Fourier - Integrierbarkeit < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:41 Di 27.05.2008 | | Autor: | kittycat |
| Aufgabe | | Mit [mm] f_{1}(x)=e^{-x} [/mm] für x>0 und [mm] f_{1}(x)=0 [/mm] für x [mm] \le [/mm] 0 sowie [mm] f_{2}(x)=\begin{cases} e^{-x}, & \mbox{für } x>0 \mbox{ } \\ e^x, & \mbox{für } x \le 0\mbox{ } \end{cases} [/mm] berechne man [mm] g_{k}(y)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f_{k}(x) e^{ixy}dx}. [/mm] Sind die Funktionen [mm] g_{k} [/mm] über [mm] \IR [/mm] integrierbar? |
Hallo Mathefreunde,
schon wieder eine Fourier-Aufgabe, an der ich hänge :-(
Hab einfach mal versucht die Funktion in [mm] g_{k} [/mm] einzusetzten und auszurechnen, aber leider komme ich nicht wirklich weit ....*mmh*
Habe folgendes:
[mm] g_{1}(y) [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-x} e^{ixy}dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-x+ixy} dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{x(iy-1)}dx}
[/mm]
= [mm] [\bruch{1}{iy-1} e^{x(iy-1)}] -\infty \infty
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{iy-1} e^{x(iy-1)} [/mm] - 0
Hier komme ich nun nicht weiter...
Also für [mm] x\le [/mm] 0 erhalte ich ja dann 0 und das obige für x>0.
Stimmt das so? Und muss ich dann bei [mm] g_{2} [/mm] genauso vorgehen, wobei ja das [mm] e^{-x} [/mm] hier auch vorkommt.
Und wie zeige ich nochmal die Integrierbarkeit?
Vielen Dank schon mal im Voraus für jeden Tip und jede Antwort.
Liebe Grüße
Kittycat
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:18 Di 27.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Mit [mm]f_{1}(x)=e^{-x}[/mm] für x>0 und [mm]f_{1}(x)=0[/mm] für x [mm]\le[/mm] 0
> sowie [mm]f_{2}(x)=\begin{cases} e^{-x}, & \mbox{für } x>0 \mbox{ } \\ e^x, & \mbox{für } x \le 0\mbox{ } \end{cases}[/mm]
> berechne man [mm]g_{k}(y)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f_{k}(x) e^{ixy}dx}.[/mm]
> Sind die Funktionen [mm]g_{k}[/mm] über [mm]\IR[/mm] integrierbar?
> Hallo Mathefreunde,
>
> schon wieder eine Fourier-Aufgabe, an der ich hänge :-(
>
> Hab einfach mal versucht die Funktion in [mm]g_{k}[/mm] einzusetzten
> und auszurechnen, aber leider komme ich nicht wirklich weit
> ....*mmh*
>
> Habe folgendes:
>
> [mm]g_{1}(y)[/mm] = [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-x} e^{ixy}dx}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du hast hier als Funktion [mm] $e^{-x}$ [/mm] eingesetzt. Das ist aber nicht [mm] $f_1$, [/mm] sondern:
[mm] f_1(x) = \begin{cases} e^{-x}, & \mbox{für } x>0 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x \le 0\mbox{ } \end{cases}[/mm]
Da die Funktion stückweise definiert ist, musst du sie auch stückweise integrieren.
(Das Gleiche gilt für [mm] $f_2$.)
[/mm]
Tipp: Denk dran, dass das uneigentliche Integral definiert ist als
[mm] \integral_0^\infty f(x) dx = \lim_{R\rightarrow \infty} \integral_0^R f(x) dx [/mm]
> Und wie zeige ich nochmal die Integrierbarkeit?
Wie ist denn der Begriff definiert?
