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| Aufgabe | | Fourieranayse (Rechenweg) |
Hallo zusammen,
ich muss Anfang nächster Woche ein Referat über Fouriersynthese/-analyse halten; dabei habe ich noch ein bis zwei Ungereimtheiten, und bitte Euch hierfür um Hilfe.
Also hier den Teil den ich nicht verstehe, vom Physik-Buch (ich möchte gerne andere Zahlenwerte wie im buch nehmen, muss aber erst die Rehcnung vom Buch verstehen):
Zuerst einmal sollen wir drei Schwingungen (f1= 500 Hz, f2= 1000 Hz, f3 = 1500) annehmen mit der Amplitude (a1 = 0,8 , a2 = 0,2, a3 = 0,5. und die Synthese durchführen = Summe der drei Funktionen = F(t) = a1 sin (1wt) + a2 sin (2wt) + a3 (3wt).
Diese eine Funktion F(t) = Ausgangsfunktion für die folgenden Analyse = Rückübersetzung der Funktion in die einzelnen Schwingungen.
1. "Ein Trick und etwas Mathematik helfen weiter. Der Mittelwert der Produkte sin (wt) sin (wt) ist im Intervall [0; T] gleich 0,5"
wie kann man dies begründen, a) warum muss man diese Variante wählen und b) wieso kommt da 0,5 heraus?
(Ich habe bereits dieses Applet gefunden [mm] (http://www.uranmaschine.de/Physik/Themen/Fourier-Analyse_und_-synthese/fourier_veranschaulichung_int_sin_sin_0.html) [/mm] sinus , jedoch ohne große Erklärung (ist halt der Inegral der Funktion.
weiter im Text:
"Prüfen Sie dies mit einem Tabelenkalkualtionsprogramm nach. Auch an einer graphischen Darstellung erkennt man es"
----wie
"Bilden wir die Produkte sin (wt) sin (2wt), so ergibt sich als Mittelwert null -bei sin (wt) sin (3wt) ist es ebenso.
Hiefür wäre auch ein Lösungsweg -außer dem Applet interessant, dass ich verstehe, was ich hier rechne.
2. " Bilden wir nun das Produkt aus sin (wt) und F(t), also sin (wt) [(a1 sin (wt) + a2 sin (2 wt) + a3 sin (3 wt)] so bleibt 0,5 a1 als Mittelwert in [0;T]; in unserem Fall erhalten wir 0,5 a1 = 0,4 und somit a1 = 0,8.
Das Doppelte des Mittelwerts des Produkts aus F(t) und der Testfunktion sin (wt) ist ist also die gesuchte Testfunktion"
Hier besteht meine Frage darin, warum den Mittelwert (ich habe bereits mit allen möglichen Integralen (im Intervall von 0, 2 pi) gerechnet = nie dieses Ergebnis = siehe weiter unten). Dann wie kommt man auf diesen Ausdruck, bzw. wie ist er zu erklären und was für Werte müssen in die Formel eingesetzt werden (wenn man diese z.B. a1 ,... als Annahme nicht kennen darf) und letztendlich wie erhält man 0,8 als Wert =a1 ???
weiter im Buch:
Mit der Testfunktion sin (2wt) finden wir nach dem gleichen Verfahren des Mittelwert 0,1 also die Amplitude a2 = 0,2.Mit sin (3wt) ergibt sich a3=0,5
Hätte jemand noch Anwendungsbeispiele, wo die Fouriersynthese/-analyse verwendet wird, die auch erklärt werden ?
Nun hier meine Ausarbeitung:
Fouriersynthese/ - analyse - Bsp.
die Fourieranalyse anhand eines Beispiels mit Sinus-schwingungen (mit verschiedenen Frequenzen und Amplituden) verständlich zu machen, werden wir zuerst im Fouriersynthese-Verfahren tätig.
