Fourier Reihe < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
f(t)= -2*t + pi für 0<t<pi/2
f(t)= 2*t + pi für pi/2<t<pi
Hallo, ich blick langsam nichtmehr durch.... habe für die Keefizienten verschiedene Formeln. Würde jetzt einfach gerne wissen ob es die richtigen sin - und ob ich auf die richtige lösung gekommen bin.
Gehe ich richtig vor wenn ich die beiden Funktionen am ende Addiere?
Also, ich bin folgendermaßen vor gegangen:
Funktion ist gerade -> [mm] b_{n}=0
[/mm]
p=pi
[mm] a_{n}=a_{n1}+a_{n2}
[/mm]
[mm] a_{n1}= \bruch{4}{pi}*2\integral_{0}^{p/2}{t*cos(2nt)dt}+\integral_{0}^{pi/2}{cos(2nt)dt}
[/mm]
Das vordere Integral durch Partielle Integration (t=u ; cos(2nt)=v'
[mm] =-\bruch{8}{pi}*\bruch{cos(2nt)}{4n^2}-\bruch{1}{4n^2}
[/mm]
[mm] a_{n2}=\bruch{8}{pi}\integral_{p/2}^{pi}{t*cos(2nt)dt}+\integral_{pi/2}^{pi}{cos(2nt)dt}
[/mm]
[mm] =\bruch{8}{pi}*(\bruch{cos(2*pi*n}{4n^2}-\bruch{cos(pi*n)}{4n^2}
[/mm]
[mm] a_{n}=an1 [/mm] + an2 = [mm] -\bruch{8}{pi}*\bruch{cos(2nt)}{4n^2}-\bruch{1}{4n^2}+\bruch{8}{pi}*(\bruch{cos(2*pi*n}{4n^2}-\bruch{cos(pi*n)}{4n^2}
[/mm]
[mm] =-\bruch{16}{pi}*\bruch{cos(2pi*n)}{4n^2}+\bruch{8}{4n^2}+\bruch{8cos(2pi*n}{4n^2}
[/mm]
[mm] a_{0}=0
[/mm]
Fouriereihe:
[mm] f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}((-\bruch{16}{pi}*\bruch{cos(2pi*n)}{4n^2}+\bruch{8}{4n^2}+\bruch{8cos(2pi*n}{4n^2})*cos(2nt))
[/mm]
Bibts vieleicht irgendwo ein kostenloses Tool wo man die Lösungen nachprüfen kann?
Danke, gruß Winni
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo!
Erstmal ein kleiner Tipp: Die Formeln hast du wunderbar hin bekommen, pi schreibt sich übrigens \pi
> f(t)= -2*t + pi für 0<t<pi/2
> f(t)= 2*t + pi für pi/2<t<pi
Moment, hier vertust du dich! Die Funktion gilt so für [mm] $[-\pi [/mm] /2; 0]$ und $[0; [mm] \pi [/mm] /2]$, deine Intervalle stimmen so nicht. (Die zweite Funktion müßte bei deinen Intervallen $2*t - [mm] \pi$ [/mm] sein).
Es ist egal, in welchem Intervall du die Funktion betrachtest, solange du eine ganze Periode betrachtest und deine Funktion innerhalb dieses Intervalls auch stimmt.
Laß und bei deiner Funktionsvorschrift mit meinen Intervallen bleiben, denn das entspricht der Zeichnung, OK?
> Also, ich bin folgendermaßen vor gegangen:
> Funktion ist gerade -> [mm]b_{n}=0[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> p=pi
> [mm]a_{n}=a_{n1}+a_{n2}[/mm]
>
> [mm]a_{n1}= \bruch{4}{pi}*2\integral_{0}^{p/2}{t*cos(2nt)dt}+\integral_{0}^{pi/2}{cos(2nt)dt}[/mm]
Naja gut, ich würde hier aber erstmal schreiben, woher das kommt:
[mm] $\integral_{-\pi /2}^{0} (\pi-2t)*cos(...)dt+\integral_{0}^{+\pi /2} (\pi+2t)*cos(...)dt$
[/mm]
Beachte vor allem die grenzen! Die sind wie gesagt anders, wenn du deine Funktionen wie oben einsetzt.
