Fourierformel < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:17 So 11.01.2009 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
ich hab ne kurze Frage, in diesem Skript wird
http://www.mathe-seiten.de/fourier.pdf
werden die Koeffizienten der Foerier Reihe ausgerechnet S.7
für m=0 ist mir dies ersichtlich, aber wenn m>0 , wo kommt man dann auf die fertige Formel?
hier wird das auch geschildert
http://www.chemgapedia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ma/1/mc/ma_12/ma_12_02/ma_12_02_02.vlu/Page/vsc/de/ma/1/mc/ma_12/ma_12_02/ma_12_02_04.vscml.html
aber auch hier ist mir nicht ganz klar nach was am Ende aufgelöst wird, weil ein [mm] a_{m} [/mm] im term ja gar nicht vorhanden ist kann das jemand aufklären?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 So 11.01.2009 | | Autor: | noobo2 |
kann den hier niemand helfen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 So 11.01.2009 | | Autor: | froopkind |
Hallo!
Wenn deine Frage nach nur 37 Minuten nicht beantwortet ist heißt das nicht, dass das keiner kann sondern das noch niemand dazu gekommen ist. Lass uns doch ein bisschen mehr Zeit!
Außerdem würde es sicherlich schneller gehen, wenn du nicht nur auf irgendwelche Internetseiten verweisen würdest (die es zu lesen und zu verstehen sicherlich mehr als 37 Minuten dauern würde) sondern wenn du konkrete Fragen stellen würdest.
mfg Simon
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 Mo 12.01.2009 | | Autor: | noobo2 |
Hallo, kann jemand kurz erläutern, wie der Auor hier von Zeile 2 auf Zeile 4 kommt. Zeile 3 ist klar es wird einfach für m=0 eingesetzt und dann nach [mm] a_{0} [/mm] aufgelöst, aber wie gelangt man denn zu Zeile 4, vor allem ist doch noch nicht einmal ein [mm] a_{m} [/mm] im ursprungsterm enthalten
[Dateianhang nicht öffentlich]
[edit: es wäre schön, wenn du den Text gleich hier einbinden würdest...]
Wie das geht, steht hier in der FAQ.
http://img3.imagebanana.com/img/w9ocvejz/Unbenannt.jpg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:20 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Noobo,
> Hallo, kann jemand kurz erläutern, wie der Auor hier von
> Zeile 2 auf Zeile 4 kommt. Zeile 3 ist klar es wird einfach
> für m=0 eingesetzt und dann nach [mm]a_{0}[/mm] aufgelöst, aber wie
> gelangt man denn zu Zeile 4, vor allem ist doch noch nicht
> einmal ein [mm]a_{m}[/mm] im ursprungsterm enthalten
naja - so direkt ist [mm] a_m [/mm] nicht enthalten, aber wenn du dir den Fall m=n anschaust, dann ist auch [mm] a_m=a_n
[/mm]
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
in der ersten Zeile fehlt übrigens eine Klammer nach dem Summenzeichen 
Mach eine Fallunterscheidung mit m=n und [mm] m\not=n [/mm] - wie lauten dann die Ergebnisse deiner Integrale?
Liebe Grüße
Herby
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Mo 12.01.2009 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
heißt dass, dass ich einfach nach [mm] a_{n} [/mm] auflösen muss?