Dazu wählen wir drei beliebige Schwingungen aus: z.B.:
Die erste Schwingung soll 1(000) Hz und eine Amplitudenauslenkung von 1,6 aufweisen. = f(x) = 1,6 sin (x)
Die zweite Schwingung soll 2(000) Hz und eine Amplitudenauslenkung von 0,4 aufweisen. = g(x) = 0.4 sin (2x)
Und die dritte Schwingung soll 3 (000) Hz und eine Amplitudenauslenkung von 1 aufweisen. = h(x) = sin (3x)
>> Nun werden diese der Sinusschwingungen zu der Funktion p(x) / F(t) zusammen summiert (synthesiert) = f(x) + g(x) + h(x) =
1,6 sin (x) + 0.4 sin (2x) + sin (3x) = p(x) /F (t) (gestrichelt)
1. Zeichnung mit Geogebra erstellt - siehe Anhang
Allgemein gilt für die Synthese:
F(t) = a1 * sin (1w*t) + a2 * sin (2w*t) + ... a = Amplitude
w*t = Frequenz f1,f2,… ( da w= 2*f)
Bei verschienen Phasen einer Harmonischen muss noch die Kosinus-Funktion berücksichtigt werden (=Fourierreihe):
F(t) = a1 * sin (1w*t) + a2 * sin (2w*t) + ... + b1 * cos (1w*t) + b2 * cos (2w*t) + …
Fourieranalyse:
Bei der Fourieranalyse wird nun der Mittelwert der Produkte der jeweiligen Sinusfunktionen mit dem sin (w*t) im Intervall von 0 bis T (in unserem Fall von 0 bis ) überprüft.
1. Funktion überprüfen: ∫( sin (wt) * sin (wt) [0,T] = 0,5, dies wäre auch an einer graphischen Darstellung erkennbar.
2. Funktion überprüfen: ∫( sin (wt) * sin (2wt) [0,T] = 0
3. Funktion überprüfen: ∫( sin (wt) * sin (3wt) [0,T] = 0
Den ersten Wert für die erste Funktion setzten wir nun in die Form
sin (wt) * [a1 * sin(1wt) + a2 * sin(2wt) + a3 * sin (3wt)] ein; so erhalten
0,5 a1 = 0,8 dies müssen wir nun verdoppeln, da wir bisher nur den Mittelwert angenommen haben = a1 = 1,6.
Den zweiten und dritten Wert erhalten wir auf dieselbe Art und Weise:
sin (2/3wt) * [a1 * sin(1wt) + a2 * sin(2wt) + a3 * sin (3wt)]
Man erhält für 0,5 a2 = 0,2 und für 0,5 a3 = 0,5.
Somit ist a2 = 0.4 und a3 = 1.
Dies entspricht dem ursprünglichen Ausgangswert von a1 bis a3.
2. Zeichnung mit Geogebra erstellt - siehe Anhang
Über eine Antwort (auch Teilantwort) möchte ich mich bereits jetzt bei Euch bedanken und für die Mühe, den langen Text durchzulesen.
Viele Grüße
mathepro456
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Hallo!
Zu den ganzen Integralen hilft dir erstmal eines der ![[]](/images/popup.gif) Additionstheoreme weiter.
Genauer: [mm]\sin x \; \sin y = \frac{1}{2}\Big(\cos (x-y) - \cos (x+y)\Big) [/mm]
Damit zerlegst du das Produkt der Winkelfunktionen in zwei einfache COS, deren Stammfunktion sich leicht berechnen läßt, das ist dann recht stupide Rechnerei.
Direkt am Graphen kannst du das mit [mm]\int_T\sin^2(\omega t)\,dt[/mm] recht einfach erkennen, wenn du noch die Grade y=1 einzeichnest Diese Grade schließt mit der Funktion die gleiche Fläche ein, wie die Funktion mit der x-Achse. Ein Rechteck, begrenzt durch x-Achse und die Grade, das die breite T hat, hat die Fläche A=1*T, die sich gleichmäßig auf den Bereich unterhalb und oberhalb von dem [mm] \sin^2 [/mm] verteilt.
