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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Fourier-Reihenentwicklung in der trigonometrischen und komplexen Form für die Funktion definiert durch
[mm]
f(t) =t^{2}
[/mm]
für [mm]] t [mm] \in [-\pi [/mm] , [mm] \pi). [/mm] Die Funktion wird ausserhalb des Intervals periodisch fortgesetzt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hi Leute.
Zu oben genannter Aufgabe habe ich folgenden Ansatz:
Da [mm]f(t)[/mm] eine gerade Funktion ist, folgt:
[mm]
a_{n} = \bruch{2}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{f(t)\cdot cos(nt) dt}
[/mm]
[mm]
b_{n} = 0
[/mm]
Aber was muss ich jetzt machen? Ich kann dem Script meines Profs da nich so ganz folgen.
Bin euch für jede Hilfe dankbar.
Gruß, phil.
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Nun, das ist recht einfach.
Du mußt dieses Integral ausrechnen. Das wird mit der Produktregel gehen, wobei du t²=u und cos()=v' ansetzt. Danach hast du noch ein Integral da stehen, mit dem du das exakt nochmal machst, und dann bist du mit dem Integrieren fertig.
Dann schaust du, was passiert, wenn du die Grenzen einsetzt.
Das Ergebnis wird von n abhängen, meistens kommt dabei auch darauf an, ob n grade ist oder nicht.
Meinetwegen kannst du mal posten, wie die Stammfunktion aussieht, dann schauen wir mal.
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HI Danke für die Antwort. Also ich tue was du sagst :
[mm]
\bruch{2}{\pi} \cdot \integral_{0}^{\pi}{t^{2} \cdot cos(nt) dt}
[/mm]
[mm]
\bruch{2}{\pi} \cdot \left( ( t^{2} \cdot \bruch{1}{n} \cdot sin(nt) ) - \integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{n} \cdot sin(nt) \cdot 2t \ dt } \right)
[/mm]
Hast du das nun so gemeint, das ich die Partielle Integration nochmal ausführen soll?
Dann erhalte ich doch wieder mein Integral vom Anfang.
Also muss ich das 2. Integral nun lösen. denke mit der substitutionsregel, aber das bekomm ich grad nich mehr hin. is das der richtige weg? was muss ich bei der substitution beachten?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 Di 31.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
> HI Danke für die Antwort. Also ich tue was du sagst :
>
> [mm]
\bruch{2}{\pi} \cdot \integral_{0}^{\pi}{t^{2} \cdot cos(nt) dt}
[/mm]
>
> [mm]
\bruch{2}{\pi} \cdot \left( ( t^{2} \cdot \bruch{1}{n} \cdot sin(nt) ) - \integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{n} \cdot sin(nt) \cdot 2t dt dt} \right)
[/mm]
>
> Hast du das nun so gemeint, das ich die Partielle
> Integration nochmal ausführen soll?
Hat er mit Sicherheit gemeint!
> Dann erhalte ich doch wieder mein Integral vom Anfang.
Nein! wenn u=t ist nicht!
Gruss leduart
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Hm, ok, dann mach ich das mal:
[mm]
\bruch{2}{\pi} \cdot \left( ( t^{2} \cdot \bruch{1}{n} \cdot sin(nt) ) - \integral_{0}^{\pi}{\bruch{1}{n} \cdot sin(nt) \cdot 2t \ dt } \right)
[/mm]
erneut integriert mit
[mm] u = 2t [/mm]
[mm] u' = 2 [/mm]
[mm] v' = \bruch{1}{n} \cdot sin(nt) [/mm]
[mm] v = - \bruch{1}{n^{2}} \cdot cos(nt) [/mm]
erhalte ich
[mm]
\bruch{2}{\pi} \cdot \left( ( t^{2} \cdot \bruch{1}{n} \cdot sin(nt) ) - \left( ( - 2t \cdot \bruch{1}{n^{2}} \cdot cos(nt) ) - \integral_{0}^{\pi}{- \bruch{1}{n^{2}} \cdot cos(nt) \cdot 2 \ dt } \right) \right)
[/mm]
und was habe ich dadurch gewonnen? ich verstehs grad leider nich ganz recht, tut mir leid :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Di 31.10.2006 | | Autor: | chrisno |
Das letzte Integral ist nun ohne weiteres lösbar. Dann setz mal die Grenzen ein..... und schon stehen die Koeffizienten für jedes n da.