Sind die [mm] $g_k$ [/mm] stetig? Wenn ja: Stetige Funktionen sind auf endlichen Intervallen immer integrierbar. Dann musst du nur noch nachrechnen, dass das Integral auch beim Übergang zu ganz [mm] $\IR$ [/mm] existiert.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Di 27.05.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Rainer,
muss ich also folgendes Integral berechnen:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-x}e^{ixy}dx}
[/mm]
[mm] \integral_{-\infty}^{0}{0 e^{ixy}dx}
[/mm]
Und [mm] g_{1} [/mm] besteht dann aus der Summe dieser beiden Integrale, stimmt das dann?
War das nur mit den Grenzen falsch?
Liebe Grüße
Kittycat
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Di 27.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer,
> muss ich also folgendes Integral berechnen:
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-x}e^{ixy}dx}[/mm]
> [mm]\integral_{-\infty}^{0}{0 e^{ixy}dx}[/mm]
>
> Und [mm]g_{1}[/mm] besteht dann aus der Summe dieser beiden
> Integrale, stimmt das dann?
Korrekt. Das zweite Integral ist natürlich 0. Bei [mm] $f_2$ [/mm] bzw. [mm] $g_2$ [/mm] geht es analog.
> War das nur mit den Grenzen falsch?
Du hast am Schluss auch die Grenzen nicht richtig eingesetzt. Deswegen solltest du lieber die Definition des uneigentlichen Integrals mit dem Limes nehmen. Du musst dann ja den Grenzwert
[mm] \lim_{R\rightarrow\infty} e^{-R} * e^{iRy} [/mm]
berechnen. Dabei hilft, dass [mm] $|e^{iRy}| [/mm] = 1$ für [mm] $R,y\in\IR$ [/mm] ist, und dass wegen der Stetigkeit der Betragsfunktion
[mm] \lim_{R\rightarrow\infty} | e^{-R} * e^{iRy} | = \left|\lim_{R\rightarrow\infty} e^{-R} * e^{iRy} \right| [/mm]
ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 Di 27.05.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Rainer,
> > [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-x}e^{ixy}dx}[/mm]
> > [mm]\integral_{-\infty}^{0}{0 e^{ixy}dx}[/mm]
> >
> > Und [mm]g_{1}[/mm] besteht dann aus der Summe dieser beiden
> > Integrale
>
> Korrekt. Das zweite Integral ist natürlich 0. Bei [mm]f_2[/mm] bzw.
> [mm]g_2[/mm] geht es analog.
>
> > War das nur mit den Grenzen falsch?
>
> Du hast am Schluss auch die Grenzen nicht richtig
> eingesetzt. Deswegen solltest du lieber die Definition des
> uneigentlichen Integrals mit dem Limes nehmen. Du musst
> dann ja den Grenzwert
>
> [mm]\lim_{R\rightarrow\infty} e^{-R} * e^{iRy}[/mm]
>
> berechnen. Dabei hilft, dass [mm]|e^{iRy}| = 1[/mm] für [mm]R,y\in\IR[/mm]
> ist, und dass wegen der Stetigkeit der Betragsfunktion
>
> [mm]\lim_{R\rightarrow\infty} | e^{-R} * e^{iRy} | = \left|\lim_{R\rightarrow\infty} e^{-R} * e^{iRy} \right|[/mm]
>
> ist.
ahhh, jetzt verstehe ich so langsam ... wobei mir das mit der Betragsfunktion noch nicht ganz klar ist. wieso brauche ich das hier?
Bin jetzt mittlerweile soweit:
[mm] g_{1}(y)= \integral_{-\infty}^{0}{e^{-x}e^{ixy}dx}+ \integral_{0}^{\infty}{e^{-x}e^{ixy}dx}
[/mm]
= 0 + [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-x}e^{ixy}dx}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}e^{-x}e^{ixy}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}e^{-x}\limes_{x\rightarrow\infty}e^{ixy} \to [/mm] 0
(da [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}e^{-x} \to [/mm] 0 und [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}e^{ixy}=1 [/mm] wenn x, y [mm] \in [/mm] IR)
Stimmt das so?
