Formel umstellen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Sa 11.06.2005 | | Autor: | Atlan |
Im Thread https://matheraum.de/read?i=70890 bekam ich von Leduart zur Lösung meines Problems nachfolgende Formel genannt:
Woche =W , E= Zahl der Einwohner v=Nahrungsverbrauch / Einwohner
z=zuwachs/W
Gesamtverbrauch Vges= v*(n*E0+z*n*(n+1)/2)
Mit obiger Formel kann ich mir den Nahrungsverbrauch fuer die verstrichene Zeit n berechnen lassen.
Nun mein aktuelles Problem, welches an obigem angelehnt ist:
Es ist möglich, das mehr Nahrung verbraucht, als produziert wird (Das Ergebnis Nahrungsproduktion - Nahrungsverbrauch pro Stunde ist negativ). In dem Fall benötige ich den Zeitpunkt, in dem die eingelagerten Nahrungsvorräte aufgebraucht sind.
Wenn ich das richtig sehe, so muesste die Lösung meines Problems eine Umstellung von Leduarts obiger Formel nach n sein. Und genau das bekomme ich nicht hin, da ich nicht weiss, wie ich z*n*(n+1)/2) aufzulösen habe.
Ebenso freute ich mich ueber Links zu ähnlichen Aufgaben / Lösungen, da es mich irgendwie doch nervt, was ich alles vergessen habe.....
Ich habe diese Frage(n) in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Gruss Atlan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Sa 11.06.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Atlan
> Woche =W , E= Zahl der Einwohner v=Nahrungsverbrauch /
> Einwohner
> z=zuwachs/W
>
> Gesamtverbrauch Vges= v*(n*E0+z*n*(n+1)/2)
>
> Mit obiger Formel kann ich mir den Nahrungsverbrauch fuer
> die verstrichene Zeit n berechnen lassen.
>
> Nun mein aktuelles Problem, welches an obigem angelehnt
> ist:
>
> Es ist möglich, das mehr Nahrung verbraucht, als produziert
> wird (Das Ergebnis Nahrungsproduktion - Nahrungsverbrauch
> pro Stunde ist negativ). In dem Fall benötige ich den
> Zeitpunkt, in dem die eingelagerten Nahrungsvorräte
> aufgebraucht sind.
>
> Wenn ich das richtig sehe, so muesste die Lösung meines
> Problems eine Umstellung von Leduarts obiger Formel nach n
> sein. Und genau das bekomme ich nicht hin, da ich nicht
> weiss, wie ich z*n*(n+1)/2) aufzulösen habe.
Wir brauchen 2 neue Größen: 1. N0=Nahrungsmittelvorrat zur Zeit Null, 2. k Nahrungsmittelproduktion pro Zeiteinhet n. Dann sind ohne Verbrauch die Vorräte N0+k*n
N0 sollte größer sein als v*E0 sonst verhungern die gleich am Anfang!
Die Wahl von k bestimmt, wenn die anderen Größen festliegen, wie lange sie ohne Hunger leben!
und zwar muss in jedem Zeitpunkt gelten Der kritische Punkt wird erreicht bei :
N0+k*n0=Vges. also N0+k*n = v*(n*E0+z*n*(n+1)/2)
So, jetzt alle Klammern ausmultiplizieren: N0+k*n = v*n*E0 [mm] +v*z*(n^{2}+n)/2
[/mm]
alles mit dem Faktor n sammeln: N0= [mm] v*z/2*n^{2} [/mm] + (v*E0+v*z/2-k)*n
Das ist eine quadratische Gleichung der Form : [mm] c=a*x^{2}+b*x
[/mm]
Wahrscheinlich hast du mal gelernt, wie man die löst. Meistens, indem man erstmal den Faktor bei [mm] x^{2} [/mm] beseitigt, indem man dadurch dividiert: x^(2)+b/a*x+c/a=0
für unsere Gleichung:
n^(2) + (v*E0+v*z/2-k)*2/(v*z) -2*N0/(v*z)=0
Und jetzt erinnerst du dich vielleicht an die "pq Formel" ? Oder an die "quadratische Ergänzung" ?