also ichhab das jetzt versucht aber das hat nicht funktioniert. Wenn ich m=n setzte so bleibt bei mir
[mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{ \bruch{a_{0}}{2}*cos(m*x) dx}+
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(a_{n}*\integral_{-\pi}^{\pi}{\pi dx})
[/mm]
weil cos(mx)*cos(mx) = [mm] \pi [/mm] und sin(nx)*cos(nx)=0
wo liegt der Fehler?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo,
da gibt es keinen Fehler, du hast es vielleicht nur nicht hübsch notiert. Es bleibt von deinen Integralen:
[mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)*\cos(mx)\ dx}
[/mm]
[mm] =\bruch{a_0}{2}\integral_{-\pi}^{\pi}{\cos(mx)\ dx}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n*\integral_{-\pi}^{\pi}{\cos(nx)*\cos(mx)\ dx}+b_n*\integral_{-\pi}^{\pi}{\sin(nx)*\cos(mx)\ dx}\right]
[/mm]
[mm] =\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n*\integral_{-\pi}^{\pi}{\cos(nx)*\cos(mx)\ dx}+b_n*\integral_{-\pi}^{\pi}{\sin(nx)*\cos(mx)\ dx}\right]
[/mm]
Aufgrund der Auswertung der Integrale nach deinem Skript bleibt für m=n:
[mm] \red{\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)*\cos(mx)\ dx}}=a_m*\integral_{-\pi}^{\pi}{\cos(mx)*\cos(mx)\ dx}+b_m*\integral_{-\pi}^{\pi}{\sin(mx)*\cos(mx)\ dx}=a_m*\integral_{-\pi}^{\pi}{\cos^2(mx)\ dx}=\red{a_m*\pi}
[/mm]
Jetzt brauchst du nur noch die beiden [mm] \red{roten} [/mm] Terme durch [mm] \pi [/mm] teilen und erhältst [mm] a_m
[/mm]
Liebe Grüße
Herby
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Mo 12.01.2009 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
vielen dank für dei schöne antwort. Ichhab ejedochnoch eien Rückfrage.
Warum ist den von Zeile 1 ind Zeile 2 auf einmal der Term mit dem
[mm] \bruch{a_{0}}{2} *\integral_{-\pi}^{\pi}{cos(mx) dx}
[/mm]
auf einmal verschwunden?
und was passiert mti dem summenzeichen warum ist das auf einmal weg?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> hallo,
> vielen dank für dei schöne antwort. Ich habe jedoch noch
> eien Rückfrage.
> Warum ist den von Zeile 1 ind Zeile 2 auf einmal der Term
> mit dem
>
> [mm]\bruch{a_{0}}{2} *\integral_{-\pi}^{\pi}{cos(mx) dx}[/mm]
>
> auf einmal verschwunden?
weil das Integral über die Periode [mm] 2\pi [/mm] gleich 0 ist.
> und was passiert mit dem summenzeichen warum ist das auf
> einmal weg?
Es geht nicht um die Aufsummierung, denn wenn z.B. der Wert des Integrals 0 ist, dann ist auch 0+0+0+...+0 immer noch 0. Der Wert der Summe hängt doch nur vom Wert des Integrals ab. In deiner Fourierreihe ist das Summenzeichen natürlich nicht weg.
Liebe Grüße
Herby
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 Mo 12.01.2009 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
entschuldigung, dass mir das immer noch nicht so einleuchtet, aber heißt das, dass wenn ich nach [mm] a_{n} [/mm] auflöse in dem term kein summenzeichen drin ist?
Das ist doch eigentlich unlogisch, warum fällt das denn weg? Der Ausgangsterm wird ja auch mit summenzeicen geschrieben, da kann ich es ja nicht einfach während der rechnugn weglassen..?
Und jetzt z.B. im Fall, dass m=0 und ich ja somit nach [mm] a_{0} [/mm] auflöse kann ich das summenezichen ja auch drin lassen, da sowohl der erste als auch der zweite Summand imer null sind...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Herby |
Hi,
> hallo,
> entschuldigung, dass mir das immer noch nicht so
> einleuchtet, aber heißt das, dass wenn ich nach [mm]a_{n}[/mm]
> auflöse in dem term kein summenzeichen drin ist?
ja, denn es geht nur um die Auswertung des Integrals. Das Summenzeichen der Fourierreihe ist wie bereits gesagt natürlich nicht verschwunden. Ich schreibe dir das mal ausführlicher auf.
Eine periodische Funktion f(x) mit der Periode [mm] 2\pi [/mm] lässt sich in eine trigonometrische Reihe entwickeln mit der Form:
[mm] f(x)=\bruch{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n*\cos(nx)+b_n*\sin(nx)\right]
[/mm]
Du siehst dein Summenzeichen ist da, aber jetzt keine Spur vom Integral. Das versteckt sich nämlich in den [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n:
[/mm]
[mm] a_0=\bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)\ dx}
[/mm]
[mm] a_n=\bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)*\cos(nx)\ dx}
[/mm]
[mm] b_n=\bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)*\sin(nx)\ dx}
[/mm]
Jetzt klarer?
