiel irgendwie
> nicht.
>
> Beispiel:
> S=24
> B(0)=6,5
> k=0,18
>
> Jetzt bekomme ich fürs rekursive Vorgehen:
> B(1)=0,18*(24-6,5)+6,5 = 9,65
>
> Bei der expliziten Darstellung (ohne e-Fkt.):
> [mm]B(1)=24-(24-6,5)*(1-0,18)^1=9,65[/mm]
>
> Bei der expliziten Darstellung (mit e-Fkt.):
> [mm]B(1)=24-(24-6,5)*e^{ln(0,82)*1}=9,65[/mm]
>
> Mit der DGL-Formel: [mm]B(1)=24-(24-6,5)*e^{-0,18*1}=9,38277[/mm]
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> Mir ist klar, dass er von der Formel her natürlich am k
> hapert, allerdings habe ich es beim DGL-Ansatz doch
> "unverändert" gelassen, warum klappt das einfache
> einsetzen von 0,18 in die Formel hier also nicht?
Das k aus dem DGL-Ansatz drafst du nicht mit dem k aus dem rekursiven Ansatz gleichsetzen. Die haben eine völlig unterschiedliche Qualität. Während letzteres k eine prozentuale Zunahme während eines diskreten Zeitschritts ist, steht ersteres für eine momentane Änderungsrate (die des beteiligten Abbauprozesses). Wenn man sich zwischen beiden Faktoren aber mal den mathematischen Zusammenhang anschaut:
[mm] k_m=ln(1\pm{k_d})
[/mm]
und mal rechts für [mm] k_d [/mm] kleine Werte einsetzt, dann sieht man vielleicht, weshalb dieser Unterschied so oft vernachlässigt wird: für kleine k liegen beide Werte sehr nah beieiander, weil die ln-Funktion an der Stelle x=1 die x-Achse mit dr Steigung m=1 schneidet. Das Gleichsetzen beider k ist also so eine Art von Linearisierung, der eben in einer kleinen Umgebung um [mm] k_d=0 funktioniert.
[/mm]
Wenn du jedoch mit den für den rekursiven Ansatz gegeben k exakt per e-Funktion rechnen möchtest, dann musst du zwangsläufig
[mm] k_1=ln(1-k_0)
[/mm]
setzen.
Gruß, Diophant
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