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Ahja danke für den hinweis, hatte ich ganz übersehen.
So dann komme ich also zu folgendem:
[mm]
\bruch{2}{\pi} \cdot \left( ( t^{2} \cdot \bruch{1}{n} \cdot sin(nt) ) - \left( ( - 2t \cdot \bruch{1}{n^{2}} \cdot cos(nt) ) - ( - \bruch{2}{n^{3}} \cdot sin(nt) ) \right) \right)
[/mm]
das is bisschen schöner sollte dann folgendes sein:
[mm]
\bruch{2}{\pi} \cdot \left( ( t^{2} \cdot \bruch{1}{n} \cdot sin(nt) ) + ( 2t \cdot \bruch{1}{n^{2}} \cdot cos(nt) ) + ( \bruch{2}{n^{3}} \cdot sin(nt) ) \right)
[/mm]
für den teil in den großen klammern setze ich nun die Grenzen ein und erhalte:
[mm]
\bruch{2}{\pi} \cdot \left( ( \pi^{2} \cdot \bruch{1}{n} \cdot sin(n\pi) ) + ( 2\pi \cdot \bruch{1}{n^{2}} \cdot cos(n\pi) ) + ( \bruch{2}{n^{3}} \cdot sin(n\pi) ) \right)
[/mm]
Hoffe das ist soweit richtig, bitte überprüft die rechnung wenn ihr genügend zeit habt.
So eine Fourier-Reihe ist nun definiert durch:
[mm]
f(t) = \bruch{a_{0}}{2} + \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} \cdot cos(nt) + \summe_{n=1}^{\infty} b_{n} \cdot cos(nt)
[/mm]
[mm] b_{n} [/mm] ist nach der erkenntnis in meinem ersten Post = 0, daher folgt:
[mm]
f(t) = \bruch{a_{0}}{2} + \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} \cdot cos(nt)
[/mm]
Soweit klar.
Wenn ich jetzt den ekligen Term für [mm] a_{n} [/mm] in diese Summe einsetze hab ich meine lösung?
also
[mm]
f(t) = \bruch{a_{0}}{2} + \summe_{n=1}^{\infty} \left( \bruch{2}{\pi} \cdot \left( ( \pi^{2} \cdot \bruch{1}{n} \cdot sin(n\pi) ) + ( 2\pi \cdot \bruch{1}{n^{2}} \cdot cos(n\pi) ) + ( \bruch{2}{n^{3}} \cdot sin(n\pi) ) \right) \right) \cdot cos(nt)
[/mm]
Irgendwie glaub ich nicht so wirklich was ich da schreibe, das ist doch falsche oder?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Do 02.11.2006 | | Autor: | chrisno |
> Ahja danke für den hinweis, hatte ich ganz übersehen.
>
> So dann komme ich also zu folgendem:
> [mm]
\bruch{2}{\pi} \cdot \left( ( t^{2} \cdot \bruch{1}{n} \cdot sin(nt) ) - \left( ( - 2t \cdot \bruch{1}{n^{2}} \cdot cos(nt) ) - ( - \bruch{2}{n^{3}} \cdot sin(nt) ) \right) \right)
[/mm]
>
> das is bisschen schöner sollte dann folgendes sein:
> [mm]
\bruch{2}{\pi} \cdot \left( ( t^{2} \cdot \bruch{1}{n} \cdot sin(nt) ) + ( 2t \cdot \bruch{1}{n^{2}} \cdot cos(nt) ) + ( \bruch{2}{n^{3}} \cdot sin(nt) ) \right)
[/mm]
>
> für den teil in den großen klammern setze ich nun die
> Grenzen ein und erhalte:
> [mm]
\bruch{2}{\pi} \cdot \left( ( \pi^{2} \cdot \bruch{1}{n} \cdot sin(n\pi) ) + ( 2\pi \cdot \bruch{1}{n^{2}} \cdot cos(n\pi) ) + ( \bruch{2}{n^{3}} \cdot sin(n\pi) ) \right)
[/mm]
>
>
> Hoffe das ist soweit richtig, bitte überprüft die rechnung
> wenn ihr genügend zeit habt.