Sprich: [mm]\int_T\sin^2(\omega t)\,dt=\frac{T}{2}[/mm]
(Das mit dem Mittelwert kommt nun, wenn du diese Fläche durch die Breite T teilst, dann erhälst du den mittleren y-Wert der Funktion, also hier 1/2)
Daß das tatsächlich geometisch paßt, siehst du an [mm]\sin^2(\omega t)+\cos^2(\omega t)=1 [/mm]. Das bedeutet, daß die Fläche des Rechtecks die Summe von [mm]\int\sin^2(\omega t)[/mm] und [mm]\int\cos^2(\omega t)[/mm] ist. Da über (Vielfache) eine(r) Periode integriert wird und der COS nur eine seitlich verschobene Variante des SIN ist, sind die beiden Integrale gleich, sprich je T/2 groß.
Zu deiner zweiten Frage:
Nun, du gibst hier erstmal eine Funktion vor, von der du genau weißt, wie sie zusammengesetzt ist, um daran zu studieren, wie man an die Koeffizenten kommt. Du willst sehen, daß das, was du rein steckst, auch wieder raus kommt (bzw du siehst, daß da so ein Faktor 1/2 bei der Rechnung raus kommt, den man berücksichtigen muß)
Das ist also ein Probelauf.
Interessant wird es nun, wenn du dir gänzlich andere Funktionen anguchst, zum Beispiel diese Rechteckfunktion:
[mm]f(t)=\begin{cases} +1, & \mbox{für } 0
die zu beiden Seiten des Intervalls [mm][0;2\pi][/mm] unendlich oft wiederholt werden soll.
In dem Beispiel ist [mm] \omega=1 [/mm] bzw. [mm] T=2\pi
[/mm]
Sieht nicht nach Sinus aus, aber du wirst sehen!
Bilde und berechne also die Integrale
[mm] \int_0^{2\pi}\sin(nt)*f(t)\,dt=...
[/mm]
für n=1, n=2, n=3, ...
und daraus diese Koeffizienten [mm] a_n
[/mm]
Die Funktion bekommst du rein, indem du das Integral aufspaltest:
[mm] \int_0^{2\pi}\sin(nt)*f(t)\,dt=\int_0^{\pi}\sin(nt)*f(t)\,dt+\int_\pi^{2\pi}\sin(nt)*f(t)\,dt=\int_0^{\pi}\sin(nt)*(+1)\,dt+\int_\pi^{2\pi}\sin(nt)*(-1)\,dt
[/mm]
Wenn du die ersten Koeffizienten hast, fang an, die Funktionen
[mm] a_1\sin(t)
[/mm]
[mm] a_1\sin(t)+a_2\sin(2t)
[/mm]
[mm] a_1\sin(t)+a_2\sin(2t)+a_3\sin(3t)
[/mm]
...
zu zeichnen, und beobachte, wie sich das immer weiter der ursprünglichen Rechteckfunktion nähert. Es wird nie perfekt sein, aber je mehr Koeffizienten du nimmst, desto besser sieht es aus!
Und wenn du einen etwas ausgefalleneren Anwendungsfall haben willst:
Das JPG-Format bei Bildern verwendet den Fourier-Algorithmus, um den Farbverlauf über mehrere Pixel mit Fourier-Koeffizienten zu beschreiben. Je mehr Koeffizienten man abspeichert, desto originalgetreuer, aber auch größer wird das Bild.
Und: Für Strichgrafiken ist JPG kein gutes Format, denn ne schwarze Linie auf weißem Grund ist wie diese Rechteckfunktion oben. Und bei zu starker Kompression, d.h. zu wenigen Koeffizienten siehst du parallel zu Linien manchmal so Schatten. Wieso, erkennst du auch an meiner Rechteckfunktion...
Die Fourier-Analyse wird z.B. bei JPEG-Bildern verwendet, wo die Intensität der Grundfarben rot, grün, blau über mehrere Pixel durch Fourierkoeffizienten
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| Aufgabe | Hallo Event_Horizon,
vielen DANK erst mal für Deine ausführliche Antwort.
