Fortsetzungssatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:21 Mo 30.03.2015 | | Autor: | jasmin12 |
| Aufgabe | Eine lineare DGL
y'(t)=a(t)y(t) +b(t)
sei gegeben durch stetige Abbildungen a,b: I [mm] \to \IR [/mm] , wobei I [mm] \subseteq \IR [/mm] ein Teilintervall ist.
Trifft die Aussage zu :
Wenn a nicht von t abhängt, kann jede Lösung auf ganz I fortgesetzt werden. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheplanet.com/index.html
Ich habe starke Verständnisprobleme mit dem Fortsetzungssatz, habe aber gelesen(nicht direkt verstanden)
dass man
y'(t)= y auf [mm] \IR [/mm] fortsetzen kann , dann wäre a zwar nicht von t abhängig, allerdings wurde ja keine Aussage zu b(t) getroffen, welche noch von t abhängen könnte.
Verneint man also wegen b(t) die Aussage?
bitte um Hilfe,habe morgen DGL klausur und enorme Panik ! :/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Mo 30.03.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit a(t)=a kann man doch direkt die allgemeine Lösug hinschreiben, die auf ganz I existiert?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Mo 30.03.2015 | | Autor: | jasmin12 |
Hey, ja das wäre dann ja
y(t)= [mm] c(t)*e^{a*t}
[/mm]
und die Lösung ist auf ganz I definiert ? Auch ohne Anfangswertproblem ?
und was hat das nun mit fortsetzen zu tun ?
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Ansatz: y(t)= [mm] c(t)*e^{a*t}.
[/mm]
Existiert denn nun ein c(t) so, dass es die DGL erfüllt? Immerhin muss es zu b(t) passen!
Wenn du deinen Ansatz wieder in die DGL einsetzt, stellst du fest, dass nun gelten muss:
y'(t)= [mm] c'(t)*e^{a*t}+a*c(t)*e^{a*t}=ay(t)+c'(t)*e^{a*t}=ay(t)+b(t)
[/mm]
bei vorgegebenem b.
Also muss [mm] c'(t)*e^{a*t}=b(t) [/mm] sein, also [mm] c'(t)=b(t)*e^{-a*t}
[/mm]
und damit [mm] c(t)=\integral_{a}^{t}{b(x)*e^{-a*x} dx}.
[/mm]
Wenn nun b stetig über I ist, existiert c(t) auf ganz I.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 Mo 30.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Eine lineare DGL
> y'(t)=a(t)y(t) +b(t)
> sei gegeben durch stetige Abbildungen a,b: I [mm]\to \IR[/mm] ,
> wobei I [mm]\subseteq \IR[/mm] ein Teilintervall ist.
> Trifft die Aussage zu :
> Wenn a nicht von t abhängt, kann jede Lösung auf ganz I
> fortgesetzt werden.
Komische Aufgabe .....
jede Lösung der obigen DGL existiert auf ganz I.
FRED
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheplanet.com/index.html
>
> Ich habe starke Verständnisprobleme mit dem
> Fortsetzungssatz, habe aber gelesen(nicht direkt
> verstanden)
> dass man
> y'(t)= y auf [mm]\IR[/mm] fortsetzen kann , dann wäre a zwar nicht
> von t abhängig, allerdings wurde ja keine Aussage zu b(t)
> getroffen, welche noch von t abhängen könnte.
> Verneint man also wegen b(t) die Aussage?
> bitte um Hilfe,habe morgen DGL klausur und enorme Panik !
> :/
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Mo 30.03.2015 | | Autor: | jasmin12 |
Gilt diese Aussage auch ohne Anfangsbedingung ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Mo 30.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Gilt diese Aussage auch ohne Anfangsbedingung ?
Ja. Wenn ich sage "jede Lösung" , dann meine ich auch "jede Lösung", oder was hast Du gedacht ?
FRED
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