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ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die "Formel von Cardano" ist eine Formel zur Exakten Nullstellen-Berechnung von kubischen Gleichungen. Leider weiss ich nicht wie man sie anwendet, wer ist so nett und kann mir helfen, bzw. mir erklären wie ich diese Formel anwende?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 So 08.05.2005 | | Autor: | Fugre |
> ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Die "Formel von Cardano" ist eine Formel zur Exakten
> Nullstellen-Berechnung von kubischen Gleichungen. Leider
> weiss ich nicht wie man sie anwendet, wer ist so nett und
> kann mir helfen, bzw. mir erklären wie ich diese Formel
> anwende?
Hallo Devilette,
zunächst einmal möchte ich dich kurz bitten zukünftige Artikel mit
einer kurzen Begrüßung zu beginnen. Optimal wäre es, wenn
du uns sagst, was du schon alles über diese Formel weißt.
Eine recht ausführliche Beschreibung findest du ![[]](/images/popup.gif) hier.
Solltest du weitere Fragen haben, so stelle sie bitte.
Liebe Grüße
Fugre
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danke für die Antwort Fugre, ich befürchte leider ich bin ein hoffnungsloser Fall.
Ich hab mir die Erklärung auf "wikipedia" angesehn, allerdings kann ich den Autor schon ab der Substitution (1. Schritt) nicht mehr nachvollziehen. Ich finde die Erklärung ziemlich kompliziert. Da ich ein GFS darüber halten muss, muss ich es leider verstehen. Gibt es auch eine weniger komplizierte Beschreibung dieser Formel?
Für alle anderern, kann mir jemand die Formel so einfach wie möglich erklären (am Besten in Worten?) ?
Vielen Dank, ich weiss das zu schätzen!
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Hallo devilette,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> danke für die Antwort Fugre, ich befürchte leider ich bin
> ein hoffnungsloser Fall.
> Ich hab mir die Erklärung auf "wikipedia" angesehn,
> allerdings kann ich den Autor schon ab der Substitution (1.
> Schritt) nicht mehr nachvollziehen. Ich finde die Erklärung
> ziemlich kompliziert. Da ich ein GFS darüber halten muss,
> muss ich es leider verstehen. Gibt es auch eine weniger
> komplizierte Beschreibung dieser Formel?
>
> Für alle anderern, kann mir jemand die Formel so einfach
> wie möglich erklären (am Besten in Worten?) ?
>
> Vielen Dank, ich weiss das zu schätzen!
>
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") ... Cardano-Formel
Allerdings muss ich dich warnen: solche Herleitungen muss man Schritt für Schritt auf dem Papier(!) nachvollziehen, vielleicht auch an einem einfachen Beispiel, um sie zu verstehen.
Um die erste Substitution bei Wikipedia zu verstehen, musst du die Formel als eine Tex-Formel (ähnlich wie unser Formeleditor) lesen:
[mm] $p=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2} ;\qquad q=\frac{d}{a}+\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}$
[/mm]
setze mal dies in die erste Formel ein, es passt zum weiteren Verlauf der Herleitung.
Wenn's wieder klemmt, einfach hier nachfragen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:46 Mo 09.05.2005 | | Autor: | devilette |
nochmals danke informix!
ich kam darauf weil ich für mathe eine gfs zu diesem thema machen muss, mein lehrer hat mir das thema gestellt. ich finde es auch eine unnötig komplizierte version zur NS-berechnung!
leider muss ich für mein gfs die formel erklären können und sie auch anwenden!
gruss
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hallo ihr lieben mathe-genies und nicht-genies (so wie ich ;o))
also mit einem weg komme ich jetzt ganz gut klar, habe aber noch eine frage zum 1.schritt!
und zwar hat mein Lehrer mir ein Hilfsblatt gegeben auf dem steht:
1. Schritt: Division
aus der allg. Form Ax³+Bx²+Cx+D=0 folgt durch Division die Normalform der kubischen Gleichung: x³+rx²+sx+t=0
Diesen Schritt verstehe ich ganz und gar nicht, habe keine Ahnung was da dividiert wird und wie man auf das r das s und das t kommt!
als nächster Schritt wird die Substitution x=y-r/3 genannt, dazu hab ich allerdings schon was in einem link von einer vergangenen diskussion gefunden und denke ich komme damit klar.
über Hilfe würde ich mich ganz arg freuen, Danke!
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Di 10.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Devilette,
[mm] $Ax^3+Bx^2+Cx+D=0 \gdw x^3+\frac{B}{A}x^2+\frac{C}{A}x+\frac{D}{A}=0 \gdw x^3+rx^2+sx+t=0$ [/mm] mit [mm] $r=\frac{B}{A}$, $s=\frac{C}{A}$ [/mm] und [mm] $t=\frac{D}{A}$.
[/mm]
Gruß Max
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halli hallo,
in meiner vorigen Frage sagte ich, ich habe schon einen link zu Schritt 2, der Substitution. dass stimmt auch aber leider ist es mir immer noch nicht klar!
und zwar habe ich im 1. Schritt die allg. Form durch Division auf die Normalform x³+rx²+sx+t=0 gebracht.
im 2. Schritt soll man die Normalform mit der substitution x=y-r/3 auf eine reduzierte Form bringen: y³+py+q=0
ich verstehe irgendwie nicht wo das quadrat hinverschwindet (rx²). wenn ich die substitution an einem zahlenbsp. ausprobiere fällt das quadrat gar nicht weg!
über Hilfe bin ich sehr dankbar, viele Grüsse eure verzweifelte
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Hallo devilette,
> und zwar habe ich im 1. Schritt die allg. Form durch
> Division auf die Normalform x³+rx²+sx+t=0 gebracht.