Mir fehlt da noch der Term für die untere Grenze der cos-Terms.
Was kommt denn für [mm] $sin(\pi)$ [/mm] heraus? Ebeneso [mm] $sin(2\pi)$ [/mm] ... usw.
Bei [mm] $cos(n\pi)$ [/mm] springt das Vorzeichen hin und her, das kann man mit Termen der Art [mm] $-1^n$ [/mm] in den Griff bekommen.
>
> So eine Fourier-Reihe ist nun definiert durch:
> [mm]
f(t) = \bruch{a_{0}}{2} + \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} \cdot cos(nt) + \summe_{n=1}^{\infty} b_{n} \cdot cos(nt)
[/mm]
>
> [mm]b_{n}[/mm] ist nach der erkenntnis in meinem ersten Post = 0,
> daher folgt:
>
> [mm]
f(t) = \bruch{a_{0}}{2} + \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} \cdot cos(nt)
[/mm]
>
>
> Soweit klar.
>
> Wenn ich jetzt den ekligen Term für [mm]a_{n}[/mm] in diese Summe
> einsetze hab ich meine lösung?
Dann sind die Terme ganz nett geworden.
> also
>
> [mm]
f(t) = \bruch{a_{0}}{2} + \summe_{n=1}^{\infty} \left( \bruch{2}{\pi} \cdot \left( ( \pi^{2} \cdot \bruch{1}{n} \cdot sin(n\pi) ) + ( 2\pi \cdot \bruch{1}{n^{2}} \cdot cos(n\pi) ) + ( \bruch{2}{n^{3}} \cdot sin(n\pi) ) \right) \right) \cdot cos(nt)
[/mm]
>
> Irgendwie glaub ich nicht so wirklich was ich da schreibe,
> das ist doch falsche oder?!
rechne den Term für [mm] $a_0$ [/mm] extra nach. (Division durch n in der Berechnung von [mm] $a_n$)
[/mm]
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Danke für den Hinweis.
Nun der Term für die Untergrenze sollte ja = 0 werden, denn wenn ich für t=0 einsetze fällt das alles raus.
habs jetzt noch bisschen zamgefasst:
[mm]
a_{n} = \bruch{2 \pi sin(n \pi )}{n} + \bruch{4 cos(n \pi )}{n^{2}} + \bruch{2 sin(n \pi )}{n^{3} \pi}
[/mm]
für [mm] a_{0} [/mm] dürfte ich also kein zulässiges ergebnis erhalten, da unter dem bruchstrich das n steht.
heisst das meine fourier reihe ist:
[mm]
f(t) = \summe_{n=1}^{\infty} \left( \bruch{2 \pi sin(n \pi )}{n} + \bruch{4 cos(n \pi )}{n^{2}} + \bruch{2 sin(n \pi )}{n^{3} \pi} \right) \cdot cos(nt)
[/mm]
??????????????????
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 Fr 03.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum hast du das post von chrisno gar nicht beachtet?
[mm] sinn\pi [/mm] und cos [mm] n*\pi [/mm] erst mal ausrechnen, bzw die Werte einsetzen?
Gruss leduart
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weil ich nicht ganz verstehe wie er das meint, ich bekomme doch für sinus und cosinus irgendwelche werte raus, da n doch von 1 bis infinity läuft
sorry versteh grad nich so recht was ihr meint
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Fr 03.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Warum hast du nicht mal n=1,2,3,4.. ausprobiert?
