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| Aufgabe | Betrachten Sie die Aussage:
Zu jeder reellen Zahl a und zu jeder positiven reellen Zahl [mm] \varepsilon [/mm] existiert eine rationale Zahl q, so daß die Abweichung zwischen a und q kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] ist.
(a) Geben Sie eine mathematische Formulierung dieser Aussage (unter Benützung der Quantoren).
(b) Wie lautet die Negation dieser Aussage (in Quantorenschreibweise)?
(c) Sei a = 10.04987... und [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{100}. [/mm] Geben Sie ein geeignetes q an, das a innerhalb der Genauigkeit [mm] \varepsilon [/mm] approximiert.
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Hallo! 
Die Lösung zu dieser Aufgabe ist vollständig gegeben. Allerdings verstehe ich teilweise nur "Bahnhof".
(a) Formalisierung dieser Aussage, mit zunehmender Vereinfachung der Schreibweise:
- [mm] \forall [/mm] a [mm] \forall \varepsilon [/mm] [(a [mm] \in \IR \wedge \varepsilon \in \IR \wedge \varepsilon>0) \Rightarrow \exists [/mm] q : [mm] q\in\IQ\wedge(|a [/mm] - q| < [mm] \varepsilon)]
[/mm]
- [mm] \forall a\in\IR \forall\varepsilon \in \IR [\varepsilon>0 \Rightarrow \exists q\in\IQ [/mm] : |a - [mm] q|<\varepsilon]
[/mm]
- [mm] \forall a\in\IR \forall 0<\varepsilon\in\IR \exists q\in\IQ [/mm] : |a - [mm] q|<\varepsilon
[/mm]
- [mm] \forall a\in\IR \forall \varepsilon\in\IR^+ \exists q\in\IQ [/mm] : |a - [mm] q|<\varepsilon [/mm] (mit [mm] \IR^+ [/mm] = { [mm] x\in\IR [/mm] | x>0 })
Mein Problem:
Aus welchem Grund wird a - q als Betrag geschrieben?
(b) Negation obiger Aussagen:
- [mm] \exists [/mm] a [mm] \exists \varepsilon [/mm] [(a [mm] \in \IR \wedge \varepsilon \in \IR \wedge \varepsilon>0) \wedge \neg (\exists [/mm] q : [mm] q\in\IQ\wedge(|a [/mm] - [mm] q|<\varepsilon))]
[/mm]
- [mm] \exists [/mm] a [mm] \exists \varepsilon [/mm] [(a [mm] \in \IR \wedge \varepsilon \in \IR \wedge \varepsilon>0) \wedge \forall [/mm] q : [mm] q\not\in\IQ\vee(|a [/mm] - [mm] q|\ge\varepsilon)]
[/mm]
- [mm] \exists a\in\IR \exists \varepsilon\in\IR [\varepsilon>0 \wedge \forall q\in\IQ [/mm] : |a - [mm] q|\ge\varepsilon]
[/mm]
- [mm] \exists a\in\IR \exists 0<\varepsilon\in\IR \forall q\in\IQ [/mm] : |a - [mm] q|\ge\varepsilon
[/mm]
- [mm] \exists a\in\IR \exists \varepsilon\in\IR^+ \forall q\in\IQ [/mm] : |a - [mm] q|\ge\varepsilon
[/mm]
Meine Probleme:
- Erste Zeile: Warum wird statt der Implikation eine Und-Verknüpfung gewählt?
- Dritte Zeile: Warum wird aus "ist kein Element" in der zweiten Zeile, in der dritten Zeile dann plötzlich ein "ist Element"?
(c) Sei a = 10.04987... und [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{100}. [/mm] Geben Sie ein geeignetes q an, das a innerhalb der Genauigkeit [mm] \varepsilon [/mm] approximiert.
Wähle q := 10 + [mm] \bruch{4}{100}\in\IQ. [/mm] Dann gilt:
|a - q| = |10.04987... - (10 + [mm] \bruch{4}{100})| [/mm] = |10 + [mm] \bruch{4}{100} [/mm] + 0.00987... - (10 + [mm] \bruch{4}{100})| [/mm] = 0.00987... < 0.01 = [mm] \bruch{1}{100} \gdw [/mm] 0.987.... < 1
Mein Problem:
Der Lösungsweg zu dieser Teilaufgabe ist für mich ein absolutes Rätsel. Es wäre super, wenn jemand in Worten beschreiben könnte, was da genau gemacht wird... ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Vielen Dank für Eure Mühe und ich hoffe, ich konnte den Lösungsweg in eine lesbare Form bringen, sodas Euch beim Lesen keine Schwierigkeiten entstehen.