>
> Das vordere Integral durch Partielle Integration (t=u ;
> cos(2nt)=v'
> [mm]=-\bruch{8}{pi}*\bruch{cos(2nt)}{4n^2}-\bruch{1}{4n^2}[/mm]
>
> [mm]a_{n2}=\bruch{8}{pi}\integral_{p/2}^{pi}{t*cos(2nt)dt}+\integral_{pi/2}^{pi}{cos(2nt)dt}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{8}{pi}*(\bruch{cos(2*pi*n}{4n^2}-\bruch{cos(pi*n)}{4n^2}[/mm]
Das habe ich jetzt nicht nachgerechnet, aber vermutlich mußt du da nochmal wegen der Grenzen ran.
Allerdings mußt du dir die Formeln nochmal anschaun, denn es gilt [mm] $\cos(2\pi [/mm] n)=1$, [mm] $\cos(2\pi n+\pi)=-1$ [/mm] usw. Auf diese Weise verschwinden die trig. Funktionen meistens aus den Fourierkoeffizienten, wenngleich oft, insbesondere bei [mm] $b_n$ [/mm] oft Fallunterscheidungen für grade und ungrade n fällig werden. (Deine Formel ist allerdings gutmütig)
>
> [mm]a_{n}=an1[/mm] + an2 =
> [mm]-\bruch{8}{pi}*\bruch{cos(2nt)}{4n^2}-\bruch{1}{4n^2}+\bruch{8}{pi}*(\bruch{cos(2*pi*n}{4n^2}-\bruch{cos(pi*n)}{4n^2}[/mm]
>
> [mm]=-\bruch{16}{pi}*\bruch{cos(2pi*n)}{4n^2}+\bruch{8}{4n^2}+\bruch{8cos(2pi*n}{4n^2}[/mm]
>
> [mm]a_{0}=0[/mm]
> Fouriereihe:
>
> [mm]f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}((-\bruch{16}{pi}*\bruch{cos(2pi*n)}{4n^2}+\bruch{8}{4n^2}+\bruch{8cos(2pi*n}{4n^2})*cos(2nt))[/mm]
Das stimmt im Prinzip, wobei man noch mächtig zusammenfassen kann.
>
> Bibts vieleicht irgendwo ein kostenloses Tool wo man die
> Lösungen nachprüfen kann?
Sowas ist mir nicht bekannt, kostenlos hieße wenn, dann numerisch. Das hilft dir aber kaum weiter.
Was kostenlos ist, und recht viel Spaß bereitet, wäre ein Funktionsplotter. Die ersten Koeffizienten sind schnell ausgerechnet, sodaß die ersten Glieder der Fourier-Reihe auch recht fix da stehen. Man sieht schon nach zwei bis vier Gliedern, ob die Reihe mit der Funktion in Einklang zu bringen ist. (Und es macht süchtig, zu sehen, wie mit weiteren Gliedern die Reihe konvergiert.)
Achso: [mm] \pi [/mm] = \pi
|
|
|
| |
|
Hi,
danke. ups ja da habe ich wohl ein Vorzeichen fehler..... dachte ich ziehe den teil aus dem negativbereich in den positiven rüber (hät ja auch funktioniert wenn ich nicht das vorzeihen falsch hätte^^)
Wich verwirren nur die unterschiedlichen Formeln in unserer Formelsammlung, denn da steht:
für eine p-periodische Funktion:
[mm] a_{n}=\bruch{2}{p}\integral_{0}^{p}{f(x)*cos(\bruch{2\pi}{p}nx) dx}
[/mm]
Fourierkoeffizienten einer geraden p-periodischen Funktion:
[mm] a_{n}=\bruch{4}{p}\integral_{0}^{\bruch{p}{2}}{f(x)*cos(\bruch{2\pi}{p}nx) dx}
[/mm]
Für dieses Inegral stimmte es jetzt mit der zweiten, aber stimmt es auch noch wenn meine Periode z.B. [mm] \pi [/mm] /2 ist?
jedenfalls habe ich jetzt für diese Aufgabe das ergebnis:
[mm] f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{-16*cos(\pi*n)+16}{\pi*4*n^2})*cos(2nt)
[/mm]
und setzt man das hier mal bis zur 3. ein scheint auch soertwas bei rauszu kommen :) (4.geht leider nichtmerh)
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/java/plotter.htm
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:43 Mi 05.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. du schreibst als Überschrift :Dreiecksfunktion.
deine Angaben sind aber keine Dreiecksfkt, sondern eine die bei [mm] \pi/2 [/mm] nen Sprung macht! zeichne sie doch mal auf.
