FourierTrans. auf Schwartzraum < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 So 03.01.2010 | | Autor: | Phorkyas |
| Aufgabe | Beweise:
Die Fouriertransformation
[mm]\phi \mapsto \hat\phi[/mm]
[mm]\hat\phi(k)=\bruch{1}{(2\pi)^{n/2}}\integral_{\IR^n}{\phi(x)e^{-ikx} dx}[/mm] mit [mm]k\in\IR^n[/mm]
ist eine stetige lineare Abbildung des Schwartzraums [mm]S[/mm] auf sich selbst. |
Grüße Matheraum
Ich habe mit obiger Aufgabe doch arge Probleme.
Ich muss zeigen:
1) linear
2) stetig
3) Abbildung auf sich selbst
-----
1) ist klar denke ich, da das Integral linear ist ist auch diese Abbildung linear.
2) und 3) habe ich eigendlich keine wirkliche Idee.
Der Schwartzraum ist ja
[mm]S(\IR^n):=\{ f\in C^\infty(\IR^n,\IC) |sup_{x\in\IR^n}|x^\alpha\partial^\beta f(x)|<\infty \forall \alpha, \beta \in \IN^n\}[/mm]
und ich weiß:
[mm] \forall f \in S(\IR^n) , N\in \IN , \alpha, \beta \in \IN^n \exists C_{N,\alpha,\beta}>0 :
|x^\alpha \partial^\beta f(x)|\le C_{N,\alpha,\beta} (\bruch{1}{1+x^2})^N \forall \alpha, \beta \in \IR^n[/mm]
viel mehr weiß ich aber auch nicht...
Wäre dankbar für alle hilfreichen Kommentare oder Ansätze.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.
Grüße
Phorkyas
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 So 03.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Beweise:
> Die Fouriertransformation
> [mm]\phi \mapsto \hat\phi[/mm]
>
> [mm]\hat\phi(k)=\bruch{1}{(2\pi)^{n/2}}\integral_{\IR^n}{\phi(x)e^{-ikx} dx}[/mm]
> mit [mm]k\in\IR^n[/mm]
> ist eine stetige lineare Abbildung des Schwartzraums [mm]S[/mm] auf
> sich selbst.
> Grüße Matheraum
>
> Ich habe mit obiger Aufgabe doch arge Probleme.
> Ich muss zeigen:
> 1) linear
> 2) stetig
> 3) Abbildung auf sich selbst
>
> -----
>
> 1) ist klar denke ich, da das Integral linear ist ist auch
> diese Abbildung linear.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2) und 3) habe ich eigendlich keine wirkliche Idee.
Für die Stetigkeit reicht es zu zeigen, dass die Fouriertransformation ein beschränkter Operator ist, das heisst dass die Operatornorm
[mm] \sup_{\|\phi\|=1} \|\hat \phi\| [/mm]
beschränkt ist.
>
> Der Schwartzraum ist ja
> [mm]S(\IR^n):=\{ f\in C^\infty(\IR^n,\IC) |sup_{x\in\IR^n}|x^\alpha\partial^\beta f(x)|<\infty \forall \alpha, \beta \in \IN^n\}[/mm]
>
> und ich weiß:
> [mm]\forall f \in S(\IR^n) , N\in \IN , \alpha, \beta \in \IN^n \exists C_{N,\alpha,\beta}>0 :
|x^\alpha \partial^\beta f(x)|\le C_{N,\alpha,\beta} (\bruch{1}{1+x^2})^N \forall \alpha, \beta \in \IR^n[/mm]
>
> viel mehr weiß ich aber auch nicht...
(Sollte das nicht überall [mm] $\IN_0^n$ [/mm] statt [mm] $\IN^n$ [/mm] heißen? Die Komponenten der Multiindizes [mm] $\alpha,\beta$ [/mm] dürfen auch 0 sein.)
> Wäre dankbar für alle hilfreichen Kommentare oder
> Ansätze.
