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| Aufgabe | Sei A [mm] \in [/mm] K^nxn eine Matrix mit Spalten [mm] a_1 [/mm] ,...., [mm] a_n [/mm] mit [mm] a_1 \wedge [/mm] .... [mm] \wedge a_n \not= [/mm] 0, und sei b [mm] \in [/mm] K^(nx1) ein Spaltenvektor. Zeigen Sie, dass für den Spaltenvektor x [mm] \in [/mm] K^(nx1) mit Ax=b gilt:
[mm] x_i [/mm] = [mm] \bruch{a_1 \wedge .... \wedge a_{i-1} \wedge b \wedge a_{i+1} \wedge .... \wedge a_n}{a_1 \wedge .... \wedge a_n} [/mm] , [mm] \forall [/mm] i=1,....,n
Hinweis: Benutzen Sie die zu a adjungierte Matrix. |
Hallo, ich habe irgendwie keine ahnung, wie ich diese Aufgabe anpacken soll bzw. anfangen soll und hoffe hier auf hilfe.
danke und gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:07 Mo 07.01.2008 | | Autor: | cutter |
Was heisst
[mm] x_i=\frac{a_1\wedge a_2 \wedge etc} [/mm] bei euch ?....Ich versteh das [mm] \wedge [/mm] gerade nicht ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:40 Mo 07.01.2008 | | Autor: | jaruleking |
Das ist das Dachprodukt, bzw. die Multiplikation von Det.
So habe ich es zumindest verstanden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:42 Mo 07.01.2008 | | Autor: | zahllos |
Schau mal unter Cramerscher Regel nach, da findest Du genau die von Dir gesuchte Formel!
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Hi, das mit der Cramerscher Regel ist richtig, aber ich finde nirgendwo eine herleitung dazu, nur aufgaben, wo die formel angewendet wird, mehr nicht.
brauch aber ja die herleitung.
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Di 08.01.2008 | | Autor: | zahllos |
Der Beweis geht in groben Zügen so:
Sei A eine nxn-Matrix und [mm] A_{ij} [/mm] diejenige Matrix, die entsteht,
wenn man [mm] a_{ij} [/mm] = 1 setzt und alle anderen Elemente in Zeile i
und Spalte j gleich 0 setzt.
Ferner sei [mm] {A'}_{ij} [/mm] diejenige Matrix, die aus A durch Streichung
der Zeile i und der Spalte j entsteht.
Dann ist: detA = [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^{i+j}a_{ij}detA'_{ij} [/mm]
und [mm] A^{-1} [/mm] hat die Koeffizienten: [mm] \bruch{detA_{ji}}{detA} [/mm]
(Reihenfolge von i und j beachten!)
Wegen [mm] x=A^{-1}b [/mm] folgt:
[mm] x_i=\summe_{j=1}^{n}b_j\bruch{detA_{ji}}{detA}
[/mm]
[mm] =\bruch{det(a_1,..,a_{i-1},b,a_{i+1},..,a_n)}{detA}
[/mm]
Das ist genau die Formel, die Du beweisen sollst!
(In der Praxis nimmt man die Cramersche Regel nie zur Berechnung der Lösung eines linearen Gleichungssystems, da sie die Berechung von n+1 Determinanten der Größe nxn erfordert, d.h. ca. (n+1)! Operationen! Aber für theoretische Zwecke ist sie interessant)
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HI danke erstmal. ich habe die formel auch mittlerweile in wikipedia gefunden. da leiten die es bisschen bildlicher her, als deins 
aber da habe ich trotzdem noch paar probleme mit.
Für diesen Beweis verwendet man eine Matrix [mm] X_i, [/mm] die entsteht, indem man die i-te Spalte der Einheitsmatrix durch den Lösungsvektor x des Gleichungssystems Ax = b ersetzt. So sieht [mm] X_2 [/mm] für ein Gleichungssystem mit vier Gleichungen folgendermaßen aus:
[mm] X_2=\pmat{ 1 & x_1 & 0 & 0 \\ 0 & x_2 & 0 & 0 \\ 0 & x_3 & 1 & 0 \\ 0 & x_4 & 0 & 1}
[/mm]
Hier schon mal gleich eine frage, wieso darf man das machen?
So dann hatte man eine Matrix [mm] A\in K^{4x4}
[/mm]
Und [mm] A*X_2 [/mm] ergab durch Matrizenmultiplikation und A*X=b
[mm] A*X_2= \pmat{ a_{11} & b_1 & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & b_2 & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & b_3 & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & b_4 & a_{43} & a_{44}} [/mm] = [mm] A_2
[/mm]
So wie die Matrix zustande kam, habe ich noch verstanden, war ja nur die Multiplikation und dann b eingesetzt. Aber was jetzt kommt versteh ich wieder nicht.
Da zusätzlich gilt det [mm] (X_i)= x_i [/mm] gilt, folt mit der Produktregel für Det.
det (A) * det [mm] (X_i) [/mm] = det [mm] (A_i)
[/mm]
det (A) * [mm] x_i [/mm] = det [mm] (A_i)
[/mm]
[mm] x_i [/mm] = det [mm] (A_i)/(det [/mm] (A))
So also nochmal, wieso gilt dieses hier: det [mm] (X_i)= x_i [/mm] ich habe dazu nichts in meinem Skript gefunden.
Und wieso gilt dieses hier: det (A) * det [mm] (X_i) [/mm] = det [mm] (A_i)
[/mm]
Und dann noch zuletzt, was hat das lettzte mit den Matrizen zu tun, die man am anfang berechnet hat. Wo raus kam [mm] A*X_2 [/mm] = [mm] A_2
[/mm]
Also ich weiß, das waren jetzt doch einige Fragen, aber will die Aufgabe gerne gut verstehen und würde auch sehr danken, wenn mir jemand das mal erläutern könnte. Die Schritte wo ich nachgefragt habe.
danke im voraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Di 08.01.2008 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
die Matrix [mm] X_2 [/mm] wird hier einfach so definiert
(das kann man machen, ob es sinnvoll ist, zeigt sich noch).
Dann wird [mm] A_2 [/mm] berechnet, das ist auch noch nachvollziehbar.
Jetzt wird die Determinante von [mm] X_2 [/mm] berechnet, indem man nach der ersten Zeile entwickelt, man erhält: [mm] 1\cdot x_2\cdot1 [/mm]
Dann wird die Determinante von [mm] A\cdot X_2 [/mm] berechnet. Determinanten sind multiplikativ, deshalb gilt diese Produktregel.
Zum Schluß löst man noch nach [mm] x_2 [/mm] auf.
Wenn man dies für jeden Index i=1,..,n macht, ist man fertig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:42 Di 08.01.2008 | | Autor: | jaruleking |
ok danke, jetzt ist es klarer geworden.
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:47 Do 10.01.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo jaruleking,
wenn Deine Frage beantwortet ist, schließe ich Deine Frage, damit sie nicht unnötig offen im System "herumschwirrt".
Viele Grüße 
Andreas
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:10 Do 10.01.2008 | | Autor: | jaruleking |
ja klar,ich habe jetzt alles verstanden
danke und gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 Do 10.01.2008 | | Autor: | jaruleking |
sorry, das sollte eine mitteilung sein und keine frage.
gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:23 Do 10.01.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo jaruleking,
dann ist das jetzt die Antwort
Viele Grüße
Andreas
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