Lg
Herby
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Mo 12.01.2009 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
ja das mag ja sein, aber deine ausgangszeile aslo die f(x)= ...
wird multipliziert mit cos(mx) und dann vin [mm] -\pi [/mm] bis [mm] \pi [/mm] integriert und dannhab ich ein Integral.
Und wie gesagt für [mm] a_{0} [/mm] geht das eigentlich auch sehr gut weil man da das summenzeichen im Term drinlassen kann, weil alles was sich für m=0 aufsummieren könnte halt 0 ist.
da gilt ja auch:
also m=0 daher cos(mx)=1
[mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{f(x) dx}=\integral_{-\pi}^{\pi}{ \bruch{a_{0}}{2}dx}
[/mm]
die summe fällt weg, weil sie immer 0 ergibt....also der BEweis von [mm] a_{0} [/mm] ist mri klar mir ist nur nicht klar warum bei [mm] a_{n} [/mm] die summe auf einmal wegfallen soll, da sie eben dort nicht immer 0 ist
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:06 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo noobo,
nachdem ich am Wochenende mir noch einmal die Fourierreihe vorgenommen und eingehend die Identitäten verglichen hatte, muss ich ja zugeben, dass mir nun das Wegfallen des Summenzeichens ebenso nicht so ganz geheuer ist ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") - eigentlich müsste tatsächlich für n=m:
[mm] \int_{-\pi}^{\pi}{f(x)*\cos(nx)\ dx}=\sum_{n=1}^{\infty}{a_n*\pi}
[/mm]
stehen.
Ich weiß auch nicht, ob und an welcher Stelle ich etwas übersehen habe.
Liebe Grüße
Herby
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:20 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hallo,
> ja das mag ja sein, aber deine ausgangszeile aslo die
> f(x)= ...
> wird multipliziert mit cos(mx) und dann vin [mm]-\pi[/mm] bis [mm]\pi[/mm]
> integriert und dannhab ich ein Integral.
> Und wie gesagt für [mm]a_{0}[/mm] geht das eigentlich auch sehr gut
> weil man da das summenzeichen im Term drinlassen kann, weil
> alles was sich für m=0 aufsummieren könnte halt 0 ist.
>
> da gilt ja auch:
> also m=0 daher cos(mx)=1
> [mm]\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x) dx}=\integral_{-\pi}^{\pi}{ \bruch{a_{0}}{2}dx}[/mm]
>
> die summe fällt weg, weil sie immer 0 ergibt....also der
> BEweis von [mm]a_{0}[/mm] ist mri klar mir ist nur nicht klar warum
> bei [mm]a_{n}[/mm] die summe auf einmal wegfallen soll, da sie eben
> dort nicht immer 0 ist
das liegt an der Orthogonalitätsrelation. Bei der Reihe ist nur noch ein Summand von $0$ verschieden, vgl. auch meine Antwort hier.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:01 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Marcel,
> das liegt an der Orthogonalitätsrelation. Bei der Reihe ist
> nur noch [mm] \text{\red{ein}} [/mm] Summand von [mm]0[/mm] verschieden, vgl. auch meine
> Antwort hier.
genau das hatte ich am WE übersehen, obwohl ich es die ganze Zeit geschrieben hatte - schön doof. Wir sprechen ja ausschließlich über n=m  - Danke
Lg
Herby
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Di 13.01.2009 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
ich hätte genau zu dieser Antwort noch ne frage und zwar weshalb kann ich die Formel die ich für [mm] a_{m} [/mm] jetzt ausgerechnet hab, also unter der Bedingung, dass m=n , als fertige Formel für alle Benutzen auch wenn m nicht mehr gleich n ist?