Bedenke: der Schwartzraum [mm] $S(\IR^n)$ [/mm] ist ein Unterraum des [mm] $\mathcal{L}_1(\IR^n)$. [/mm] Daher ist für [mm] $f\in S(\IR^n)$ [/mm] die fouriertransformierte Funktion [mm] $\hat{f}$ [/mm] beschränkt und stetig.
Nimm dir irgendeine Funktion $f$ und betrachte [mm] $g:=x^\alpha [/mm] f$ und $h:= [mm] \partial_\beta [/mm] f$. Nun drücke [mm] $\hat [/mm] g$ und [mm] $\hat [/mm] h$ durch [mm] $\hat [/mm] f$ aus.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 So 03.01.2010 | | Autor: | Phorkyas |
Grüße!
>(Sollte das nicht überall $ [mm] \IN_0^n [/mm] $ statt $ [mm] \IN^n [/mm] $ heißen? Die Komponenten der Multiindizes $ [mm] \alpha,\beta [/mm] $ dürfen auch 0 sein.)
Da hast du natürlich recht! (hatte das auch so gedanklich behandelt, nur im aufschreiben unsauber formuliert)
Also die Stetigkeit habe ich jetzt mit hilfe der Schwartznorm hinbekommen.
Explizit habe ich gezeigt, dass:
[mm]\forall \alpha, \beta \in \IN_0^n \exists N_{\alpha, \beta} , c_{\alpha, \beta} : ||\hat\varphi||_{\alpha, \beta} \le c_{\alpha, \beta} \summe_{|\alpha'|+|\beta'|\le N_{\alpha, \beta}}{||\varphi||_{\alpha',\beta'}[/mm]
Durch diese Abschätzung und den Beweis, das die rechte Seite immer endlich ist habe ich also Stetigkeit gezeigt, richtig?
Gleichzeitig habe ich damit auch gezeigt, dass diese Abbildung eine Abbildung vom Schwartzraum auf sich selbst ist.
Was ich mich jetzt nurnoch frage:
Muss ich auch noch zeigen, dass die Abbildung wohldefiniert ist und wenn ja, wie zeige ich das?
Danke für die Antwort Rainer!
Weitere Antworten genauso willkommen.
Grüße
Phorkyas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Mo 04.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Was ich mich jetzt nurnoch frage:
> Muss ich auch noch zeigen, dass die Abbildung
> wohldefiniert ist und wenn ja, wie zeige ich das?
Du musst nur zeigen, dass das Integral existiert. Wie schon gesagt: der Schwartz-Raum ist ein Unterraum des [mm] $\mathcal{L}_1$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
> Gleichzeitig habe ich damit auch gezeigt, dass diese
> Abbildung eine Abbildung vom Schwartzraum auf sich selbst
> ist.
Hallo miteinander,
hier habe ich leider ein Verständnisproblem:
1. Wieso genau ist damit gezeigt, dass es sich um eine Selbstabbildung auf den Schwartzraum handelt?
Inwiefern folgt das aus der Beschränktheit des Operators?
Oder hat man mit der Abschätzung noch implizit etwas anderes gezeigt, das man dann verwendet?
> Was ich mich jetzt nurnoch frage:
> Muss ich auch noch zeigen, dass die Abbildung
> wohldefiniert ist und wenn ja, wie zeige ich das?
2. Wenn man gezeigt hat, dass es sich um eine Selbstabbildung handelt, warum muss man dann noch zeigen, dass die Abbildung auch wohldefiniert ist?
Meint Wohldefiniertheit nicht genau die Tatsache, dass die Abbildung in den angegebenen Bildraum geht?
3. Dies bezieht sich auf die bereits gegebene Antwort:
> Du musst nur zeigen, dass das Integral existiert. Wie schon gesagt: der Schwartz-Raum ist ein
> Unterraum des $ [mm] \mathcal{L}_1 [/mm] $.