Liebe Grüße
Kittycat
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 Di 27.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer,
>
> > > [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-x}e^{ixy}dx}[/mm]
> > > [mm]\integral_{-\infty}^{0}{0 e^{ixy}dx}[/mm]
> > >
> > > Und [mm]g_{1}[/mm] besteht dann aus der Summe dieser beiden
> > > Integrale
> >
> > Korrekt. Das zweite Integral ist natürlich 0. Bei [mm]f_2[/mm] bzw.
> > [mm]g_2[/mm] geht es analog.
> >
> > > War das nur mit den Grenzen falsch?
> >
> > Du hast am Schluss auch die Grenzen nicht richtig
> > eingesetzt. Deswegen solltest du lieber die Definition des
> > uneigentlichen Integrals mit dem Limes nehmen. Du musst
> > dann ja den Grenzwert
> >
> > [mm]\lim_{R\rightarrow\infty} e^{-R} * e^{iRy}[/mm]
> >
> > berechnen. Dabei hilft, dass [mm]|e^{iRy}| = 1[/mm] für [mm]R,y\in\IR[/mm]
> > ist, und dass wegen der Stetigkeit der Betragsfunktion
> >
> > [mm]\lim_{R\rightarrow\infty} | e^{-R} * e^{iRy} | = \left|\lim_{R\rightarrow\infty} e^{-R} * e^{iRy} \right|[/mm]
>
> >
> > ist.
>
> ahhh, jetzt verstehe ich so langsam ... wobei mir das mit
> der Betragsfunktion noch nicht ganz klar ist. wieso brauche
> ich das hier?
Um zu zeigen, dass [mm] $\lim_{R\rightarrow\infty} e^{-R} [/mm] * [mm] e^{iRy} [/mm] = 0$, brauchst du die Aussage, dass [mm] $e^{iRy}$ [/mm] beschränkt ist.
Du darfst nicht schreiben:
[mm] \lim_{R\rightarrow\infty} e^{-R} * e^{iRy} = (\lim_{R\rightarrow\infty} e^{-R}) \cdot(\lim_{R\rightarrow\infty} e^{iRy}) [/mm],
denn der Grenzwert
[mm] \lim_{R\rightarrow\infty} e^{iRy} [/mm]
existiert nicht!
(Anderes Gegenbeispiel: [mm] \lim_{R\rightarrow\infty} e^{-R} * e^{+R} = 1 [/mm], denn [mm] $\lim_{R\rightarrow\infty} e^{-R} [/mm] * [mm] e^{+R} \not [/mm] = [mm] (\lim_{R\rightarrow\infty} e^{-R}) \cdot(\lim_{R\rightarrow\infty} e^{+R}) [/mm] $.)
Deswegen die Argumentation mit dem Betrag: da die Betragsfunktion stetig ist, gilt:
[mm] \left |\lim_{R\rightarrow\infty} e^{-R} * e^{iRy} \right| = \lim_{R\rightarrow\infty} \left|e^{-R} * e^{iRy} \right| [/mm].
Nun ist:
[mm] \lim_{R\rightarrow\infty} \left|e^{-R} * e^{iRy} \right|= \lim_{R\rightarrow\infty} |e^{-R}| * |e^{iRy} | = \lim_{R\rightarrow\infty} |e^{-R}| = 0 [/mm].
Wegen der Stetigkeit der Betragsfunktion folgt
[mm] \lim_{R\rightarrow\infty} e^{-R} * e^{iRy} = 0[/mm].
>
> Bin jetzt mittlerweile soweit:
>
> [mm]g_{1}(y)= \integral_{-\infty}^{0}{e^{-x}e^{ixy}dx}+ \integral_{0}^{\infty}{e^{-x}e^{ixy}dx}[/mm]
Kleiner Schreibfehler:
[mm] g_{1}(y)= \integral_{-\infty}^{0}{\red{0}*e^{ixy}dx}+ \integral_{0}^{\infty}{e^{-x}e^{ixy}dx}[/mm]
> = 0 + [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-x}e^{ixy}dx}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}e^{-x}e^{ixy}[/mm]
Integrieren musst du schon, das hast du in deinem früheren Post schon richtig gehabt:
[mm] = \limes_{R\rightarrow\infty} \left[\bruch{1}{iy-1} e^{-x}e^{ixy}\right]_0^R [/mm]
[mm] = \bruch{1}{iy-1} \left( \limes_{R\rightarrow\infty} (e^{-R} e^{iRy} ) - 1\right) [/mm]
> =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}e^{-x}\limes_{x\rightarrow\infty}e^{ixy} \to 0[/mm]
Wie gesagt, das darfst du nur auseinanderziehen, wenn beide Faktoren als Grenzwerte existieren.
