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Fourier-Transformation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:34 Mo 08.02.2010
Autor: tedd

Aufgabe
Gegeben ist das Signal:

[mm] x(t)=\begin{cases} 2*\cos\left(\bruch{\pi}{2}*t\right), & \mbox{für } -2 \le t \le 2 \\ 0, & \mbox{für } \mbox{sonst} \end{cases} [/mm]

Berechnen sie die Fourier-Transformierte X(f) dieses Signals.

Hi!

Also schaut man in der Fouriertransformationstabelle nach findet man:

[mm] F[a*\cos(2*\pi*f_0*t)]=\bruch{a}{2}*\left(\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)\right) [/mm]

Jetzt bin ich mir unsicher mit dem [mm] f_0... [/mm]

geht das so?

[mm] \bruch{\pi}{2}*t=\bruch{2*\pi}{2*\pi}*\bruch{\pi}{2}*t=2*\pi*\bruch{1}{4}*t [/mm]

also

[mm] x(t)=\begin{cases} 2*\cos\left(\bruch{\pi}{2}*t\right), & \mbox{für } -2 \le t \le 2 \\ 0, & \mbox{für } \mbox{sonst} \end{cases}=\begin{cases} 2*\cos\left(2*\pi*\bruch{1}{4}*t\right), & \mbox{für } -2 \le t \le 2 \\ 0, & \mbox{für } \mbox{sonst} \end{cases} [/mm]

somit wäre [mm] f_0=\bruch{1}{4} [/mm]
und muss ich jetzt irgendwie beachten, dass die Funktion nur abschnittsweise definiert ist?

Sonst wäre das Ergebnis wenn obige Überlegung stimmt:

[mm] X(f)=\bruch{2}{2}*\left(\delta(f-\bruch{1}{4})+\delta(f+\bruch{1}{4})\right)=\left(\delta(f-\bruch{1}{4})+\delta(f+\bruch{1}{4})\right) [/mm]
?

Danke und Gruß,
tedd
        
Bezug
Fourier-Transformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:02 Mo 08.02.2010
Autor: fencheltee


> Gegeben ist das Signal:
>  
> [mm]x(t)=\begin{cases} 2*\cos\left(\bruch{\pi}{2}*t\right), & \mbox{für } -2 \le t \le 2 \\ 0, & \mbox{für } \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>  
> Berechnen sie die Fourier-Transformierte X(f) dieses
> Signals.
>  Hi!
>  
> Also schaut man in der Fouriertransformationstabelle nach
> findet man:
>  
> [mm]F[a*\cos(2*\pi*f_0*t)]=\bruch{a}{2}*\left(\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)\right)[/mm]
>  
> Jetzt bin ich mir unsicher mit dem [mm]f_0...[/mm]
>  
> geht das so?
>  
> [mm]\bruch{\pi}{2}*t=\bruch{2*\pi}{2*\pi}*\bruch{\pi}{2}*t=2*\pi*\bruch{1}{4}*t[/mm]
>  
> also
>
> [mm]x(t)=\begin{cases} 2*\cos\left(\bruch{\pi}{2}*t\right), & \mbox{für } -2 \le t \le 2 \\ 0, & \mbox{für } \mbox{sonst} \end{cases}=\begin{cases} 2*\cos\left(2*\pi*\bruch{1}{4}*t\right), & \mbox{für } -2 \le t \le 2 \\ 0, & \mbox{für } \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>  
> somit wäre [mm]f_0=\bruch{1}{4}[/mm]
>  und muss ich jetzt irgendwie beachten, dass die Funktion
> nur abschnittsweise definiert ist?
>  
> Sonst wäre das Ergebnis wenn obige Überlegung stimmt:
>  
> [mm]X(f)=\bruch{2}{2}*\left(\delta(f-\bruch{1}{4})+\delta(f+\bruch{1}{4})\right)=\left(\delta(f-\bruch{1}{4})+\delta(f+\bruch{1}{4})\right)[/mm]
>  ?
>  
> Danke und Gruß,
>  tedd

hallo,
das mit dem [mm] f_0 [/mm] sieht gut aus.. mit dem abschnittsweise definierten solltest du mit nem rect multiplizieren (fensterfunktion)..
die funktion ist doch glaub ne klausuraufgabe gewesen oder? ;-)

gruß tee
Bezug
                
Bezug
Fourier-Transformation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:32 Mo 08.02.2010
Autor: tedd


> hallo,
>  das mit dem [mm]f_0[/mm] sieht gut aus.. mit dem abschnittsweise
> definierten solltest du mit nem rect multiplizieren
> (fensterfunktion)..