Leider habe ich nicht alles verstanden, das liegt u. a. daran da mein spezialgebiet werde Mathe noch Physik ist - bitte um entschuldigung. |
Die Additionstheromen habe ich mir mal bei Wikipedia angeschaut, jedoch bei der Fülle von Varianten nicht wirklich den Herleitungsweg verstanden.
Welche Werte wären hier einzusetzten ? : (welche x/y-werte????)
$ [mm] \sin [/mm] x [mm] \; \sin [/mm] y = [mm] \frac{1}{2}\Big(\cos [/mm] (x-y) - [mm] \cos (x+y)\Big) [/mm] $
Ich habe den gleichen ausdruck verwendet $ [mm] \int_T\sin^2(\omega t)\,dt=\frac{T}{2} [/mm] $ jedoch habe ich diesen mit 1/ pi mal genommen und so 0,5 erhalten, wie es vom gewünscht wird.
Warum muss ich allerdings dies so machen bzw. woher kann man diese Form so ableiten ?
Vielleicht könntest Du mir bitte bishier diese Fragen beantworten, sodass ich den weiteren Teil hoffentlich verstehe.
Viele Grüße und DANKE
mathepro456
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Hallo!
Die Additionstheoreme sind einfach eine Sammlung nützlicher Gleichungen, die dir helfen können, eine Gleichung so umzuformen, daß du weiter kommst. Ich vertrete da ehrlich gesagt die Meinung, nicht weiter zu hinterfragen, wo die alle her kommen. Du solltest aber darauf achten, ob eine Gleichung z.B. nur für spezielle Dreiecke oder immer gilt.
Du magst vielleicht [mm]\int\sin^2(\omega t)\,dt[/mm] berechnen können, aber du brauchst ja auch z.B. [mm]\int\sin(\blue{\omega t})*\sin(\green{2\omega t})\,dt[/mm]
und das kannst du erstmal mit
[mm] \sin \blue{x} \; \sin \green{y} = \frac{1}{2}\Big(\cos (\blue{x}-\green{y}) - \cos (\blue{x}+\green{y})\Big) [/mm]
vereinfachen, sodaß es einfacher zu integrieren ist.
Zu der anderen Frage:
Vielleicht ist dir das Prinzip der Rechnung nicht klar, mir ist da grade ein Analogon eingefallen:
Angenommen, du fragst dich, ob man jede beliebige Farbe als eine Mischung von rot, grün und blau darstellen kann.
Du benötigst also eine Maschine, die eine beliebige Farbe erfaßt, und dir genau sagt, aus wieviel rot, grün und blau die Farbe besteht.
Was würdest du machen, um die Maschine zu verstehen oder zu testen? Du könntest eine Farbe davor halten, die z.B. exakt 20% rot, 50% grün und 30% blau enthält. Nun sollte die Maschine dir auch exakt 20%/50%/30% ausgeben. Als nächstes schraubst du die Maschine auf, und versuchst zu verstehen, wie sie das macht.
So ist es auch mit der Fourier.
Du gibst die Testfunktion [mm] $f(t)=\red{20*sin(\omega t)}+\green{50*sin(2\omega t)}+\blue{30*sin(3\omega t)}$
[/mm]
vor, und erwartest, daß der Fourier-Algorithmus dir exakt 20/50/30 liefert.
Die Maschine macht anscheinend folgendes:
[mm] $\int_0^Tsin(\omega t)*\left(\red{20*sin(\omega t)}+\green{50*sin(2\omega t)}+\blue{30*sin(3\omega t)}\right)\,dt$
[/mm]
Der grüne und blaue Teil werden beim Integrieren =0, es bleibt
[mm] $\int_0^Tsin(\omega t)*\red{20*sin(\omega t)}\,dt=\frac{T}{2}*\red{20}$
[/mm]
Jetzt noch durch [mm] \frac{T}{2} [/mm] teilen, und du hast den Anteil von [mm] ${sin(\omega t)}$ [/mm] , nämlich 20 in deiner Testfunktion.
Das Spiel wird nun für [mm] $\int_0^Tsin(2\omega [/mm] t)...$ und [mm] $\int_0^Tsin(3\omega [/mm] t)...$ wiederholt.