Dreieck wärs wenn für [mm] \pi/2
2. wenn das wirklich die gegebene Fkt ist warum setzest du nicht [mm] cos(n*\pi)=(-1)^n [/mm] und berechnest die Zahlen der Koeeffizienten? d.h. du müsstest nur über ungerade n summieren .
Revision: ich hab erst jetzt EHs post gelesen, wie hast du denn jetzt integriert?
schreib doch kurz deinen Weg hin, sonst müssen wir ja alles selbst von 0 an rechnen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
[mm] a_{n}=a_{n1}+a_{n2}
[/mm]
[mm] a_{n1}= \bruch{4}{pi}*-2\integral_{0}^{\pi/2}{t*cos(2nt)dt}+4\integral_{0}^{pi/2}{cos(2nt)dt} [/mm]
sin(...)=0
cos(0)=1
[mm] a_{n1}=- \bruch{8*cos(n*\pi)+8}{\pi*4*n^2}
[/mm]
[mm] a_{n2}=\bruch{4}{\pi}*\integral_{-\pi/2}^{0}{(2*t-\pi)*cos(2nt) dt}
[/mm]
[mm] =\bruch{8}{\pi}*\integral_{-\pi/2}^{0}{t*cos(2nt) dt}-4*\integral_{-\pi/2}^{0}{cos(2nt) dt}
[/mm]
[mm] =\bruch{8}{\pi}*[t*sin(2nt)/2n [/mm] + cos(2nt)/2n]-4*[sin(2nt)/2n]
[mm] =\bruch{8}{\pi}*(\bruch{1}{4n^2}-\bruch{cos(-\pi*n)}{4n^2}
[/mm]
[mm] a_{n}= an1+an2=-\bruch{16}{\pi}*\bruch{cos(2pi*n)}{4n^2}+\bruch{8}{4n^2}+\bruch{8cos(2pi*n}{4n^2})
[/mm]
natütlich kann man dann noch die aussage treffen das [mm] cos(2\pi*n) [/mm] für gerade n gleich 1 und für ungerade -1 ist, war mir aber nicht klar wie ich das in die funktion setze...
gruß, winnifred
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Mi 05.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]a_{n}=a_{n1}+a_{n2}[/mm]
> [mm]a_{n1}= \bruch{4}{pi}*-2\integral_{0}^{\pi/2}{t*cos(2nt)dt}+4\integral_{0}^{pi/2}{cos(2nt)dt}[/mm]
1.wieso hast du hier [mm] 4/p=4/\pi
[/mm]
wenn du insgesamt über die ganze peiode integrierst hast du doch 2/p
und indem du a=a1+a2 stzt integrierst du doch über die ganze Periode?
da du ja ne gerade Fkt hast, kannst du dir die eine Hälfte sparen, dein [mm] a_{n1}=a_{n2}
[/mm]
die Grenzen sind umgekehrt, die fkt das negative, d.h.
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=\integral_{b}^{a}{-f(x) dx}
[/mm]
das kommt bei dir aber nicht raus.