Wieso genügt es, zu zeigen, dass das Integral existiert?
Würde man damit nicht nur beweisen, dass [mm] \hat\phi [/mm] in [mm]\mathcal{L}_1[/mm] liegt (was ja zu wenig wäre, denn man will ja zeigen, dass es im Schwartzraum liegt...)?
Hoffentlich versteht ihr mein Problem.
Vielen Dank schonmal für das bereits "Geleistete". :)
Gruß randy_marsh
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 Di 05.01.2010 | | Autor: | Phorkyas |
Hallo Randy,
schreibst du auch MMP 1 bei Trubowitz?
Gruß
Phorkyas
|
|
|
| |
|
Hier Phorkyas,
aber klar, MMP I steht dieses Semester auf dem Speiseplan. ^^
Ich befinde mich gerade in einem Lerncamp in den Alpen und brüte den ganzen Tag schon über dieser Aufgabe.
Irgendwie scheint Professor Trubowitz dieses Thema zwar zu mögen, aber ansonsten ist es schwer dazu etwas im Internet zu finden...
Hatte mir schon gedacht, dass du bei deinem Alter etwas gemogelt hattest...^^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 Do 07.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Gleichzeitig habe ich damit auch gezeigt, dass diese
> > Abbildung eine Abbildung vom Schwartzraum auf sich selbst
> > ist.
>
> Hallo miteinander,
> hier habe ich leider ein Verständnisproblem:
> 1. Wieso genau ist damit gezeigt, dass es sich um eine
> Selbstabbildung auf den Schwartzraum handelt?
Weil damit gezeigt wurde, dass die Bildfunktion hinreichend schnell abfällt.
> Inwiefern folgt das aus der Beschränktheit des Operators?
Direkt durch Einsetzen.
> > Was ich mich jetzt nurnoch frage:
> > Muss ich auch noch zeigen, dass die Abbildung
> > wohldefiniert ist und wenn ja, wie zeige ich das?
>
> 2. Wenn man gezeigt hat, dass es sich um eine
> Selbstabbildung handelt, warum muss man dann noch zeigen,
> dass die Abbildung auch wohldefiniert ist?
> Meint Wohldefiniertheit nicht genau die Tatsache, dass die
> Abbildung in den angegebenen Bildraum geht?
Nein, Wohldefiniertheit bedeutet, dass der definierende Ausdruck einen Sinn ergibt und existiert.
>
>
> 3. Dies bezieht sich auf die bereits gegebene Antwort:
> > Du musst nur zeigen, dass das Integral existiert. Wie
> schon gesagt: der Schwartz-Raum ist ein
> > Unterraum des [mm]\mathcal{L}_1 [/mm].
>
> Wieso genügt es, zu zeigen, dass das Integral existiert?
Weil dann der definierende Ausdruck, nämlich das Integral, für jede Funktion [mm] $\Phi$ [/mm] aus dem Schwartzraum eine Funktion [mm] $\Hat\Phi$ [/mm] definiert.
> Würde man damit nicht nur beweisen, dass [mm]\hat\phi[/mm] in
> [mm]\mathcal{L}_1[/mm] liegt (was ja zu wenig wäre, denn man will
> ja zeigen, dass es im Schwartzraum liegt...)?
Nein, gar nicht. Dazu brauchst du die Abschätzung oben. Das Integral existiert, weil jede Funktion [mm] $\Phi$ [/mm] aus dem Schwartzraum [mm]\mathcal{L}_1[/mm]-integrabel ist, und daher
[mm]|\hat{f}(k)| = \left| \int f(x) e^{ikx} dx \right| \le \int |f(x) e^{ikx}| dx = \int |f(x) | dx < \infty[/mm]
Also kann ich für jedes k den Funktionswert [mm] $\hat{f}(k)$ [/mm] angeben, und damit ist die Fouriertransformation wohldefiniert.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