>
> (da [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}e^{-x} \to[/mm] 0 und
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}e^{ixy}=1[/mm] wenn x, y [mm]\in[/mm] IR)
Dieser Grenzwert existiert nicht.
Aber mit der Argumentation von oben existiert
[mm] \limes_{R\rightarrow\infty} (e^{-R} e^{iRy} ) = 0 [/mm]
Damit kannst du dein Integral einfach ausrechnen:
[mm] g_1(y) = \bruch{1}{1-iy} [/mm]
Jetzt du: [mm] $g_2(y)$ [/mm] ist noch gesucht. 
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Mi 28.05.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Rainer,
vielen, vielen Dank nochmal für die gute Erklärung!!!
Also, ich habe mich jetzt an [mm] g_{2} [/mm] rangemacht und hab folgendes raus:
[mm] g_{2}(y)= \integral_{-\infty}^{0}{e^{x}e^{ixy}dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{x}e^{ixy}dx}
[/mm]
[mm] =[\bruch{1}{1+iy} e^{x(1+iy)}]_{-\infty}^{0} [/mm] + [mm] [\bruch{1}{iy-1} e^{x(iy-1)}]_{0}^{\infty}
[/mm]
= ...
= [mm] \bruch{1}{1+iy} [/mm] (1 - [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} e^{x(1+iy)}) [/mm] + [mm] \bruch{1}{iy -1}(\limes_{x\rightarrow\infty} e^{x(iy-1)}-1)
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{1+iy} [/mm] (1-0) + [mm] \bruch{1}{iy -1}(0-1)
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{1+iy} [/mm] + [mm] \bruch{1}{iy -1}
[/mm]
[mm] =\bruch{2}{y^2 +1}
[/mm]
Stimmt das so?
Und dann muss ich ja noch zeigen, ob [mm] g_{1} [/mm] und [mm] g_{2} [/mm] über R integrierbar sind ...
Ich würde sagen, [mm] g_{1} [/mm] ist nicht integrierbar über R, während [mm] g_{2} [/mm] integrierbar über R ist. Hab ich recht?
Aber wie zeigt man so etwas? Ich habe dies vermutet, da ja die zweite Funktion ganz klar arctan als Stammfunktion hätte, während mir bei der ersten Funktion spontan keine Stammfunktion im R eingefallen ist.
Wie zeige ich aber dies mathematisch?
Liebe Grüße
Kittycat
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Mi 28.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer,
>
> vielen, vielen Dank nochmal für die gute Erklärung!!!
>
> Also, ich habe mich jetzt an [mm]g_{2}[/mm] rangemacht und hab
> folgendes raus:
>
> [mm]g_{2}(y)= \integral_{-\infty}^{0}{e^{x}e^{ixy}dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{x}e^{ixy}dx}[/mm]
>
> [mm]=[\bruch{1}{1+iy} e^{x(1+iy)}]_{-\infty}^{0}[/mm] +
> [mm][\bruch{1}{iy-1} e^{x(iy-1)}]_{0}^{\infty}[/mm]
>
> = ...
>
> = [mm]\bruch{1}{1+iy}[/mm] (1 - [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} e^{x(1+iy)})[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{iy -1}(\limes_{x\rightarrow\infty} e^{x(iy-1)}-1)[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{1+iy}[/mm] (1-0) + [mm]\bruch{1}{iy -1}(0-1)[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{1+iy}[/mm] + [mm]\bruch{1}{iy -1}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2}{y^2 +1}[/mm]
>
> Stimmt das so?