Ich hab jetzt die vorgeschlagene Fallunterscheidung gemacht m=n:
[mm] +a_{n}*\pi
[/mm]
und für [mm] m\not=n
[/mm]
einfach =0 , weil [mm] \bruch{a_{0}}{2}*\integral_{-\pi}^{\pi}{cos(mx) dx}ja [/mm] uach null ist und dazu
nach den Orthogonalitätsrelationen cos(mx)*cos(nx) für m ungleich n null und sin(nx)*cos(mx) ist immer null egal ob m=n oder m undgleich n
und was sagt mir das jetzt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:50 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hallo,
> ich hätte genau zu dieser Antwort noch ne frage und zwar
> weshalb kann ich die Formel die ich für [mm]a_{m}[/mm] jetzt
> ausgerechnet hab, also unter der Bedingung, dass m=n , als
> fertige Formel für alle Benutzen auch wenn m nicht mehr
> gleich n ist?
> Ich hab jetzt die vorgeschlagene Fallunterscheidung
> gemacht m=n:
> [mm]+a_{n}*\pi[/mm]
> und für [mm]m\not=n[/mm]
> einfach =0 , weil
> [mm]\bruch{a_{0}}{2}*\integral_{-\pi}^{\pi}{cos(mx) dx}ja[/mm] uach
> null ist und dazu
> nach den Orthogonalitätsrelationen cos(mx)*cos(nx) für m
> ungleich n null und sin(nx)*cos(mx) ist immer null egal ob
> m=n oder m undgleich n
> und was sagt mir das jetzt?
hier verstehe ich Deine Frage nicht. Du hast [mm] $a_m=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,\cos(mx)\;dx$ [/mm] für jedes $m [mm] \in \IN$ [/mm] (nach der Herleitung aus meiner ersten Antwort). Dort steht überhaupt kein $n$ mehr drin. Nur bei der Herleitung wurde die Orthogonalitätsrelation benutzt.
Ich mache Dir mal ein anderes Beispiel vor:
Sei [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge und sei [mm] $\delta_{m,n}:=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \not=m \\ 1, & \mbox{für } n =m \end{cases}\,.$
[/mm]
Nun betrachte für festes $m [mm] \in \IN$ [/mm] den folgenden Reihenwert
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \delta_{m,n}*a_n\,.$$
[/mm]
Das ist ein ziemlich banaler Reihenwert. Warum? Erstmal ein paar Beispiele:
[mm] $\bullet$ [/mm] m=7: Hier ist [mm] $\sum_{n=1}^\infty \delta_{m,n}*a_n=\underbrace{\delta_{7,1}}_{=0}*a_1+\underbrace{\delta_{7,2}}_{=0}*a_2+\underbrace{\delta_{7,3}}_{=0}*a_3+...+\underbrace{\delta_{7,6}}_{=0}*a_6+\underbrace{\delta_{7,7}}_{=1}*a_7+\underbrace{\delta_{7,8}}_{=0}*a_8+\underbrace{\delta_{7,9}}_{=0}*a_9+...=0+0+0+...+0+a_7+0+0+...=a_7\,.$
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] m=11: Hier ist [mm] $\sum_{n=1}^\infty \delta_{m,n}*a_n=\underbrace{\delta_{11,1}}_{=0}*a_1+\underbrace{\delta_{11,2}}_{=0}*a_2+\underbrace{\delta_{11,3}}_{=0}*a_3+...+\underbrace{\delta_{11,10}}_{=0}*a_{10}+\underbrace{\delta_{11,11}}_{=1}*a_{11}+\underbrace{\delta_{11,12}}_{=0}*a_{12}+\underbrace{\delta_{11,13}}_{=0}*a_{13}+...=0+0+0+...+0+a_{11}+0+0+...=a_{11}\,.$
[/mm]
Für beliebiges, festes $m [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
[mm] $\sum_{n=1}^\infty \delta_{m,n}*a_n=\underbrace{\left(\sum_{n=1}^{m-1} \underbrace{\delta_{m,n}}_{=0}*a_n\right)}_{=0}+\underbrace{\delta_{m,m}}_{=1} *a_m+\underbrace{\left(\sum_{n=m+1}^{\infty} \underbrace{\delta_{m,n}}_{=0}*a_n\right)}_{=0}=0+a_m+0=a_m\,.$
[/mm]
Bei der von Dir zitierten Rechnung ist das analog.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:16 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
das ganze ist schon richtig. Was hier von Euch nicht beachtet wird, ist die Orthogonalitätsrelation, die Du in Deinem eigenen Link ![[]](/images/popup.gif) hier, 1.2 findest.
