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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 Mi 07.05.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Wir sollen einen bestimmten Vorgang auf sein Verhalten bei sehr hohen Temperaturen untersuchen und dazu die Taylor-Entwicklung 2ten Grades nehmen. Der Vorgang ist gegeben mit:
f(x)=coth(x) - [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
Dabei ist allerdings x so definiert, dass es für hohe Temperatur gegen Null geht. Das heißt, ich müsste das Taylorpolynom am Entwicklungspunkt [mm] x_0 [/mm] = 0 entwickeln. Dafür ist allerdings weder coth noch 1/x definiert.
Gibt es für solche Fälle ein spezielles Vorgehen, oder muss ich irgendwie substituieren?
Ich hab schon versucht, den coth mithilfe der e Funktion darzustellen, aber auch das ist für Null nicht definiert, da man durch 0 teilen würde...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Mi 07.05.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo Ymaoh,
da stimmt irgendwas nicht. Weswegen sollte es Sinn machen, eine Funktion um den Nullpunkt herum zu entwickeln (wo der coth auch noch einen Pol besitzt), um diese Näherung im Unendlichen anzuwenden. Das kann nur schiefgehen. Bist Du nicht eher der Meinung, dass der Coth für große Argumente in eine Reihe entwickelt werden soll?
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Mi 07.05.2014 | | Autor: | Ymaoh |
Ja, bin ich. (Also, für große Argumente sollen wir die Funktion auch entwickeln, aber eben auch für kleine).
Und die gesamte Funktion, also f(x) = coth(x) - 1/x hat ja bei Null
auch keine Polstelle. (Hab das mal bei Geogebra geplottet)
Aber ich weiß eben nicht, wie ich die Reihenentwicklung machen soll,
wenn der Entwicklungspunkt nicht definiert ist o.o
Das richtige Ergebnis müsste x/3 sein...aber wie ich dahin komme....?? o.o
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Hallo,
mache das ganze erst einmal formal.
Das die Entwicklung für x=0 funktioniert liegt daran, dass durch das [mm] \frac{1}{x} [/mm] gerade diese kritische Stelle rausgeworfen wird.
Nimm also erst einmal [mm] \coth(x)=\frac{\cosh(x)}{\sinh(x)} [/mm] und entwickle bis zu einem gewissen Grad. Der Summand [mm] \frac{1}{x} [/mm] ist ja schon entwickelt. Dann setze alles zusammen und erhalte so dein gewünschtes Ergebnis.
Die Frage, wie genau du die Funktion f(x) approximieren willst ist ebenfalls interessant. Für kleine x ist [mm] p(x)=\frac{x}{3} [/mm] sicherlich gerechtfertigt. Somit wird die Auswertung des Quotienten [mm] \frac{\cosh(x)}{\cosh(x)} [/mm] auch angenehmer, da du nicht so viele Reihenglieder betrachten musst.
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