Sieht gut aus.
> Und dann muss ich ja noch zeigen, ob [mm]g_{1}[/mm] und [mm]g_{2}[/mm] über R
> integrierbar sind ...
>
> Ich würde sagen, [mm]g_{1}[/mm] ist nicht integrierbar über R,
> während [mm]g_{2}[/mm] integrierbar über R ist. Hab ich recht?
>
> Aber wie zeigt man so etwas? Ich habe dies vermutet, da ja
> die zweite Funktion ganz klar arctan als Stammfunktion
> hätte, während mir bei der ersten Funktion spontan keine
> Stammfunktion im R eingefallen ist.
> Wie zeige ich aber dies mathematisch?
[mm] $g_2(y)$ [/mm] hat reelle Werte, aber [mm] $g_1(y)$ [/mm] nicht. Am besten ist es, wenn du in Real- und Imaginärteil zerlegst:
[mm] g_1(y) = \bruch{1}{1-iy} = \bruch{1+iy}{(1+iy)(1-iy)} = \bruch{1}{1+y^2} + i \bruch{y}{1+y^2} [/mm]
Die Stammfunktion für den Realteil ist [mm] $\arctan [/mm] y$, die für den Imaginärteil solltest du auch angeben können
Noch ein Nachtrag: es gibt noch einen einfacheren Weg, den Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} e^{x(iy-1)} [/mm]
zu bestimmen. Mit der Moivreformel ist:
[mm] e^{x(iy-1)} = e^{-x} \cos(xy) +i e^{-x} \sin(xy) [/mm]
Hier kannst du die Grenzwerte für Real- und Imaginärteil getrennt betrachten; sie müssen beide existieren, damit auch der gesamte Grenzwert existiert.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Mi 28.05.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Rainer,
> > Und dann muss ich ja noch zeigen, ob [mm]g_{1}[/mm] und [mm]g_{2}[/mm] über R
> > integrierbar sind ...
> >
> > Ich würde sagen, [mm]g_{1}[/mm] ist nicht integrierbar über R,
> > während [mm]g_{2}[/mm] integrierbar über R ist. Hab ich recht?
> >
> > Aber wie zeigt man so etwas? Ich habe dies vermutet, da ja
> > die zweite Funktion ganz klar arctan als Stammfunktion
> > hätte, während mir bei der ersten Funktion spontan keine
> > Stammfunktion im R eingefallen ist.
> > Wie zeige ich aber dies mathematisch?
>
> [mm]g_2(y)[/mm] hat reelle Werte, aber [mm]g_1(y)[/mm] nicht. Am besten ist
> es, wenn du in Real- und Imaginärteil zerlegst:
>
> [mm]g_1(y) = \bruch{1}{1-iy} = \bruch{1+iy}{(1+iy)(1-iy)} = \bruch{1}{1+y^2} + i \bruch{y}{1+y^2}[/mm]
>
> Die Stammfunktion für den Realteil ist [mm]\arctan y[/mm], die für
> den Imaginärteil solltest du auch angeben können
Die Stammfunktion für den Imaginärteil wäre dann ja
[mm] \bruch{1}{2}ln |1+y^2|
[/mm]
Heißt das nun, dass sowohl [mm] g_{1} [/mm] als [mm] auchg_{2} [/mm] über R integrierbar ist?
Und ist das damit gezeigt?
> Noch ein Nachtrag: es gibt noch einen einfacheren Weg, den
> Grenzwert
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} e^{x(iy-1)}[/mm]
>
> zu bestimmen. Mit der Moivreformel ist:
>
> [mm]e^{x(iy-1)} = e^{-x} \cos(xy) +i e^{-x} \sin(xy)[/mm]
>
> Hier kannst du die Grenzwerte für Real- und Imaginärteil
> getrennt betrachten; sie müssen beide existieren, damit
> auch der gesamte Grenzwert existiert.
