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Hallo zusammen.
Ich habe leider ein ganz großes Problem. Es geht um die Fourieranalysis und ich kann einfach nicht dahintersteigen, wie das Thema so richtig Funktioniert.
1. Finde ich nicht heruas, was man damit berechnen kann
2. Finde ich nicht heraus nach welchen Schritten man Vorgehen soll.
Das einzige was ich bisher rausgefunden habe ist, dass man guckt ob die gegebene Funktion gerade oder ungerade ist. Das macht man mittels f(x)=f(-x) (gerade) und f(-x)=-f(x) (ungerade).
Aber ich habe keine AHnung wie es weitergehen soll.
Ich wäre euch wirklich für jede hilfe dankbar. Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 Mo 31.03.2008 | | Autor: | bazzzty |
> Ich habe leider ein ganz großes Problem. Es geht um die
> Fourieranalysis und ich kann einfach nicht dahintersteigen,
> wie das Thema so richtig Funktioniert.
> 1. Finde ich nicht heruas, was man damit berechnen kann
In knappen Worten: Jedes periodische Signal (Funktion) läßt sich ausdrücken als Summe von Sinus und Kosinussignalen verschiedener Amplitude. (Alternativ: Als Summe harmonischer Schwingungen unterschiedlicher Amplitude und Phase.)
Als "Fourier-Analyse" beschreibt man entweder eine solche Zerlegung eines Signals oder ein Verfahren zur Zerlegung eines Signals in die einzelnen harmonischen Schwingungen. Es gibt da verschiedene Verfahren und Darstellungen.
> 2. Finde ich nicht heraus nach welchen Schritten man
> Vorgehen soll.
Ganz grob: Gegeben ist ein periodisches Signal (nichtperiodische Signale wie z.B. Musikstücke werden in kurze Abschnitte geteilt und dann einzeln wie periodische Signale behandelt).
So ein Signal ist gegeben als Funktion der Zeit, also als Funktion Zeit->Auslenkung.
Gesucht ist eine Darstellung Frequenz->Auslenkung, die angibt, welche Frequenzanteile wie stark in dem Signal enthalten sind.
> Das einzige was ich bisher rausgefunden habe ist, dass man
> guckt ob die gegebene Funktion gerade oder ungerade ist.
> Das macht man mittels f(x)=f(-x) (gerade) und f(-x)=-f(x)
> (ungerade).
Damit kann ich nun an der Stelle wenig anfangen.
> Ich wäre euch wirklich für jede hilfe dankbar.
Hast Du mal in Wikipedia unter "Fourier-Analyse" und "-Transformation" durchgelesen, was da steht?
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Also ich habe jetzt eigentlich eine ganz gute Seite gefunden, die die einzelnen Schritte ganz gut beschreibt. Ich schreibe diese Schritte mal einzeln auf.
1. Zeichnung
2. T bestimmen (Periode) [mm] \to [/mm] w= [mm] \bruch{2\pi}{T}
[/mm]
3. Ist die Funktion gerade oder ungerade?
[mm] \circ [/mm] gerade: f(x)=-f(x) [mm] \to b_k=0
[/mm]
[mm] \circ [/mm] ungerade: f(x)=-f(-x) [mm] \to a_k=0
[/mm]
[mm] \circ [/mm] keins von beiden alles berechnen
4. [mm] a_0 [/mm] bestimmen: [mm] a_0=\bruch{2}{T}\integral_{0}^{T}y(x)cos(0wx)dx=\integral_{0}^{T}y(x)dx
[/mm]
5. [mm] a_k [/mm] und [mm] b_k [/mm] bestimmen: [mm] a_k=\bruch{2}{T}\integral_{0}^{T}y(x)cos(kwx)dx
[/mm]
und
[mm] b_k=\bruch{2}{T}\integral_{0}^{T}y(x)sin(kwx)dx
[/mm]
6. Zusammensetzen: [mm] F_y=\bruch{a_0}{2}+\summe_{k=1}^{\infty}a_kcos(kwx)+b_ksin(kwx)
[/mm]
Es wäre wirklich super wenn mir jmd. das mit einer Beispielaufgabe erklären könnte. Ich habe wirklich überhaupt keine Ahnung wie ich das ganze angehen soll. Wenigstens habe ich schonmal ein paar Schritte gefunden. Ich bitte wirklich um jede Hilfe und danke euch schonmal im Voraus.
Mit freundlichen Grüßen domenigg135
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo domenigg135,
ich probiere mal mein Glück mit einer Funktion, die eigentlich ganz gut handhabbar ist. Es handelt sich hier um die Funktion
[mm] y = x^2 [/mm] mit der Periode [mm] 2 \pi [/mm], definiert für x zwischen 0 und 2 Pi. Es handelt sich also um den "rechten Teil" einer Parabel. Dieser Parabelast wird alle 2 Pi wiederholt. Erspare mir bitte das Bildchen, ich bin sicher, Du kannst es Dir auch so vorstellen.