Eine quadratisch Gleichung hat immer 2 Lösungen. Eine davon ist uninteressant für dich, sie gibt negative Ergebnisse für n, aber unser n ist ja immer größer 0.
Die allgemeine Lösung der Gl. x^(2)+b/a*x+c/a=0 ist x=-b/2a [mm] \pm \wurzel{(b/2a)^{2}-c/a}
[/mm]
Für unsere Gleichung also:
n= -(v*E0+v*z/2-k)*2/(2*v*z) + [mm] \wurzel{((v*E0+v*z/2-k)*2/(2*v*z))^{2}+2N0/v*z}
[/mm]
etwas vereinfacht : n= -(v*E0+v*z/2-k)/(v*z) + [mm] \wurzel{((v*E0+v*z/2-k)/(v*z))^{2}+2N0/v*z}
[/mm]
damit das nicht so negativ aussieht :
n= [mm] 1/vz*[(k-v*E0-v*z/2)+\wurzel{(v*E0+v*z/2-k)^{2}+2N0*v*z}]
[/mm]
kontrolliert, ist richtig!
So lange Ausdrücke irritieren, wenn man lange nicht viel gerechnet hat. Setz einfach gleich zu Anfang Zahlen ein, dann sieht alles viel einfacher aus.!! Und später muss ja nur der Computer rechnen, mit den Zahlen, die du ihm gibst!
Wenn du wirklich daran interessiert bist, wie man Gleichungen löst, schreib noch mal, dann such ich oder ein anderer ein geeignetes link. oder du siehst dir einfach mal probleme im Forum 9.10 Klasse an!
Gruss leduart
PS hast du das mit der Summe verstanden?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Sa 11.06.2005 | | Autor: | Atlan |
Hallo Leduart,
ich habe es einmal mit der von dir umgestellten Formel versucht, komme dabei jedoch nicht auf das von mir haendisch ausgerechnete Ergebnis.
Hier einmal die von mir verwendeten Beispieldaten:
Nahrungsvorrat: 1000
Einwohner: 500
Nahrungsprod / Std: 10
Einwohnerzuwachs / Std: 20
Nahrungsverbrauch / Einwohner und Stunde: 1
-----------|Einwohner neu | Nahrung + Produktion | neuer Nahrungsvorrat
1. Std----|520---------------| 1010-------------- | 490
2. Std----|540---------------| --500------------- | -40
Macht eine Zeit von 1,925925926 Stunden, bis das die Nahrung vollstaendig verbraucht ist.
Wenn ich deine Formel verwende, so gibt diese eine deutlich laengere Zeitspanne zurueck.
Gruss Atlan
PS: Ja, aehnliche Aufgaben und Loesungen interessieren mich wirklich, da mir das damals nun doch Spass gemacht hatte und es irgendwie unbefriedigend ist, das man seine Loesungen nicht mehr selbst findet und man feststellen muss, das nach den Jahren von dem Wissen nicht wirklich mehr etwas vorhanden ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Sa 11.06.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Atlan ich habe deine Zahlen in meine Formel gesteckt und auch 1,9 rausgekriegt!
v=1, z=20, E0=500 N0=1000 k=10.
[mm] n=\bruch{-(1*500+20-20)+\wurzel{500^{2}+2*1000*20}}{20}=1,9..
[/mm]
Was hast du gerechnet?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 So 12.06.2005 | | Autor: | Atlan |
Hallo Leduart,
Du hattest recht, die Formel ist richtig, ich habe beim uebertragen der Formel ein Vorzeichen vergessen gehabt. ;/
Vielen Dank noch einmal fuer Deine Muehe, die Du Dir gemacht hast.
Gruss Atlan
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