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Forum "Topologie und Geometrie" - Formel für ein n-Eck
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Formel für ein n-Eck: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:48 Mi 15.07.2009
Autor: durden88

Hallo, also die Formel für die Kantenanzahl eines regelmäßigen n-Ecks ist ja:

[mm] k=\bruch{n(n-1)}{2} [/mm]

Wie Leite ich diese Formel her?

Dankesehr!

        
Bezug
Formel für ein n-Eck: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:00 Mi 15.07.2009
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo, also die Formel für die Kantenanzahl eines
> regelmäßigen n-Ecks ist ja:
>  
> [mm]k=\bruch{n(n-1)}{2}[/mm]
>  
> Wie Leite ich diese Formel her?

wähle eine erste Ecke aus. Diese Ecke kann man mit jeder der $(n-1)$ anderen Ecken verbinden. Wählt man aus denen eine weitere aus, so verbleiben für diese noch $(n-2)$ weitere (neue) Verbindungsmöglichkeiten (denn die erste wurde ja schonmal benutzt).
Wählst Du aus diesen wieder eine Ecke aus, so kannst Du mit dieser $(n-3)$ neue Kanten erzeugen etc.
Daraus folgt dann, dass ein regelmäßiges [mm] $n\,$-Eck [/mm] genau
[mm] $$(n-1)+(n-2)+...+1=\sum_{k=0}^{n-1}k=\frac{(n-1)*\big((n-1)+1\big)}{2}=\frac{(n-1)*n}{2}$$ [/mm]
Kanten hat.

Vielleicht mal ein Beispiel:
Wir betrachten ein regelmäßiges [mm] $4\,$-Eck, [/mm] die Ecken heißen [mm] $1,\,2,\,3,\,4\,.$ [/mm] Für eine Kante zwischen den Ecken [mm] $i\,$ [/mm] und [mm] $j\,$ [/mm] schreiben wir [mm] $\{i,\,j\}$ [/mm] (die Kanten sind ja hier ungerichtet).
Wenn wir alle Kanten dieses Graphen aufzählen wollen:

[mm] $\bullet$ [/mm] Wählen wir [mm] $3\,$ [/mm] als erste Ecke, dann gibt es folgende Kanten:
[mm] $$\{3,1\},\,\{3,2\},\,\{3,4\}$$ [/mm]

[mm] $\bullet$ [/mm] Wählen wir nun [mm] $2\,$ [/mm] als zweite Ecke, dann gibt es nun noch folgende Kanten:
[mm] $$\{2,1\},\,\{2,4\}\;\;\;\text{ (beachte:} \{2,3\}=\{3,2\}\text{ und }\{3,2\} \text{ wurde oben schon aufgezählt)}$$ [/mm]

[mm] $\bullet$ [/mm] Wählen wir nun [mm] $1\,$ [/mm] als dritte Ecke, dann gibt es nun noch folgende Kanten:
[mm] $$\{1,4\}\;\;\;\text{ (beachte:} \{1,3\}=\{3,1\},\,\{1,2\}=\{2,1\}\;\text{ und diese beiden wurden oben schon aufgezählt)}$$ [/mm]

Insgesamt:
[mm] $$\{\{i,j\}: i,j \in \{1,2,3,4\}\text{ und }i \not=j\}=\{\underbrace{\{3,1\},\,\{3,2\},\,\{3,4\}}_{3 \text{ Stück}}+\underbrace{\{2,1\},\,\{2,4\}}_{2\text{ Stück}}+\underbrace{\{1,4\}}_{1 \text{ Kante}}\}\,,$$ [/mm]
also [mm] $3+2+1=6=4*3/2\,$ [/mm] Kanten.

Gruß,
Marcel

Bezug
                
Bezug
Formel für ein n-Eck: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:13 Mi 15.07.2009
Autor: durden88

super, danke dir :)

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