Wie man generell auf diese Idee mit dem Integral kommt? Nun, da hatte der Herr Fourier wohl eine geniale Idee, vielleicht auch, weil er sich lange mit dem integrieren von trigonometrischen Funktionen beschäftigt hat. Man kann dazu jetzt viele mathematische Rechnungen und Beweise anstellen, die zeigen, daß es funktioniert, oder wann es nicht funktioniert, aber letztendlich muß da mal wer eine Idee gehabt haben. So würde ich das auch an deiner Stelle verkaufen, denn du hast schon genug mit den bisherigen Rechnungen zu tun.
Und wie gesagt, ich würde das auch mal mit einer Funktion machen, die NICHT offensichtlich aus SIN-Funktionen besteht, wie das, was ich oben gezeigt habe. Denn auch bei dem Farbanalysegerät würdest du ja anfangen, irgendwelche komischen Farben mit unbekannter Zusammensetzung davor zu halten!
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Hallo DanielW
Könntest Du mir bitte noch das weitere Vorgehen kurz erklären (evtl. noch in einem Beispielbzw. an formeln):
Bilden wir nun das Produkt aus sin (wt) und F(t), also sin (wt) [(a1 sin (wt) + a2 sin (2 wt) + a3 sin (3 wt)] so bleibt 0,5 a1 als Mittelwert in [0;T]; in unserem Fall erhalten wir 0,5 a1 = 0,4 und somit a1 = 0,8.
Das Doppelte des Mittelwerts des Produkts aus F(t) und der Testfunktion sin (wt) ist ist also die gesuchte Testfunktion"
Mit der Testfunktion sin (2wt) finden wir nach dem gleichen Verfahren des Mittelwert 0,1 also die Amplitude a2 = 0,2.Mit sin (3wt) ergibt sich a3=0,5
Vielen Dank
Grüße mathepro456
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Hallo!
Meinst du mich?
Erstmal: Was du da geschrieben hast, trifft es exakt!
Versteife dich aber nicht zu sehr auf den Begriff "Mittelwert von sin²", das kommt nur daher, weil du sowohl nen Sinus von dem Fourier als auch einen aus der zu suchenden Funktion bekommst.
Schlußendlich weißt du jetzt einfach, wie man diese Koeffizienten mit Fourier bestimmt.
Nun solltest du dich an eine echte Anwendung wagen,wie die Funktion, die ich dir bereits genannt habe, denn bei der ist das wirklich einfach, und vor allem kennst du deine a's nicht.
Sie lautet ja $ [mm] f(t)=\begin{cases} +1, & \mbox{für } 0
Berechne nun erstmal [mm] a_1 [/mm] :
[mm] \int_0^{2\pi}\sin(t)*f(t)\,dt
[/mm]
was sich wegen dem komischen f(t) zu
[mm] \int_0^{\pi}\sin(t)*(+1)\,dt+\int_\pi^{2\pi}\sin(t)*(-1)\,dt
[/mm]
umformen läßt. Berechne den kompletten Ausdruck, und sag mir, wie groß dann [mm] a_1 [/mm] ist.
Wiederhole das für [mm] a_2 [/mm] :
[mm] \int_0^{\pi}\sin(2*t)*(+1)\,dt+\int_\pi^{2\pi}\sin(2*t)*(-1)\,dt
[/mm]
sowie für [mm] a_3 [/mm] , [mm] a_4 [/mm] und [mm] a_5 [/mm] . (wenn du willst, gerne noch mehr, aber bis [mm] a_5 [/mm] solltest du mindestens gehen.)
Und dann laß mal [mm] a_1*sin(t)+a_2*sin(2t)+a_3*sin(3t)+a_4*sin(4t)+a_5*sin(5t) [/mm] mit den von dir ermittelten a's berechnen. Erkennst du, daß das schon so nem Rechtecksignal ähnelt?
Wie gesagt, rechne das mal ganz stur aus, das ist nicht weiter schwer.
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