[mm] sin\pi=0 [/mm] ; [mm] sin2\pi=0 [/mm] sin ist periodisch mit der Periode?
[mm] cos\pi=? [/mm] ; [mm] cos2\pi=? [/mm] cos ist periodisch!
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:35 Fr 03.11.2006 | | Autor: | Phil-Andre |
Tausend dank, jetzt hab ichs.
Bin auch zu blöd meinen TR nicht auf rad umzustellen.
Vielen Dank für euere geduldige und umfassende Hilfestellung!
Gruß, phil.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Fr 03.11.2006 | | Autor: | chrisno |
> Danke für den Hinweis.
> Nun der Term für die Untergrenze sollte ja = 0 werden,
> denn wenn ich für t=0 einsetze fällt das alles raus.
Hast recht, ich hab nicht genau genug hingesehen
>
> habs jetzt noch bisschen zamgefasst:
> [mm]
a_{n} = \bruch{2 \pi sin(n \pi )}{n} + \bruch{4 cos(n \pi )}{n^{2}} + \bruch{2 sin(n \pi )}{n^{3} \pi}
[/mm]
>
> für [mm]a_{0}[/mm] dürfte ich also kein zulässiges ergebnis
> erhalten, da unter dem bruchstrich das n steht.
Das heißt nur, dass Du so das [mm] a_0 [/mm] nicht ausrechnen kanst. Da musst Du die Ausgangsformel nehmen und für n = 0 rechnen. So erhälst Du das [mm] a_0.
[/mm]
>
> heisst das meine fourier reihe ist:
> [mm]
f(t) = \summe_{n=1}^{\infty} \left( \bruch{2 \pi sin(n \pi )}{n} + \bruch{4 cos(n \pi )}{n^{2}} + \bruch{2 sin(n \pi )}{n^{3} \pi} \right) \cdot cos(nt)
[/mm]
>
> ??????????????????
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Welchen meinst du denn mit anfangsterm?
Ist [mm] a_{0} [/mm] nicht null? Versteh ich grad nich ganz, aber wird mir sicherlich klarer sobald du mir mitteilst, welchen anfangsterm du meinst.
Danke für den nachträglichen hinweis.
Gruß, phil
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Sa 04.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Phil
wie würdest du denn [mm] a_0 [/mm] ausrechnen, wenn du nur danach gefragt würdest und nicht nach einem beliebigen [mm] a_n?
[/mm]
Bitte denk etwas länger über gute Ratschläge nach.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:29 Sa 04.11.2006 | | Autor: | Phil-Andre |
hallo leduard, glaub mir das habe ich. leider fallen mir diese aufgaben nicht so leicht wie dir / euch.
Wie ich schon schrieb ist mir nicht ganz bewusst was er mit anfangsterm meint.
Als ich in der zwischenzeit weiterprobiert hatte, bin ich bei dem Grundterm für [mm] a_{n} [/mm] angelangt.
[mm]
a_{n} = \bruch{2}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{f(t) \cdot cos(nt) \ dt}
[/mm]
für n=0 sollte somit folgen
[mm]
a_{0} = \bruch{2}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{t^{2} \ dt}
[/mm]
das aufgelöste integral sollte somit sein:
[mm]
a_{0} = \bruch{2}{\pi} \left[ \bruch{1}{3} \cdot t^{3} \ \right]_{0}^{\pi}
[/mm]
also ist
[mm]
a_{0} = \bruch{2}{3} \cdot \pi^{2}
[/mm]
richtig? Ich hoffe daraus bekomm ich dann meine Reihe:
[mm]
f(t) = \bruch{\pi^{2}}{3} \cdot \summe_{i=1}^{n} (-1)^{n} \cdot \bruch {4}{n^{2}}
[/mm]
wenn das stimmt schonmal tausend dank an euch alle
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