Fourier-Trans. Audiotechnik < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 Do 22.03.2012 | | Autor: | Mephi |
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:
"Mit Hilfe der Fourier-Transformation kann man vom Zeitverlauf eines Signales in des Frequenzspektrum transformieren. Diese Transformation hat die diskrete Form:
[mm] F(u)=\bruch{1}{\wurzel[2]{N}}\summe_{n=1}^{N-1}f(n)e^{-iun\bruch{2\pi}{N}}
[/mm]
Dabei stellen f(n) die Funktionswerte im Zeitbereich dar, N die Anzahl der Abtastpunkte, u die zu n äquivalenten Stellen im Frequenzspektrum und F(u) die Ergebnisfunktion in der Frequenzdarstellung.
a) Ermitteln Sie die Darstellung aufgrund obiger formel für N=4.
==> [mm] F(u)=\bruch{1}{2}\summe_{n=1}^{3}f(n)e^{-iun\bruch{2\pi}{4}} [/mm] ???
b) Stellen Sie das Ergebnis für die 4 Frequenzwerte u=0,1,2,3 als Produkt einer Matrix mit dem Funkionsvektor [mm] \vektor{f(0)\\ f(1)\\ f(2)\\f(3)} [/mm] dar.
c) Berechnen Sie mithilfe dieser Matrix die Frequenzdarstellung für f(0)=1, f(1)=1, f(2)=1, f(3)=0
d) Machen Sie die Probe: Bestimmen Sie die Inverse der Matrix aus b) und multiplizieren Sie diese mit dem Ergebnis aus c)
==> ok, der Teil is dann easy ...
Leider hab ich überhaupt keinen Ansatz wie ich da ran gehen soll. Kann mir jemand bitte nen Fahrplan geben? ^^
Ich hab die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:15 Do 22.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ohne Abfahrtsort und Zeit kein Fahrplan möglich
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:42 Fr 23.03.2012 | | Autor: | Mephi |
Ja sorry, war noch dabei die Aufgabenstellung im Formelgenerator zu bearbeiten weil das mit dem Bild nicht geklappt hat. ^^'
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Di 27.03.2012 | | Autor: | Mephi |
Hat keiner eine Idee? =/ Irgendwie musses ja gehen. ^^'
Ein Ansatz würde mir schon reichen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:42 Di 27.03.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Mephi,
was Du bei dieser Aufgabe wohl erkennen sollst, ist a) dass zur Berechnung eines Frequenzwertes alle Zeitwerte einfließen und b) diese aber unterschiedlich gewichtet werden, nämlich mit der komplexen e-Funktion. Dies ist sozusagen ein in der komplexen Ebene durchdrehender Zeiger, dessen Schrittweite immer größer wird, je größer die zu berechnende Frequenz ist. Die hierbei auftretende Minimalgröße des Exponenten ist umso kleiner, je mehr Abtastwerte N man benutzt. Dies entspricht genau der Erkenntnis, dass man mit vielen Werte in Zeitbereich eine feine Frequenzauflösung bekommt.
Für den ersten Frequenzwert bekommst Du doch
[mm] F(1) = \bruch{1}{2} (f(1) e^{-j 1 \cdot \bruch{2 \pi}{4}} + f(2) e^{-j 2 \cdot \bruch{2 \pi}{4}} + f(3) e^{-j 3 \cdot \bruch{2 \pi}{4}} + f(4)e^{-j 4 \cdot \bruch{2 \pi}{4}}) [/mm] und für den F(2) entsprechend
[mm] F(2) = \bruch{1}{2} (f(1) e^{-j 2 \cdot \bruch{2 \pi}{4}} + f(2) e^{-j 4 \cdot \bruch{2 \pi}{4}} + f(3) e^{-j 6 \cdot \bruch{2 \pi}{4}} + f(4)e^{-j 8 \cdot \bruch{2 \pi}{4}}) [/mm]
Ich habe dies extra so geschriben, damit Du das Bildungsgesetz für die Werte, die in der Matrix stehen sollen, einfach ablesen kannst. Du musst Dir einmal dier Mühe für F(1) machen, zur Berechnung von F(2) multiplizierst Du den Exponenten mit 2, für die Berechnung von F(3) mit 3 usw. usw.
Daraus kannst Du doch jetzt die Elemente der Matrix bestimmen.
Viel Spaß dabei und Du kannst Dir jetzt sicher auch vorstellen, warum eine diskrete Fouriertransformation auf einem Rechner so schnell durchführbar ist.
Gruß,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Sa 28.04.2012 | | Autor: | Mephi |
Hallo nochmal,
... is schon ne Weile her, aber ich hatte noch ein anderes Projekt laufen was Vorrang hatte.
Danke für die Erkärung. Das hab ich soweit verstanden. Die Bildung der Gleichung für F(3) und F(4) is ja kein Problem mehr. ^^'
Aus welchen Werten wird dann aber die Matrix gebildet? Jeweils die kompletten Summanden oder nur der Exponent?
Von meinem Verständnis her würde ich nur die Exponenten in die Matrix übernehmen, da die die Gewichtung der Funktionswerte angeben sollen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 So 29.04.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
in der Matrix stehen dann die komplexen e-Funktionen mit dem entsprechenden "durchdrehenden Zeiger" wie ich es oben nannte. Das war ja der Grund weswegen ich diese Zeilen ausgeschrieben habe.
Die Summation ergibt sich doch dann automatisch durch die Multiplikation solch einer Zeile mit dem Spaltenvektor, in dem die Funktionswerte stehen.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Sa 05.05.2012 | | Autor: | kaskadee |
Wie man die Matrix bildet, habe ich noch nicht verstanden. Kannst du mir bitte ein konkretes Beispiel geben? Danke.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Sa 05.05.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
natürlich kann ich auch ein Beispiel geben. Wie gesagt, tauchen in der Matrix nur die e-Funktionen auf und solch eine e-Funktion wird geschrieben in Abhängigkeit von der Anzahl der Abtastpunkte N und einem Laufindex n und einem Laufindex u, der von 0 bis N-1 läuft.
Generell sieht so ein Term folgendermaßen aus:
[mm] e^{-jun {\bruch{2 \pi}{N} [/mm]
Für N = 4 ändert sich demzufolge der Winkel [mm] \bruch{2 \pi}{N} [/mm] in 90 Grad-Schritten, durch das Minuszeichen erfolgt dies im Uhrzeigersinn.
Die Matrix ist demzufolge eine 4 x 4 Matrix und für jeden Wert von u, der auch von 0 bis N-1 geht, wird eine Zeile aufgebaut, in der die Laufvariable n durchgezählt wird.
Damit bekommt man für die erste Zeile:
1 1 1 1 , da u = 0 ist
Für die zweite Zeile:
1 -i -1 i , da u=1 ist und man in 90-Grad-Schritten demzufolge voranschreitet.
Für die dritte Zeile mit u = 2 (180-Grad-Schritte)
1 -1 1 - 1
Und schließlich und endlich für u = 3 (270-Grad-Schritte)
1 i -1 -i
Das sind die Elemente der Matrix.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 So 06.05.2012 | | Autor: | Mephi |
Moah super, danke dir Infinit.
Ich hatte das schon wieder total falsch verstanden und mir ne Platte gemacht, wie ich eine Matrix voller komplexer e-Funktionen invertieren kann. -.-'
|
|
|
|