Ahh.. okay.
Dann ist [mm] x(t)=2*\cos(2*\pi*\bruch{1}{4}*t)*rect\left(\bruch{t}{4}\right) [/mm]
und somit
[mm] X(f)=4*sinc(4*f)*\left(\delta(f-\bruch{1}{4})+\delta(f+\bruch{1}{4})\right) [/mm]

>  die funktion ist doch glaub ne klausuraufgabe gewesen
> oder? ;-)

stimmt ! :)
>  
> gruß tee  

Bezug
                        
Bezug
Fourier-Transformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:36 Mo 08.02.2010
Autor: fencheltee


> > hallo,
>  >  das mit dem [mm]f_0[/mm] sieht gut aus.. mit dem abschnittsweise
> > definierten solltest du mit nem rect multiplizieren
> > (fensterfunktion)..
>  
> Ahh.. okay.
>  Dann ist
> [mm]x(t)=2*\cos(2*\pi*\bruch{1}{4}*t)*rect\left(\bruch{t}{4}\right)[/mm]
>  und somit
>  
> [mm]X(f)=4*sinc(4*f)*\left(\delta(f-\bruch{1}{4})+\delta(f+\bruch{1}{4})\right)[/mm]

den dirac sollteste aber noch weiter auflösen und in den sinc ziehen ;-)
jedenfalls war davon öfter die rede.. und wär ja schad wegen sowas nen punkt zu verlieren
>  
> >  die funktion ist doch glaub ne klausuraufgabe gewesen

> > oder? ;-)
>  stimmt ! :)
>  >  
> > gruß tee  
>  

ps danke für die pn,
bis dann

Bezug
                                
Bezug
Fourier-Transformation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:49 Mo 08.02.2010
Autor: tedd


>  >  
> > Ahh.. okay.
>  >  Dann ist
> >
> [mm]x(t)=2*\cos(2*\pi*\bruch{1}{4}*t)*rect\left(\bruch{t}{4}\right)[/mm]
>  >  und somit
>  >  
> >
> [mm]X(f)=4*sinc(4*f)*\left(\delta(f-\bruch{1}{4})+\delta(f+\bruch{1}{4})\right)[/mm]
>  den dirac sollteste aber noch weiter auflösen und in den
> sinc ziehen ;-)
>  jedenfalls war davon öfter die rede.. und wär ja schad
> wegen sowas nen punkt zu verlieren

Hm klingt einleuchtend. Hmm muss dann oben ne Faltung zwischen dem sinc und den Diracs stehen?
Oder ist das vor und nach der Fouriertransformation ne Multiplikation?

> ps danke für die pn,
>  bis dann

Danke ebenso und bis Mittwoch :-) [ok]
>  

Bezug
                                        
Bezug
Fourier-Transformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:53 Mo 08.02.2010
Autor: fencheltee


> >  >  

> > > Ahh.. okay.
>  >  >  Dann ist
> > >
> >
> [mm]x(t)=2*\cos(2*\pi*\bruch{1}{4}*t)*rect\left(\bruch{t}{4}\right)[/mm]
>  >  >  und somit
>  >  >  
> > >
> >
> [mm]X(f)=4*sinc(4*f)*\left(\delta(f-\bruch{1}{4})+\delta(f+\bruch{1}{4})\right)[/mm]
>  >  den dirac sollteste aber noch weiter auflösen und in
> den
> > sinc ziehen ;-)
>  >  jedenfalls war davon öfter die rede.. und wär ja
> schad
> > wegen sowas nen punkt zu verlieren
>  
> Hm klingt einleuchtend.
>  Also muss man schauen wann das argument vom Dirac = 0 is.
>  Das wäre bei [mm]\pm\bruch{1}{4}[/mm] der Fall.
>  
> Also
>  
> [mm]X(f)=4*sinc(4*f)*\left(\delta(f-\bruch{1}{4})+\delta(f+\bruch{1}{4})\right)=4*(*sinc(1)+sinc(-1)[/mm]

mh ich hab keine ahnung was du da gemacht hast, ich meinte aber eigentlich nen verweis auf (- und jetzt seh ich auch erst, dass du aus der multiplikation im zeitbereich keine faltung im frequenzbereich gemacht hast):
[mm] x(t)\*\delta(t-t_0)=x(t-t_0) [/mm]
diese verschiebungseigenschaft gilt natürlich auch für faltungen im frequenzbereich
>  Hoffe das is dann so fertig.
>  > ps danke für die pn,

>  >  bis dann
>  Danke ebenso und bis Mittwoch :-) [ok]

ja, hoffentlich wird das ne entspannte klausur ;-)
>  >  
>  

Bezug
                                                
Bezug
Fourier-Transformation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:56 Mo 08.02.2010
Autor: tedd

Argh alles klar... ich hab hier nur rumgeeiert aber jetzt ists klar!

Danke für die Geduld und Hilfe!

So Gute Nacht und Gruß,
tedd
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