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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 Mi 25.06.2008 | | Autor: | MissRHCP |
| Aufgabe | Jemand hat von einem Anderen 400.000 zu einem Zinsatz von 5% p.a. entliehen und zahlt in jedem Jahr 25.000 dem Anderen aus.
Nach wieviel Jahren wird er seine Schuld vollständig getilgt haben? |
Die Tafelwerkformel für diese Situation lautet wie folgt:
[mm] K_{n}=K_{0}*q^{n}-\bruch{R(q^{n}-1)}{q-1}
[/mm]
wobei
[mm] K_{n} [/mm] - Zu zahlender Betrag nach n Jahren
[mm] K_{0} [/mm] - Ausgangsleihsumme
R - jährliche Rückzahlung
q - [mm] 1+\bruch{p}{100}
[/mm]
p - Zinssatz
n - Anzahl der Jahre
Nun habe ich versucht mir diese Formel herzuleiten:
[mm] K_{1}=K_{0}*p-R
[/mm]
[mm] K_{2}=(K_{0}*p-R)*p-R=(K_{0}*p^{2}-R*p)-R
[/mm]
[mm] K_{3}=((K_{0}*p^{2}-R*p)-R)*p-R=((K_{0}*p^{3}-R*p^{2})-R*p)-R
[/mm]
usw.
aber irgendwie komme ich nicht auf [mm] K_{n}=K_{0}*q^{n}-\bruch{R(q^{n}-1)}{q-1}
[/mm]
Kann mir jemand sagen, wo mein Fehler liegt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:40 Mi 25.06.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
spontan fiele mir dazu folgendes ein:
> [mm]K_{n}=K_{0}*q^{n}-\bruch{R(q^{n}-1)}{q-1}[/mm]
>
> Nun habe ich versucht mir diese Formel herzuleiten:
> [mm]K_{1}=K_{0}*p-R[/mm]
> [mm]K_{2}=(K_{0}*p-R)*p-R=(K_{0}*p^{2}-R*p)-R[/mm]
>
> [mm]K_{3}=((K_{0}*p^{2}-R*p)-R)*p-R=((K_{0}*p^{3}-R*p^{2})-R*p)-R[/mm]
> usw.
Gute Idee. Du erkennst selbst schon eine gewisse Regelmäßigkeit.
Aber: Müssen die p's nicht eigentlich q's sein? Oder mache ich jetzt
einen Denkfehler? Ich ersetze es einmal in der folgenden Rechnung.
Den letzten Schritt schreiben wir mal ein wenig anders:
[mm] K_{3}=((K_{0}*\red{q}^{2}-R*\red{q})-R)*\red{q}-R*\red{q}^0=((K_{0}*\red{q}^{3}-R*\red{q}^{2})-R*\red{q})-R*\red{q}^0
[/mm]
[mm] =K_{0}*\red{q}^{3}-(R*\red{q}^{2}+R*\red{q}^1+R*\red{q}^0)
[/mm]
[mm] =K_{0}*\red{q}^{3}-(R*\red{q}^{0}+R*\red{q}^1+R*\red{q}^2)
[/mm]
[mm] =K_{0}*\red{q}^{3}-R*(\red{q}^{0}+\red{q}^1+\red{q}^2)
[/mm]
[mm] =K_{0}*\red{q}^{3}-R*\summe_{i=0}^{3-1}\red{q^i}
[/mm]
Jetzt kannst du die geometrische Reihe verwenden - Bachte q>1, wegen [mm] q=1+\bruch{p}{100}:
[/mm]
[mm] =K_{0}*\red{q}^{3}-R*\bruch{1-q^{(3-1)+1}}{1-q}
[/mm]
[mm] =K_{0}*\red{q}^{3}-R*\bruch{1-q^{3}}{1-q}
[/mm]
Ich denke, jetzt dürfte auch der allgemeine Fall kein Problem mehr sein!?
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Mi 25.06.2008 | | Autor: | MissRHCP |
$ [mm] K_{n}=K_{0}\cdot{}q^{n}-\bruch{R(q^{n}-1)}{q-1} [/mm] $
Ich habe meine Jahresanzahl n durch probieren rausbekommen, aber wirklich ästhetisch ist das ja nicht.
Kann ich $ [mm] K_{n}=K_{0}\cdot{}q^{n}-\bruch{R(q^{n}-1)}{q-1} [/mm] $
überhaupt nach n Umstellen?
Wenn ja wie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Mi 25.06.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
du möchtest also berechnen, für welches n gilt [mm] K_n=0, [/mm] wenn ich dich richtig verstehe?
Also gilt doch:
[mm] 0=K_0*q^n-\bruch{R(q^{n}-1)}{q-1}
[/mm]
> Kann ich [mm]K_{n}=K_{0}\cdot{}q^{n}-\bruch{R(q^{n}-1)}{q-1}[/mm]
> überhaupt nach n Umstellen?
Das kannst du.
> Wenn ja wie?
Hier mal die ersten Schritte:
[mm] 0=K_0*q^n-\bruch{R(q^{n}-1)}{q-1}
[/mm]
[mm] \gdw K_0*q^n=\bruch{R(q^{n}-1)}{q-1}
[/mm]
[mm] \gdw K_0*q^n*(q-1)=R(q^{n}-1)
[/mm]
[mm] \gdw K_0*q^n*(q-1)=Rq^{n}-R
[/mm]
[mm] \gdw K_0*q^n*(q-1)-Rq^{n}=-R
[/mm]
[mm] \gdw q^n*(K_0*(q-1)-R)=-R
[/mm]
[mm] \gdw q^n=\bruch{-R}{K_0*(q-1)-R}
[/mm]
[mm] \gdw n=\bruch{log(\bruch{-R}{K_0*(q-1)-R})}{log(q)}
[/mm]
Jetzt habe ich doch mehr gemacht, als ich eigentlich wollte 
Du kannst es ja zum Verständis und zur Kontrolle (!) noch einmal genau durchgehen.
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Mi 25.06.2008 | | Autor: | MissRHCP |
es soll doch
$ [mm] K_{n}=K_{0}\cdot{}q^{n}-\bruch{R(q^{n}-1)}{q-1} [/mm] $
$ [mm] =K_{0}\cdot{}\red{q}^{3}-R\cdot{}\bruch{1-q^{3}}{1-q} [/mm] $
heißen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Mi 25.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Für die viele Arbeit, die der Antworter für dich aufgewendet hat, hätte er doch vielleicht erstmal ein nettes Danke verdient?
Stell dir vor, jemand schenkt dir 99999 einfach so. Deine Reaktion "ich hab doch 100000-1 erwartet!"
Es ist dasselbe!
[mm] \bruch{1-a}{1-b}=\bruch{(-1)*(-1+a}{(-1)*(-1+b)}=\bruch{a-1}{b-1}
[/mm]
d.h. der eine Bruch wird mit -1 erweitert, dann hat man den gleichen anderen.
Gruss leduart
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