Gruß
el_grecco
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Hiho,
> Mein Problem:
> Aus welchem Grund wird a - q als Betrag geschrieben?
Der Abstand zwischen a und q ist nunmal gegeben als $|a-q|$.
> Meine Probleme:
> - Erste Zeile: Warum wird statt der Implikation eine
> Und-Verknüpfung gewählt?
Die wird nicht "gewählt". Die Negation einer Implikation ist $a [mm] \wedge \neg [/mm] b$, das liegt daran, dass eine Implikation logisch äquivalent zu [mm] $\neg [/mm] a [mm] \vee [/mm] b$ ist.
> - Dritte Zeile: Warum wird aus "ist kein Element" in der
> zweiten Zeile, in der dritten Zeile dann plötzlich ein
> "ist Element"?
Naja, da steht ja [mm] $q\not\in\IQ \vee |a-q|\ge \varepsilon$
[/mm]
Nun soll [mm] $q\in\IQ$ [/mm] sein, d.h. der linke Teil ist also immer falsch.
Bei einer Oder-Verknüpfung kann man falsche Teile aber weglassen.
MfG,
Gono.
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Vielen Dank, Gonozal_IX.
Es wäre echt nett, wenn jemand in Worten die Lösung zur Teilaufgabe (c) beschreiben könnte...
Vielen Dank.
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> Vielen Dank, Gonozal_IX.
>
> Es wäre echt nett, wenn jemand in Worten die Lösung zur
> Teilaufgabe (c) beschreiben könnte...
>
> Vielen Dank.
Naja, finde q, so dass zu gegebenem a und [mm] \varepsilon [/mm] |a-q| [mm] \le \varepsilon [/mm] gilt.
Ist nur rechnen.
MFG,
Gono.
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Danke, Gonozal_IX. 
Ich denke du überschätzt mein mathematisches Verständnis. Es ist glaube ich besser, wenn ich meine Probleme konkret aufliste:
- Aus welchem Grund wird der Bruch [mm] \bruch{4}{100} [/mm] zu der Zahl 10 addiert bzw. wie kommen die ausgerechnet auf diesen Bruchwert?
- Die Rechnung |a - q| = |10.04987... - (10 + [mm] \bruch{4}{100})| [/mm] leuchtet mir soweit ein, aber warum wird das nicht einfach ausgerechnet und das Ergebnis 0,00987 hingeschrieben anstatt das so umzuformulieren |10 + [mm] \bruch{4}{100} [/mm] + 0.00987... - (10 + [mm] \bruch{4}{100})| [/mm] ?
- Warum ist das Ergebnis dann äquivalent zu 0.987... < 1 ?
Was mir fehlt ist einfach eine schlichte Beschreibung in Worten, was da genau gemacht wird bzw. welcher Gedanke dahinter steckt.
Vielen Dank.
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Hiho,
> - Aus welchem Grund wird der Bruch [mm]\bruch{4}{100}[/mm] zu der
> Zahl 10 addiert bzw. wie kommen die ausgerechnet auf diesen
> Bruchwert?
Naja, durch geschicktes draufgucken
Ich finde solche Beweise schlecht, weil sie die von dir beschriebenen Probleme aufwerfen.
Da hat irgendjemand mal ausgerechnet, wie gross die Zahl sein muss, damit das gilt, nun wird aus diesem Bereich eine Zahl genommen und gezeigt, dass es für sie gilt (was klar ist, weil sie aus dem gewünschten Bereich stimmt).
In der Vorlesung wird dann meistens gesagt "durch scharfes Hinsehen", aber dann ist nicht klar, wie man auf diese Zahl kommt.
Durch "scharfes Hinsehen" kann man sie sich in diesem Fall aber wirklich herleiten, denn:
Wir wollen eine Genauigkeit von [mm] $\varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{100} [/mm] = 0.01$, d.h. von 2 Nachkommastellen und zwar von der Zahl 10.04987...
Naja, und die haben wir trivialerweise, wenn wir die Zahl nehmen, die bis auf 2 Nachkommastellen mit dieser übereinstimmt, daher $10.04 = 10 + 0.04 = 10 + [mm] \bruch{4}{100}$
[/mm]
Normalerweise würde man die Gleichung $|a-q| < [mm] \varepsilon$ [/mm] aber einfach nach q umstellen und seine Zahl dann wählen
MFG,
Gono.
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