Die Abschätzung mit der Stetigkeit der Betragsfunktion fand ich irgendwie schöner ... aber ich glaub ich hab mich jetzt einfach daran gewöhnt 
Aber woher weiß ich eigentlich dass
[mm] |e^{ixy}|=1 [/mm]
ist, wenn x,y [mm] \in [/mm] IR ???
Liebe Grüße
Kittycat
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:19 Do 29.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer,
>
> > > Und dann muss ich ja noch zeigen, ob [mm]g_{1}[/mm] und [mm]g_{2}[/mm] über R
> > > integrierbar sind ...
> > >
> > > Ich würde sagen, [mm]g_{1}[/mm] ist nicht integrierbar über R,
> > > während [mm]g_{2}[/mm] integrierbar über R ist. Hab ich recht?
> > >
> > > Aber wie zeigt man so etwas? Ich habe dies vermutet, da ja
> > > die zweite Funktion ganz klar arctan als Stammfunktion
> > > hätte, während mir bei der ersten Funktion spontan keine
> > > Stammfunktion im R eingefallen ist.
> > > Wie zeige ich aber dies mathematisch?
> >
> > [mm]g_2(y)[/mm] hat reelle Werte, aber [mm]g_1(y)[/mm] nicht. Am besten ist
> > es, wenn du in Real- und Imaginärteil zerlegst:
> >
> > [mm]g_1(y) = \bruch{1}{1-iy} = \bruch{1+iy}{(1+iy)(1-iy)} = \bruch{1}{1+y^2} + i \bruch{y}{1+y^2}[/mm]
>
> >
> > Die Stammfunktion für den Realteil ist [mm]\arctan y[/mm], die für
> > den Imaginärteil solltest du auch angeben können
>
> Die Stammfunktion für den Imaginärteil wäre dann ja
>
> [mm]\bruch{1}{2}ln |1+y^2|[/mm]
>
> Heißt das nun, dass sowohl [mm]g_{1}[/mm] als auch [mm]g_{2}[/mm] über R
> integrierbar ist?
> Und ist das damit gezeigt?
Du hast ja die Stammfunktionen, also kannst du das Integral für endliche Grenzen immer sofort hinschreiben, zum Beispiel
[mm]\integral_a^b g_2(y) dy = \arctan b - \arctan a [/mm]
Das uneigentliche Integral ist dann der Grenzwert für [mm] $a\to-\infty$ [/mm] und [mm] $b\to+\infty$:
[/mm]
[mm]\integral_{-\infty}^{+\infty} g_2(y) dy = \pi [/mm]
Beim Logarithmus funktioniert der letzte Schritt nicht, denn der geht für [mm] $y\to\pm\infty$ [/mm] auch gegen [mm] $\infty$, [/mm] also existiert das Integral nicht.
> > Noch ein Nachtrag: es gibt noch einen einfacheren Weg, den
> > Grenzwert
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} e^{x(iy-1)}[/mm]
> >
> > zu bestimmen. Mit der Moivreformel ist:
> >
> > [mm]e^{x(iy-1)} = e^{-x} \cos(xy) +i e^{-x} \sin(xy)[/mm]
> >
> > Hier kannst du die Grenzwerte für Real- und Imaginärteil
> > getrennt betrachten; sie müssen beide existieren, damit
> > auch der gesamte Grenzwert existiert.
>
>
> Die Abschätzung mit der Stetigkeit der Betragsfunktion fand
> ich irgendwie schöner ... aber ich glaub ich hab mich jetzt
> einfach daran gewöhnt
> Aber woher weiß ich eigentlich dass
> [mm]|e^{ixy}|=1[/mm]
> ist, wenn x,y [mm]\in[/mm] IR ???
Zum Beispiel über die Moivre-Formel:
[mm]|e^{ixy}| = |\cos(xy)+i\sin(xy)| = \wurzel{\cos^2(xy) + \sin^2(xy)} =1[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Do 29.05.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo Rainer,
vielen vielen Dank nochmal ...