(Dort fehlt allerdings in Wahrheit noch eine Begründung, warum man Integration und Summation vertauschen darf. I.A. darf man das nämlich (auch hier) nicht, aber man tut anfangs mal so, als wenn man das dürfte (was z.B. erlaubt wäre, wenn $f(x)$, bzw. besser gesagt die Reihe [mm] $\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n\,\cos(nx)+b_n\,\sin(nx))$ [/mm] auf [mm] $[-\pi,\pi]$ [/mm] glm. konvergent wäre).)
Also:
[mm] $$\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(mx)\;dx=\int_{-\pi}^\pi \frac{a_0}{2} \cos(mx)\;dx+\sum_{n=1}^\infty \left(a_n \int_{-\pi}^\pi \cos(nx)\cos(mx)\;dx+b_n \int_{-\pi}^\pi \sin(nx)\cos(mx)\;dx\right)\,.$$
[/mm]
1. Fall: $m=0$:
Hier ist [mm] $\cos(mx) \equiv 1\,,$ [/mm] also [mm] $\int_{-\pi}^\pi \cos(nx)\cos(mx)\;dx=\int_{-\pi}^\pi \cos(nx)\;dx=0\,,$ [/mm] und [mm] $\int_{-\pi}^\pi \sin(nx)\cos(mx)\;dx=\int_{-\pi}^\pi \sin(nx)\;dx=0$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN\,.$ [/mm] Daraus folgt die Behautung für [mm] $a_0\,.$
[/mm]
2. Fall: $m [mm] \in \IN$ [/mm] (bei mir ist $0 [mm] \notin \IN$):
[/mm]
Nach der Orthogonalitätsrelation gilt
[mm] $$I^{(1)}_n:=\int_{-\pi}^\pi \cos(mx) \cos(nx)\;dx=\begin{cases} \pi, & \mbox{für } n=m \\ 0, & \mbox{für } n \not=m \end{cases}$$
[/mm]
und
[mm] $$I^{(2)}_n:=\int_{-\pi}^\pi \sin(nx) \cos(mx)\;dx=0$$
[/mm]
für alle $n [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
D.h. es gilt
[mm] $$\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(mx)\;dx=\int_{-\pi}^\pi \frac{a_0}{2} \cos(mx)\;dx+\sum_{n=1}^\infty \left(a_n \int_{-\pi}^\pi \cos(nx)\cos(mx)\;dx+b_n \int_{-\pi}^\pi \sin(nx)\cos(mx)\;dx\right)$$
[/mm]
[mm] $$=\frac{a_0}{2} \underbrace{\int_{-\pi}^\pi \cos(mx)\;dx}_{=0 \text{ da }m \in \IN}+\sum_{n=1}^\infty \left(a_n \underbrace{I^{(1)}_n}_{=\pi \text{ für }n=m; \text{ sonst }0}+b_n \underbrace{I^{(2)}_n}_{=0 \text{ für alle }n}\right)$$
[/mm]
[mm] $$=\frac{a_0}{2}*0+\underbrace{\left(\sum_{n=1}^{m-1} \underbrace{(a_n*0+b_n*0)}_{=0}\right)}_{=0}+(a_m*\pi+b_m*0)+\underbrace{\left(\sum_{n=m+1}^{\infty} \underbrace{(a_n*0+b_n*0)}_{=0}\right)}_{=0}=\pi*a_m\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(mx)\;dx=\pi*a_m \text{ für }m \in \IN\,.$$
[/mm]
Mit Division durch [mm] $\pi$ [/mm] folgt die Behauptung.
P.S.:
Tipp: Mache die ganze Rechnung mal nicht für ein beliebiges, festes $m [mm] \in \IN\,,$ [/mm] sondern rechne es mal für ein konkretes. Also:
Rechne das alles mal konkret für z.B. $m=7$ nach. Denn das $m [mm] \in \IN$ [/mm] ist im 2. Fall als beliebig, aber fest, zu betrachten; und wenn man solche Rechnungen nicht gewöhnt ist, hilft es oft, sich erst mal das ganze anhand eines konkreten Beispiels klarzumachen, was die wesentlichen Rechenschritte sind.
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