Den Rest schreibe ich in Dein Schema rein.
Viele Grüße,
Infinit
> Also ich habe jetzt eigentlich eine ganz gute Seite
> gefunden, die die einzelnen Schritte ganz gut beschreibt.
> Ich schreibe diese Schritte mal einzeln auf.
>
> 1. Zeichnung
> 2. T bestimmen (Periode) [mm]\to[/mm]
$$ T = 2 [mm] \pi \, [/mm] , $$ Kreisfrequenz ist deswegen 1
w= [mm]\bruch{2\pi}{T}[/mm]
$$ w = [mm] \bruch{2 \pi}{2 \pi} [/mm] = 1 $$
Die Periode hier ist 2 Pi.
> 3. Ist die Funktion gerade oder ungerade?
> [mm]\circ[/mm] gerade: f(x)=-f(x) [mm]\to b_k=0[/mm]
> [mm]\circ[/mm] ungerade:
> f(x)=-f(-x) [mm]\to a_k=0[/mm]
> [mm]\circ[/mm] keins von beiden alles
> berechnen
weder noch, man muss alle Anteile berechnen
> 4. [mm]a_0[/mm] bestimmen:
> [mm]a_0=\bruch{2}{T}\integral_{0}^{T}y(x)cos(0wx)dx=\integral_{0}^{T}y(x)dx[/mm]
[mm] a_0 [/mm] = [mm] \bruch{2}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} x^2 \, [/mm] dx = [mm] \bruch{2}{2 \pi} \, \left[ \bruch{x^3}{3} \right]_0^{2 \pi} [/mm] = [mm] \bruch{ 8 \pi^2}{3} [/mm]
> 5. [mm]a_k[/mm] und [mm]b_k[/mm] bestimmen:
> [mm]a_k=\bruch{2}{T}\integral_{0}^{T}y(x)cos(kwx)dx[/mm]
$$ [mm] a_k= \bruch{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} x^2 \cos [/mm] kx [mm] \, [/mm] dx = [mm] \bruch{1}{\pi} \left[ x^2 \cdot \bruch{\sin kx}{k} - (2x)\cdot (\bruch{ - \cos kx}{k^2}) + 2(\bruch{- \sin kx}{k^3}) \right]_0^{2 \pi} [/mm] = [mm] \bruch{4}{k^2} [/mm] $$
> und
> [mm]b_k=\bruch{2}{T}\integral_{0}^{T}y(x)sin(kwx)dx[/mm]
$$ [mm] b_k= \bruch{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} x^2 \sin [/mm] kx [mm] \, [/mm] dx = [mm] \bruch{1}{\pi} \left[ x^2 \cdot \bruch{- \cos kx}{k} - (2x)\cdot (\bruch{ - \sin kx}{k^2}) + 2(\bruch{\cos kx}{k^3}) \right]_0^{2 \pi} [/mm] = [mm] -\bruch{4\pi}{k} [/mm] $$
> 6. Zusammensetzen:
> [mm]F_y=\bruch{a_0}{2}+\summe_{k=1}^{\infty}a_kcos(kwx)+b_ksin(kwx)[/mm]
$$ [mm] F_y [/mm] = [mm] \bruch{4 \pi^2}{3} [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^{\infty} (\bruch{4}{k^2} \cos [/mm] kx - [mm] \bruch{4\pi}{k} \sin [/mm] kx) $$
> Es wäre wirklich super wenn mir jmd. das mit einer
> Beispielaufgabe erklären könnte. Ich habe wirklich
> überhaupt keine Ahnung wie ich das ganze angehen soll.
> Wenigstens habe ich schonmal ein paar Schritte gefunden.
> Ich bitte wirklich um jede Hilfe und danke euch schonmal im
> Voraus.
>
> Mit freundlichen Grüßen domenigg135
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Okay mein erstes Problem ist schonmal, dass ich nicht nachvollziehen kann, woher du die Periode nimmst. ALso woher weiß ich, dass die Periode [mm] 2\pi [/mm] ist? Also [mm] T=2\pi. [/mm] Wenn ich das weiß, dann ist ja die berechnung von w mit der formel [mm] w=\bruch{2\pi}{T} [/mm] kein Problem.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Di 01.04.2008 | | Autor: | Infinit |
Die Periodenlänge habe ich mir in diesem Fall selbst vorgegeben, mit irgendwas muss ich ja rechnen können. Deswegen habe ich diese abschnittsweise Funktion gerade so definiert. Selbstverständlich können auch andere Periodenlängen auftauchen, das hängt ganz von der Aufgabenstellung ab.
