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Hallo,
ichhabe die Lösung einer Aufgabe und verstehe etwas nicht.
Gegeben sind die Vektoren:
[mm] b_{1}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, b_{2}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -1}, b_{3}=\vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Die Matrix [mm] A_{i,j}=\vec{b_{i}}.\vec{b_{j}}, i,j\in{1,2,3}:
[/mm]
Lösung: [mm] A=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2}
[/mm]
[mm] A^{-\bruch{1}{2}}=\bruch{1}{2}\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1+\bruch{1}{\wurzel{3}} & 1-\bruch{1}{\wurzel{3}} \\ 0 & 1-\bruch{1}{\wurzel{3}} & 1+\bruch{1}{\wurzel{3}}} [/mm] (schreibe die Lösung hier nicht, weil es nicht notwendig ist)
Zeigen Sie dass die Vektoren:
[mm] \vec{b_{i}^{'}}=\summe_{j=1}^{3}(A^{-\bruch{1}{2}})_{i,j}\vec{b_{j}}, i\in{1,2,3}
[/mm]
ein Orthonormalsystem bilden.
Ich kriege nicht die Vektoren [mm] \vec{b_{i}^{'}}..
[/mm]
Dachte man muss die [mm] A^{-\bruch{1}{2}}, [/mm] sie bleibt unverändert, mit [mm] \vec{b_{1}}, \vec{b_{2}} [/mm] und [mm] \vec{b_{3}} [/mm] multiplizieren, aber wie multipliziere ich 3x3 Matrix mit 1x4 Vektor?
Die Lösung lautet:
[mm] vec{b_\{1}^{'}}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \vec{b_{2}^{'}}=\vektor{\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2\wurzel{3}} \\ -\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2\wurzel{3}} \\ 0 \\ -\bruch{1}{3}} [/mm] und [mm] \vec{b_{3}^{'}}=\vektor{\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2\wurzel{3}} \\ \bruch{1}{2}-\bruch{1}{2\wurzel{3}} \\ 0 \\ \bruch{1}{3}} [/mm]
Danke
Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Di 11.09.2012 | | Autor: | lichti |
Hallo,
ich würde mal ganz stark behaupten, dass sich da der fehlerteufel eingeschlichen hat. es ist:
Die Matrix [mm]A_{i,j}=\vec{b_{i}} . \vec{b_{j}}, i,j\in{1,2,3}:[/mm]
mit [mm]b_{1}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, b_{2}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -1}, b_{3}=\vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
entweder ist der punkt zwischen [mm] \vec{b_{i}} [/mm] und [mm] \vec{b_{j}} [/mm] ein Komma oder ein Mal.
Wenns ein Komma ist wäre A eine 2x4 Matrix, bei einem Mal wäre A eine 4x4 Matrix. So oder so kann dein [mm] A=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2} [/mm] nicht stimmen.
mfg lichti
ps.: da ich noch neu hier bin, habe ich die Antwort mal auf fehlerhaft gelassen. Ich hoffe einer der "alten Hasen" guckt nochmal drüber.
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Du irrst Dich. Ich habe hier die Lösung der Aufgabe geschrieben. Alles ist 100% richtig.
Meine Frage ist und bleibt wie bildet man die Vektoren am Ende der Aufgabe.
Probier A zu rechnen uns DU wirst sehen dass es so richtig ist: schreib skalarprodukt b1.b1 in A11 der Matrix. A12=A21=b1.b2=b2.b1 usw. Meine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:09 Do 13.09.2012 | | Autor: | chrisno |
Hallo lichti,
der Punkt soll für das Skalarprodukt stehen. Damit sind die neun Matrixelemente definiert, indem man sich jeweils die beiden Vektoren b mit dem richtigen Index schnappt und dann skalar multipliziert. So ergibt sich eine 3x3 Matrix.
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Kann mir sonst jemand auf die Frage antworten? Wäre nett. Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:52 Mi 12.09.2012 | | Autor: | hippias |
In der Formel fuer die $b'_{i}$ steht in der Summe [mm] $A^{-\frac{1}{2}}_{i,j}$, [/mm] also werden die Vektoren mit den Skalaren der Matrixeintraegen multipliziert. Ich habe aber ueberprueft, ob sich damit die richtige Loesung ergibt.
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Hallo,
Was sind "Skalare der Matrixeinträge" - Skalarprodukt der Zeilen, oder Spalten? Welche Spalte mit welcher Zeile? Kannst Du mir sagen womit genau zB der Vektor b2 multipliziert werden muss? Wäre sehr hilfreich.
Odwohl... wenn ich überlege.. das kann auch nicht sein denn zb Vektor b2 hat als zweites und drittes Element 0. Und unser Ergebnis, also das Produkt aus b2 und das was ich nicht weiß was es ist, ist auch ein Vektor und hat nur als drittes Element eine Null, das zweite Element ist keine Null... Das ist sehr seltsame Aufgabe..
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:03 Do 13.09.2012 | | Autor: | chrisno |
> Zeigen Sie dass die Vektoren:
> $ [mm] \vec{b_{i}^{'}}=\summe_{j=1}^{3}(A^{-\bruch{1}{2}})_{i,j}\vec{b_{j}}, i\in{1,2,3} [/mm] $
> ein Orthonormalsystem bilden.
Unter dem Summenzeichen steht nicht die Matrix [mm] $(A^{-\bruch{1}{2}})$, [/mm] sondern immer ein Element der Matrix. Daher wird zum Beispiel für i = 1 gerechnet:
$ [mm] \vec{b_{1}^{'}}=\summe_{j=1}^{3}(A^{-\bruch{1}{2}})_{1,j}\vec{b_{j}} [/mm] = [mm] (A^{-\bruch{1}{2}})_{1,1}\vec{b_{1}} [/mm] + [mm] (A^{-\bruch{1}{2}})_{1,2}\vec{b_{2}} [/mm] + [mm] (A^{-\bruch{1}{2}})_{1,3}\vec{b_{3}}$
[/mm]
Die [mm] $A^{-\bruch{1}{2}})_{i,j}$ [/mm] sind also schlichte Zahlen, mit denen die [mm] $\vec{b_{j}}$ [/mm] multipliziert werden.
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