Also wenn ich das formal hinschreibe, heißt das dann doch folgendes, oder? (nur um nochmal sicherzugehen, dass ich das jetzt richtig verstanden habe)
Frage: Ist [mm] g_{1}(y) [/mm] über R integrierbar?
JA, denn:
[mm] \limes_{a\rightarrow-\infty, \\ b\rightarrow\infty } \integral_{a}^{b}{\bruch{2}{y^2+1}dy}
[/mm]
= 2 [mm] \limes_{a\rightarrow-\infty, \\ b\rightarrow\infty }\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{y^2+1}dy}
[/mm]
= 2 [mm] \limes_{a\rightarrow-\infty, \\ b\rightarrow\infty }[arctan (y)]_{a}^{b}
[/mm]
= 2 [mm] \limes_{a\rightarrow-\infty, \\ b\rightarrow\infty } [/mm] arctan(b) - arctan(a)
= 2 [mm] (\bruch{\pi}{2} [/mm] - [mm] (-\bruch{\pi}{2}))
[/mm]
=2 [mm] \pi
[/mm]
Frage: Ist [mm] g_{2}(y) [/mm] über R integrierbar?
NEIN, denn:
[mm] \limes_{a\rightarrow-\infty, \\ b\rightarrow\infty } \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{y^2+1} + i \bruch{y}{1+y^2}dy}
[/mm]
= [mm] \limes_{a\rightarrow-\infty, \\ b\rightarrow\infty } \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{y^2+1}dy} [/mm] + [mm] \limes_{a\rightarrow-\infty, \\ b\rightarrow\infty } \integral_{a}^{b}{i \bruch{y}{1+y^2}dy}
[/mm]
= ...
= [mm] \pi [/mm] + (Integral ex. nicht, da log [mm] \to \infty [/mm] für y [mm] \to \pm \infty
[/mm]
Stimmt das so?
Liebe Grüße
Kittycat
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 Do 29.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer,
> vielen vielen Dank nochmal ...
>
> Also wenn ich das formal hinschreibe, heißt das dann doch
> folgendes, oder? (nur um nochmal sicherzugehen, dass ich
> das jetzt richtig verstanden habe)
>
> Frage: Ist [mm]g_{1}(y)[/mm] über R integrierbar?
>
> JA, denn:
>
> [mm]\limes_{a\rightarrow-\infty, \\ b\rightarrow\infty } \integral_{a}^{b}{\bruch{2}{y^2+1}dy}[/mm]
>
>
> = 2 [mm]\limes_{a\rightarrow-\infty, \\ b\rightarrow\infty }\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{y^2+1}dy}[/mm]
>
> = 2 [mm]\limes_{a\rightarrow-\infty, \\ b\rightarrow\infty }[arctan (y)]_{a}^{b}[/mm]
>
> = 2 [mm]\limes_{a\rightarrow-\infty, \\ b\rightarrow\infty }[/mm]
> arctan(b) - arctan(a)
>
> = 2 [mm](\bruch{\pi}{2}[/mm] - [mm](-\bruch{\pi}{2}))[/mm]
>
> =2 [mm]\pi[/mm]
>
> Frage: Ist [mm]g_{2}(y)[/mm] über R integrierbar?
>
> NEIN, denn:
>
> [mm]\limes_{a\rightarrow-\infty, \\ b\rightarrow\infty } \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{y^2+1} + i \bruch{y}{1+y^2}dy}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{a\rightarrow-\infty, \\ b\rightarrow\infty } \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{y^2+1}dy}[/mm]
> + [mm]\limes_{a\rightarrow-\infty, \\ b\rightarrow\infty } \integral_{a}^{b}{i \bruch{y}{1+y^2}dy}[/mm]
>
> = ...
>
> = [mm]\pi[/mm] + (Integral ex. nicht, da log [mm]\to \infty[/mm] für y [mm]\to \pm \infty[/mm]
>
> Stimmt das so?
Ja, außer dass du [mm] $g_1$ [/mm] und [mm] $g_2$ [/mm] verwechselt hast
Viele Grüße
Rainer
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