also hast du entweder [mm] a_n=2*a_{n1}
[/mm]
oder gleich [mm] a_n=4/p\integral_{0}^{p/2}{f(t)cos(2\pi/p*t dt}
[/mm]
> sin(...)=0
> cos(0)=1
>
> [mm]a_{n1}=- \bruch{8*cos(n*\pi)+8}{\pi*4*n^2}[/mm]
> falsch:
[mm] a_{n1}=\bruch{-8*cos(n*\pi)+8}{\pi*4*n^2}[/mm]
[/mm]
und wegen deiner 4 ist das schon an
n Ungerade, n=2m+1 [mm] cos(n\pi)=-1 [/mm] n=2m [mm] cos(n*\pi)=1
[/mm]
d.h. [mm] a_{2m+1}=4/\pi*1/n^2 [/mm] ; [mm] a_{2m}=0
[/mm]
>[mm]a_{n2}=\bruch{4}{\pi}*\integral_{-\pi/2}^{0}{(2*t-\pi)*cos(2nt) dt}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{8}{\pi}*\integral_{-\pi/2}^{0}{t*cos(2nt) dt}-4*\integral_{-\pi/2}^{0}{cos(2nt) dt}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{8}{\pi}*[t*sin(2nt)/2n[/mm] +
> cos(2nt)/2n]-4*[sin(2nt)/2n]
>
> [mm]=\bruch{8}{\pi}*(\bruch{1}{4n^2}-\bruch{cos(-\pi*n)}{4n^2}[/mm]
>
> [mm]a_{n}= an1+an2=-\bruch{16}{\pi}*\bruch{cos(2pi*n)}{4n^2}+\bruch{8}{4n^2}+\bruch{8cos(2pi*n}{4n^2})[/mm]
>
> natütlich kann man dann noch die aussage treffen das
> [mm]cos(2\pi*n)[/mm] für gerade n gleich 1 und für ungerade -1 ist,
> war mir aber nicht klar wie ich das in die funktion
> setze...
so z. Bsp
[mm] f=4/\pi*\summe_{n=0}^{\infty}1/(2n+1)^2*cos((4n+2)*t)
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
1.wieso hast du hier $ [mm] 4/p=4/\pi [/mm] $
wenn du insgesamt über die ganze peiode integrierst hast du doch 2/p
Weil ich wie oben schon erwänt ich diese beiden Formeln habe:
für eine p-periodische Funktion:
[mm] a_{n}=\bruch{2}{p}\integral_{0}^{p}{f(x)*cos(\bruch{2\pi}{p}nx) dx}
[/mm]
Fourierkoeffizienten einer geraden p-periodischen Funktion:
[mm] a_{n}=\bruch{4}{p}\integral_{0}^{\bruch{p}{2}}{f(x)*cos(\bruch{2\pi}{p}nx) dx} [/mm]
und mir nicht klar ist welche ich wann, wie anwende....
Meine Periode p, ist doch [mm] \pi.
[/mm]
Muss ich dann wenn ich eine Funktion so auteile wie bei diesem Beispiel, nur ein halbes p einsetzen? und das dann in den grenzen 0 bis [mm] \pi/2 [/mm] und [mm] -\pi/2 [/mm] bis 0 betrachten?.....
sorry ich raffs irgendwie nicht
kann man nicht für alle perioden die ertste Formel nehmen??
und wenn meine Periode [mm] \pi/2 [/mm] ist ist dann der Faktor vor dem Integral [mm] 4/\pi
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo!
Die beiden Funktionen sind tatsächlich gleichwertig.
Schau dir mal deine Dreiecksfunktion an. Wenn du die jetzt entsprechend mit nem COS multiplizierst, wird sie verformt, bleibt aber sicherlich eine grade Funktion. Wenn du das integrierst, berechnest du ja die Fläche darunter, und die Fläche ist in deiner Zeichnung doch links und rechts der y-Achse gleich groß. Statt das ganze Integrals zu berechnen, kannst du nur den linken Teil berechnen, und mit 2 multiplizieren.
Deshalb wird in deiner "speziellen" Formel nur über die erste Hälfte des Intervalls integriert, und das dann verdoppelt (2->4).
Wenn du mal etwas drüber nach denkst, stellst du fest, daß das nicht nur auf dein Beispiel zutrifft, sondern auf jedes beliebige Integral.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 11:26 Fr 07.09.2007 | | Autor: | Winnifred |
Hi,
vielen dank für eure Hilfe, jetzt scheint es alles zu klappen  - auch bei anderen Aufgaben.
Läst man es duchr ne Funktionsplotter Laufen sieht man ach schon sehr schnell das die Lösung richtig ist
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
