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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Di 02.11.2010 | | Autor: | idler |
| Aufgabe | Rechteckfunktion: [mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } 0 \le x\le \pi \mbox{} \\ -1, & \mbox{für } \pi < x \le 2\pi \mbox{} \end{cases}
[/mm]
gesucht FR(x)=?
mehr ist nicht gegeben. |
So,
ich habe mir erstmal die Grundformeln rausgesucht:
[mm] f(x)=\bruch{a_{0}}{2}+\summe_{i=1}^{\infty}[a_{n}\*cos(nx)+b_{n}\*sin(nx)]
[/mm]
[mm] a_{0}=\bruch{1}{\pi}\*\integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx}
[/mm]
[mm] a_{n}=\bruch{1}{\pi}\*\integral_{0}^{2\pi}{f(x)\*cos(nx) dx}
[/mm]
[mm] b_{n}=\bruch{1}{\pi}\*\integral_{0}^{2\pi}{f(x)\*sin(nx) dx}
[/mm]
so mein problem fängt jetzt schon beim bestimmen von [mm] a_{0} [/mm] an, da ich ja einmal 1 und einmal -1 für f(x) als Funktion habe, nur welches benutze ich oder ist mein ganzer ansatz schon falsch?
danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:13 Di 02.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn die Funktion stückweise gegeben ist, musst du das integral in entsprechend viele Teilintegrale zerlegen, hier also in das von 0 bis [mm] \pi [/mm] und das von [mm] \pi [/mm] bis [mm] +2*\pi
[/mm]
2. wenn die Funktion eine gerade ist,(fx)=f(-x) überleg dir, dass alle [mm] a_k [/mm] oder [mm] b_k [/mm] wegfallen,
entsprechend, wenn sie ungerade ist, also f(-x)=-f(x)
Besser du wählst dien Integrationsintervall nicht von 0 bis [mm] 1\pi, [/mm] sondern von [mm] -\pi [/mm] bis [mm] \pi, [/mm] unterteilt bei 0, dann sieht man die Konsequenzen leichter.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Di 02.11.2010 | | Autor: | idler |
alles klar,das heisst das ich muss 4 Teilintegrale bilden, da ich einmal für die Funktion unterteilen muss und zum anderen muss ich ja über die Nullstellen vom Kosinus integrieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Di 02.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein, du willst ja nicht einen Flächeninhalt ausrechnen, also wirklich das Integral [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x) *cos(kx)dx}\mbox{ bzw. }\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x) *sin(kx)dx}[/mm] ausrechnen bei den Nullstellen von cos(kx) bzw sin(kx) keine Unterteilung, nur wo die Funktion f springt!
also bei 0
Welches der GesamtIntegrale ist dann -unabhängig von k- Null?
also wo ist das eine der Teilintegrale entgegengesetzt zum zweiten?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Di 02.11.2010 | | Autor: | idler |
naja wenn ich [mm] \integral_{0}^{\pi}{f(x)\*cos(nx) dx} [/mm] bilde integrier ich ja über die Nullstellen oder was meinst du jetzt mit deiner letzten frage?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Di 02.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Es ist
$ [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{f(x)*cos(nx) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{ \pi}{1*cos(nx) dx} [/mm] + [mm] \integral_{\pi}^{ 2 \pi}{(-1)*cos(nx) dx} [/mm] $
Weiter ist
[mm] \integral_{0}^{ \pi}{cos(nx) dx} [/mm] = [mm] \integral_{\pi}^{ 2 \pi}{cos(nx) dx} [/mm]
warum ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:13 Di 02.11.2010 | | Autor: | idler |
weil der Kosinus symmetrisch um [mm] \pi [/mm] ist. was du mir damit sagen willst weiss ich jedoch nicht. =/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Di 02.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> weil der Kosinus symmetrisch um [mm]\pi[/mm] ist. was du mir damit
> sagen willst weiss ich jedoch nicht. =/
Darauf wollte ich Dich stoßen:
[mm] \integral_{0}^{2 \pi}{f(x)\cdot{}cos(nx) dx}=0
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Di 02.11.2010 | | Autor: | idler |
ja, das heisst [mm] a_{n}=0 [/mm] also muss ich [mm] b_{n}=\bruch{2}{p}\integral_{0}^{2\pi}{f(x)*sin(nx) dx} [/mm] als ansatz wählen?
aber ich hatte mir aufgeschrieben, dass man bei geraden Funktionen den ansatz mit Kosinus wählen muss, habe ich das beim abschreiben vllt. verdreht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Mi 03.11.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo idler,
Deine Mitschrift stimmt schon, der Cosinus ist eine gerade Funktion, also wird er zur Darstellung gerader Funktionen eingesetzt und langt auch zur Darstellung.
Wenn Du Deine Funktion 2-Pi-periodisch fortsetzt, siehst Du ja, dass die Funktion ungerade ist und dass deswegen der Ansatz über die Sinusfunktion okay ist.
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Mi 03.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja du integrierst über die Nullstellen, du willst ja NICHT die Fläche zwischen x-Achse und f(x)*cos(nx) berechnen, sonder wirklich das Integral.Nur auf der Schule will man mit dem Integral immer flächen ausrechnen.
Gruss leduart
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