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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Sa 03.07.2010 | | Autor: | Stift82 |
| Aufgabe | Zerlegen Sie den folgenden Kosinusimpuls (Einweggleichrichtung) in seine harmonische Komponenten. (Fourierzerlegung);
[mm] u(t) = u \* cos(t) [/mm] in [mm] \bruch{-pi}{2}<=t<=\bruch{pi}{2} [/mm] und [mm] u(t) = 0 [/mm] in [mm] \bruch{pi}{2}<=t<=\bruch{3pi}{2} [/mm]
Bild siehe Anhang. |
Hallo Leute,
ich bekomme die Berechnug der Konstanten [mm] a_n [/mm] nicht so ganz hin, glaube es liegt an der Bildung des Integrals:
für [mm] a_n=\bruch{2}{pi} \*u\* \int_{0}^{\bruch{pi}{2}} cos(t)cos(nt) \dt [/mm]
das mit Integrationstabelle erzeugte Integral:
[mm] a_n= \bruch{2u}{pi} \* [ \bruch{sin((1-n)t)}{2(1-n)} + \bruch{sin((1+n)t)}{2(1+n)}]_{0}^{\bruch{pi}{2}} [/mm]
nun gibt es laut den Endlösungen im Buch für n=0 / n= ungerade und n=gerade 3 verschiedene Auflösungen bei den kein pi mehr vorkommt.
daher vermute ich, das in der Bildung des Integrals etwas schief gelaufen ist.
Was hab ich denn falsch gemacht?
Die Aufgabe stammt aus dem Papula 2 Seite 180 11.Auflage
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> Zerlegen Sie den folgenden Kosinusimpuls
> (Einweggleichrichtung) in seine harmonische Komponenten.
> (Fourierzerlegung);
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> [mm]u(t) = u \* cos(t)[/mm] in [mm]\bruch{-pi}{2}<=t<=\bruch{pi}{2}[/mm]
> und [mm]u(t) = 0[/mm] in [mm]\bruch{pi}{2}<=t<=\bruch{3pi}{2}[/mm]
>
> Bild siehe Anhang.
> Hallo Leute,
>
> ich bekomme die Berechnug der Konstanten [mm]a_n[/mm] nicht so ganz
> hin, glaube es liegt an der Bildung des Integrals:
>
> für [mm]a_n=\bruch{2}{pi} \*u\* \int_{0}^{\bruch{pi}{2}} cos(t)cos(nt) \dt[/mm]
>
> das mit Integrationstabelle erzeugte Integral:
>
> [mm]a_n= \bruch{2u}{pi} \* [ \bruch{sin((1-n)t)}{2(1-n)} + \bruch{sin((1+n)t)}{2(1+n)}]_{0}^{\bruch{pi}{2}} [/mm]
>
> nun gibt es laut den Endlösungen im Buch für n=0 / n=
> ungerade und n=gerade 3 verschiedene Auflösungen bei den
> kein pi mehr vorkommt.
>
> daher vermute ich, das in der Bildung des Integrals etwas
> schief gelaufen ist.
>
> Was hab ich denn falsch gemacht?
>
Hallo,
ich sehe 2 Dinge:
1. die Periode ist [mm] T=2\pi [/mm] (Skizze!), was sich beim Faktor vor dem Integral bemerkbar macht.
2. Dementsprechend stimmen auch die Integrationsgrenzen nicht.
Du solltest haben [mm] \displaystyle a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{0+T} [/mm] f(t) [mm] \cdot \cos(n t)\, \mathrm{d}t [/mm] oder (besser und bequemer) [mm] \displaystyle a_n=\frac{2}{T}\int_{\pi/2}^{-\pi/2+T} [/mm] f(t) [mm] \cdot \cos(n t)\, \mathrm{d}t.
[/mm]
Schau mal, ob damit dann alles paßt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 So 04.07.2010 | | Autor: | Stift82 |
Hallo Angela,
erstmal danke für deinen Tipp, so könnte man das auch mit der Periode T berechnen.
Laut der Lösung im Buch wurde die folgende Formel angewandt:
[mm] a_n = \bruch{1}{pi} \* \int_{-\bruch{pi}{2}}^{\bruch{pi}{2}} f(x) \* cos(nx) \dx [/mm]
Da die Funktion an der Y-Achse spiegelsymmetrisch ist, habe ich das Integral nur in 2 Hälften geteilt und die berechnete Fläche vor dem Integral mit dem Faktor 2 multipliziert.
Es glaube es ist nicht der eigentliche Fehler....
Gruß
Mario
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> Laut der Lösung im Buch wurde die folgende Formel
> angewandt:
>
> [mm]a_n = \bruch{1}{pi} \* \int_{-\bruch{pi}{2}}^{\bruch{pi}{2}} f(x) \* cos(nx) \dx[/mm]
>
> Da die Funktion an der Y-Achse spiegelsymmetrisch ist, habe
> ich das Integral nur in 2 Hälften geteilt und die
> berechnete Fläche vor dem Integral mit dem Faktor 2
> multipliziert.
Hallo,
achso. Klar, so kann man das machen.
>
> Es glaube es ist nicht der eigentliche Fehler....
Du gibst nun ja weder Deine Lösungen für die Koeffizienten [mm] a_n [/mm] an, noch die Deines Buches.
Ich hab' jetzt einfach mal in der 12.Auflage geschaut: für [mm] a_n [/mm] mit geradem n gibt's da sehr wohl ein [mm] \pi [/mm] im Nenner.
Vielleicht ist des Rätsels Lösung ein Druckfehler.
Gruß v. Angela
>
> Gruß
>
> Mario
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:59 Mo 05.07.2010 | | Autor: | Stift82 |
Hallo Angela,
ja, wahrscheinlich wird's das sein.
Danke dir.
Gruß
Mario
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