Viele Grüße,
Infinit
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Gut habe ich mir beinahe gedacht. Aber wie erkenne ich das denn Hauptsächlich wenn ich jetzt z.B. etwas habe wie bestimmen sie die Fourierreihe der Funktion [mm] f:\IR\to\IR [/mm] mit [mm] f(x)=2+cos^{2}x
[/mm]
Ich seh da noch nicht so richtig durch. Der Rest ist ja dann fast kein Problem mehr. Nur das finden dieser blöden Periode T ist mein Problem.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Di 01.04.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
hier muss man wissen, wie man die Periodendauer von [mm] \cos^2 x [/mm] bestimmen kann.
Mit
$$ [mm] \cos^2 [/mm] x = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (1 + [mm] \cos [/mm] 2x) $$ wird aus Deiner Gleichung
$$ f(x) = 2,5 + [mm] \bruch{1}{2} \cos [/mm] 2x $$ und eine trigonometrische Funktion mit doppeltem Argument hat die halbe Periodendauer, in diesem Falle also von 0 bis Pi.
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Gut dann Probier ich mal den Rest für f(x) = 2,5 + [mm] \bruch{1}{2} \cos [/mm] 2x
2. Schritt:
[mm] T=\pi, [/mm] d.h. [mm] w=\bruch{2\pi}{\pi} \Rightarrow [/mm] w=2
3. Schritt:
gerade: f(-x)=f(x) [mm] \Rightarrow [/mm] f(-x)=2,5 - [mm] \bruch{1}{2} \cos [/mm] 2x
also nicht gerade
ungerade: f(-x)=-f(x) [mm] \Rightarrow [/mm] f(-x)=2,5 - [mm] \bruch{1}{2} \cos [/mm] 2x
also nicht ungerade
das heißt alles muss berechnet werden.
4. Schritt:
[mm] a_0 [/mm] bestimmen mit [mm] a_0=\bruch{2}{T}\integral_{0}^{T}y(x)cos(0wx)dx=\integral_{0}^{T}y(x)dx=\bruch{2}{\pi}[2,5x+\bruch{5x}{2}+\bruch{1}{4}sin(2x)]_0^{\pi}
[/mm]
Ich bin mir nicht sicher, ob das so ganz richtig ist bis hierhin, da die berechnung die ganze Sache ziemlcih schwer macht!!! Was meint ihr???
Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Di 01.04.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
Der Cosinus ist doch eine gerade Funktion, der Gleichanteil auch, also kommen nur Cosinusterme drin vor.
$$ [mm] \cos [/mm] (x) = [mm] \cos [/mm] (-x) $$
Das vereinfacht die Rechnung dann ungemein.
Außerdem bedeutet die Schreibweise [mm] y(x) [/mm] nicht, dass Du y mit x multipliziert, sondern dass y eine Funktion von x ist und diese ist einzusetzen.
Viele Grüße,
Infinit
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Okay. Einglück habe ich den Fehler, die Funktion als nicht gerade zu berechnen gemacht. Ich habe die funktion in einen Funktionsplotter eingegeben und gemerkt, dass die Funktion daher [mm] \pi-periodisch [/mm] von 0 bis [mm] \pi [/mm] ist, weil sie sich ab dort halt wiederholt für jede weitere Periode. Ich hab mir das dann auch damit verständlich gemacht, dass cosinus und sinus ja 2 [mm] \pi-periodische [/mm] sind. Daher habe ich das mit der Periode jetzt verstanden. Am besten erstmal zeichnen und gucken, in welcher Periode sich die Funktion halt wiederholt.
Wie dem auch sei, hast du mit dem Cosinus, dass dieser eine gerade Funktion ist natürlich recht. Allerdings erhalte ich folgendes für [mm] f(-\pi)=cos(x)=-1 [/mm] und das ist doch gerade f(-x)=-f(x) oder??? Müsste sie dann nicht eher ungerade sein oder betrachte ich die FUnktion jetzt nur auf dem Intervall [mm] [0;\pi]???
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
die Integration für die Bestimmung der Fourierkoeffizienten geht jeweils über eine Periodendauer, in Deinem Beispiel also von 0 bis Pi.
Was Du Dir beim Cosinus überlegt hast, kann ich nicht nachvollziehen. Wie Du schon sagtest, der Cosinus ist eine gerade Funktion und Dein Beispiel stimmt leider nicht.
$$ [mm] \cos \pi [/mm] = [mm] \cos (-\pi) [/mm] = -1 $$ und damit gilt doch
$$ f(x) = f(-x) $$ und das ist genau die Definition einer geraden Funktion. Zu betrachten brauchst Du diesen Zusammenhang nur im Definitionsgebiet, also über die Periodendauer.
Viele Grüße,
Infinit
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