>
> im 2. Schritt soll man die Normalform mit der substitution
> x=y-r/3 auf eine reduzierte Form bringen: y³+py+q=0
>
> ich verstehe irgendwie nicht wo das quadrat hinverschwindet
> (rx²). wenn ich die substitution an einem zahlenbsp.
> ausprobiere fällt das quadrat gar nicht weg!
Nun das Polynom schreibt sich dann mit der Substitution so:
[mm]\left( {y\; - \;\frac{r}{3}} \right)^3 \; + \;r\;\left( {y\; - \;\frac{r}{3}} \right)^2 \; + \;s\;\left( {y\; - \;\frac{r}{3}} \right)\; + \;t\; = \;0[/mm]
Alles Ausmultiplizieren und die gewünschte Form steht da:
[mm]\begin{array}{l}
y^{3} \; - \;r\;y^{2} \; + \;\frac{{r^{2} }}{3}\;y\; - \;\frac{{r^{3} }}{{27}}\; + \;r\;y^{2} \; - \;\frac{{2r^{2} }}{3}\;y\; + \;\frac{{r^{3} }}{9}\; + \;s\;y\; - \;s\;\frac{r}{3}\; + \;t\; = \;0 \\
\Leftrightarrow \;y^{3} \; + \;\left( { - r\; + \;r} \right)\;y^{2} \; + \;\left( {\frac{{r^{2} }}{3}\; - \;\frac{{2r^{2} }}{3}\; + \;s} \right)\;y\; + \;\left( { - \;\frac{{r^{3} }}{{27}}\; + \;\frac{{r^{3} }}{9}\; - \;s\;\frac{r}{3}\; + \;t} \right)\;\; = \;0 \\
\Rightarrow \;y^{3} \; + \;\left( {\frac{{r^{2} }}{3}\; - \;\frac{{2r^{2} }}{3}\; + \;s} \right)\;y\; + \;\left( { - \;\frac{{r^{3} }}{{27}}\; + \;\frac{{r^{3} }}{9}\; - \;s\;\frac{r}{3}\; + \;t} \right)\;\; = \;0\; \\
\end{array}[/mm]
Gruß
MathePower
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vielen dank mathe-power, deine antwort half mir sehr!
jetzt allerdings weiss ich nicht wie ich weiter verfahre, bzw. weiss ich dass der Ansatz y=u+v ist und ich u und v so wählen muss dass sie irgendwelche bedingungen erfüllen, aber ich kann es eifach in meinen info´s die ich dazu habe nicht nachvollziehen!
bitte bitte helft mir, die meisten links zu diesem thema kenne ich schon und es ist mir irgendwie immer zu allgemein!
vielen dank im vorraus, gruss
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Hallo devilette,
> jetzt allerdings weiss ich nicht wie ich weiter verfahre,
> bzw. weiss ich dass der Ansatz y=u+v ist und ich u und v so
> wählen muss dass sie irgendwelche bedingungen erfüllen,
> aber ich kann es eifach in meinen info´s die ich dazu habe
> nicht nachvollziehen!
Nun, jetzt haben wir das Polynom [mm]y^3 \; + \;p\;y\; + \;q[/mm], deren Nullstellen ermittelt werden müssen.
Dazu untersuche zunächst die Diskriminante, welcher Fall vorliegt:
[mm]D\; = \;\left( {\frac{q}
{2}} \right)^{2} \; + \;\left( {\frac{p}
{3}} \right)^{3}[/mm]
D > 0: 1 reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen
D = 0: 3 reelle Lösungen, darunter eine Doppelwurzel
D < 0: 3 reelle Lösungen, die sich auf goniometrischen Wege errechnen lassen (irreduzibler Fall, casus irreducibilis)
Im Fall D>=0, ergeben sich die Lösungen wie folgt:
[mm]
\begin{gathered}
y_{1} \; = \;u\; + \;v \hfill \\
y_{2} \; = \; - \frac{{u\; + \;v}}
{2}\; + \;i\;\frac{{u\; - \;v}}
{2}\;\sqrt 3 \hfill \\
y_{3} \; = \; - \frac{{u\; + \;v}}
{2}\; - \;i\;\frac{{u\; - \;v}}
{2}\;\sqrt 3 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
wobei
[mm]\begin{gathered}
u\; = \;\sqrt[3]{{ - \frac{q}
{2}\; + \;\sqrt D }} \hfill \\
v\; = \;\sqrt[3]{{ - \frac{q}
{2}\; - \;\sqrt D }} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Für den Fall D < 0 ergeben sich folgende Lösungen:
[mm]\begin{gathered}
y_{1} \; = \;2\;\sqrt {\frac{{\left| p \right|}}
{3}} \;\cos \;\frac{\varphi }
{3} \hfill \\
y_{2} \; = \; - 2\;\sqrt {\frac{{\left| p \right|}}
{3}} \;\cos \;\frac{{\varphi \; - \;\pi }}
{3} \hfill \\
y_{3} \; = \; - 2\;\sqrt {\frac{{\left| p \right|}}
{3}} \;\cos \;\frac{{\varphi \; + \;\pi }}
{3} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
mit
[mm]\cos \;\varphi \; = \;\frac{{ - \frac{q}
{2}}}
{{\sqrt {\left( {\frac{{\left| p \right|}}
{3}} \right)^{3} } }}[/mm]
Diese Formeln gelten, wenn der Winkel [mm]\varphi[/mm] im Bogenmaß angegeben wird.
Gruß
MathePower
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Polynomdivision